高二數(shù)學(xué)課件：《余弦定理》(北師大版必修5).ppt

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1．2余弦定理,一、余弦定理1．三角形任何一邊的平方等于①________，即a2＝②________，b2＝③________，c2＝④________.2．余弦定理的推論：cosA＝⑤________，cosB＝⑥________，cosC＝⑦_(dá)_______.,3．余弦定理與勾股定理(1)勾股定理是余弦定理的特殊情況，在余弦定理表達(dá)式中令A(yù)＝90，則a2＝b2＋c2；令B＝90，則b2＝a2＋c2；令C＝90，則c2＝a2＋b2.(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，則A為⑩________角，反之亦成立．,二、余弦定理的應(yīng)用利用余弦定理可以解決兩類斜三角形問題：1．已知三邊，求?________.2．已知兩邊和它們的夾角，求?________和?________.,友情提示：理解應(yīng)用余弦定理應(yīng)注意以下四點：(1)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是?________的推廣，勾股定理是?________的特例；(3)在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以?________；(4)運用余弦定理時，因為已知三邊求?________，或已知兩邊及夾角求?________，由三角形全等的判定定理知，三角形是確定的，所以解也是唯一的．,在解三角形時，選擇正弦定理和余弦定理的標(biāo)準(zhǔn)是什么？在沒有學(xué)習(xí)余弦定理之前，還會解三角形，但是學(xué)習(xí)了余弦定理后，就不會解三角形了，不知是用正弦定理還是用余弦定理．這時要依據(jù)正弦定理和余弦定理的適用范圍來選擇，還要依靠經(jīng)驗的積累．根據(jù)解題經(jīng)驗，已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形．,特別是求角時，盡量用余弦定理來求，其原因是三角形中角的范圍是(0，π)，在此范圍內(nèi)同一個正弦值一般對應(yīng)兩個角，一個銳角和一個鈍角，用正弦定理求出角的正弦值后，還需要分類討論這兩個角是否都滿足題意．但是在(0，π)內(nèi)一個余弦值僅對應(yīng)一個角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分類討論.,：,先用余弦定理求出第三邊長，進(jìn)而用余弦定理或正弦定理求出其他兩個角．[例2]在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15，求角A、B和邊c的值．,[變式訓(xùn)練2]如圖，已知AD為△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120，求AD的長．分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC長度；由三角形內(nèi)角平分線定理可求出BD長，再解△ABD即可求出AD長．,解析：在△ABC中，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC＝32＋52－235cos120＝49，∴BC＝7，設(shè)BD＝x，則DC＝7－x，由內(nèi)角平分線定理：在△ABD中，設(shè)AD＝y(tǒng)，由余弦定理：BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos∠BAD.,[例3]在△ABC中，acosA＝bcosB，試確定此三角形的形狀．,當(dāng)a＝b時，△ABC為等腰三角形；當(dāng)c2＝a2＋b2時，△ABC為直角三角形．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法2：由acosA＝bcosB以及正弦定理得2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B.又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．,[變式訓(xùn)練3](2010遼寧卷)在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．,[例4](數(shù)學(xué)與日常生活)如圖，某市三個新興工業(yè)小區(qū)A、B、C決定平均投資共同建一個中心醫(yī)院O，使得醫(yī)院到三個小區(qū)的距離相等，已知這三個小區(qū)之間的距離分別為AB＝4.3km，BC＝3.7km，AC＝4.7km，問該醫(yī)院應(yīng)建在何處？(精確到0.1km或1),分析：實際問題的解決，應(yīng)首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為三角形模型，從而運用正、余弦定理解決，要注意題中給出的已知條件．本題實際上是在△ABC中，求△ABC的外接圓的半徑OB及OB與邊BC的夾角．,分析：(1)由平面向量共線定理可得出關(guān)于各角的一個關(guān)系式，化簡之后便可求出∠A；(2)分別利用三角形面積公式及余弦定理列出關(guān)于b，c的方程，求出b，c的值，進(jìn)而求出∠B.,