蝴蝶定理與燕尾定理

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. 燕尾定理 燕尾定理： 在三角形中，，，相交于同一點，那么． 梯形中比例關系(“梯形蝴蝶定理”)： ① ②； ③的對應份數(shù)為． 等積變形 ①等底等高的兩個三角形面積相等； ②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如左圖 ③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖； 反之，如果，則可知直線平行于． ④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)； ⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； ⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比． 二、鳥頭定理 兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比． 如圖在中，分別是上的點如圖 ⑴(或在的延長線上，在上)， 則 如圖，，，求梯形的面積． 【鞏固】(2006年南京智力數(shù)學冬令營)如下圖，梯形的平行于，對角線，交于，已知與的面積分別為 平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是________平方厘米． 梯形的對角線與交于點，已知梯形上底為2，且三角形的面積等于三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比． (第十屆華杯賽)如下圖，四邊形中，對角線和交于點，已知，并且，那么的長是多少？ 梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問三角形的面積是多少？ 如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積． 如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點．求圖中陰影部分的面積． 【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點，與相交于點，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是 平方厘米． 如圖面積為平方厘米的正方形中，是邊上的三等分點，求陰影部分的面積． 如圖，在長方形中，厘米，厘米，，求陰影部分的面積． (2008年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級試題)已知是平行四邊形，，三角形的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是 平方厘米． 【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米． 【鞏固】(2008年三帆中學考題)右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米． 如圖所示，、將長方形分成4塊，的面積是5平方厘米，的面積是10平方厘米．問：四邊形的面積是多少平方厘米？ (2007年”迎春杯”高年級初賽)如圖，長方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為___________平方厘米． (98迎春杯初賽)如圖，長方形中，是直角三角形且面積為54，的長是16，的長是9．那么四邊形的面積是 ． 燕尾定理應用 【例 1】 2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形的面積是，是的中點，點在上，且，與交于點．則四邊形的面積等于 ． 【鞏固】如圖，已知，，三角形的面積是，求陰影部分面積. 【鞏固】如圖，三角形的面積是， 在上，點在上，且,，與 交于點．則四邊形的面積等于 ． 【鞏固】如圖，已知，，與相交于點,則被分成的部分面積各占 面積的幾分之幾？ 【鞏固】如圖，三角形的面積是，，，與相交于點，請寫出這部分的面積各是多少? 【鞏固】如圖，在上，在上，且,，與交于點．四邊形的面積等于，則三角形的面積 ． 三角形中，是直角，已知，，，，那么三角形(陰影部分)的面積為多少？ 【鞏固】如圖，長方形的面積是平方厘米，，是的中點．陰影部分的面積是多少平方厘米? 如圖所示，在四邊形中，，，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為________． 是邊長為厘米的正方形，、分別是、邊的中點，與交于，則四邊形的面積是_________平方厘米． 如圖所示，在中，，是的中點，那么 ． 【鞏固】在中，， ，求？ 【鞏固】在中，， ，求？ 如右圖，三角形中，，，求． 如右圖，中，是的中點，、、是邊上的四等分點，與交于，與交于，已知的面積比四邊形的面積大平方厘米，則的面積是多少平方厘米？ 【鞏固】(2007年四中分班考試題)如圖，中，點是邊的中點，點、是邊的三等分點，若的面積為1，那么四邊形的面積是_________． .