電磁場與電磁波楊儒貴第二版課后答案.doc

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1、第一章 矢量分析 重點(diǎn)和難點(diǎn) 關(guān)于矢量的定義、運(yùn)算規(guī)則等內(nèi)容可讓讀者自學(xué)。應(yīng)著重講解梯度、散度、旋度的物理概念和數(shù)學(xué)表示，以及格林定理和亥姆霍茲定理。至于正交曲面坐標(biāo)系一節(jié)可以略去。 考慮到高年級(jí)同學(xué)已學(xué)過物理學(xué)，講解梯度、散度和旋度時(shí)，應(yīng)結(jié)合電學(xué)中的電位、積分形式的高斯定律以及積分形式的安培環(huán)路定律等內(nèi)容，闡述梯度、散度和旋度的物理概念。詳細(xì)的數(shù)學(xué)推演可以從簡，僅給出直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式即可。講解無散場和無旋場時(shí)，也應(yīng)以電學(xué)中介紹的靜電場和恒定磁場的基本特性為例。 至于格林定理，證明可免，僅給出公式即可，但應(yīng)介紹格林定理的用途。 前已指出，該教材的特色之一是以亥姆霍茲定理為

2、依據(jù)逐一介紹電磁場，因此該定理應(yīng)著重介紹。但是由于證明過程較繁，還要涉及d 函數(shù)，如果學(xué)時(shí)有限可以略去。由于亥姆霍茲定理嚴(yán)格地定量描述了自由空間中矢量場與其散度和旋度之間的關(guān)系，因此應(yīng)該著重說明散度和旋度是產(chǎn)生矢量場的源，而且也是惟一的兩個(gè)源。所以，散度和旋度是研究矢量場的首要問題。 此外，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)自由空間可以存在無散場或無旋場，但是不可能存在既無散又無旋的矢量場。這種既無散又無旋的矢量場只能存在于局部的無源區(qū)中。 重要公式 直角坐標(biāo)系中的矢量表示： 矢量的標(biāo)積：代數(shù)定義： 幾何定義： 矢量的矢積：代數(shù)定義： 幾何定義： 標(biāo)量場的梯度： 矢量場

3、的散度： 高斯定理： 矢量場的旋度：； 斯托克斯定理： 無散場：； 無旋場： 格林定理： 第一和第二標(biāo)量格林定理： 第一和第二矢量格林定理： 亥姆霍茲定理： ，式中 三種坐標(biāo)系中矢量表示式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系： 題 解 第一章 題 解 1-1 已知三個(gè)矢量分別為；；。試求①；②單位矢量；③；④；⑤及；⑥及。 解 ① ② ③ ④ ⑤ 因 則 ⑥ 。 1-2 已知平面內(nèi)的位置矢量A與X軸的夾角為a，位置矢量B與X軸的夾角為b，試證 證明 由于兩矢量位于平面內(nèi)，因此均

4、為二維矢量，它們可以分別表示為 已知，求得 即 1-3 已知空間三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，及。試問：①該三角形是否是直角三角形；②該三角形的面積是多少？ 解 由題意知，三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置矢量分別為 ； ； 那么，由頂點(diǎn)P1指向P2的邊矢量為 同理，由頂點(diǎn)P2指向P3的邊矢量由頂點(diǎn)P3指向P1的邊矢量分別為 因兩個(gè)邊矢量，意味該兩個(gè)邊矢量相互垂直，所以該三角形是直角三角形。 因 ， 所以三角形的面積為 1-4 已知矢量，兩點(diǎn)P1及P2的坐標(biāo)位置分別為及。若取P1及P2之間的拋物線或直線為積分路徑，試求線積分。 解 ①積分路線為拋物線

5、。已知拋物線方程為, ，則 ②積分路線為直線。因,兩點(diǎn)位于平面內(nèi)，過,兩點(diǎn)的直線方程為，即，，則 。 1-5 設(shè)標(biāo)量，矢量，試求標(biāo)量函數(shù)F在點(diǎn)處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)。 解 已知梯度 那么，在點(diǎn)處F 的梯度為 因此，標(biāo)量函數(shù)F在點(diǎn)處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)為 1-6 試證式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。 證明 式（1-5-11）為，該式左邊為 即， 。 根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則同樣可證式（1-5-12）和式（1-5-13）。 1-7 已知標(biāo)量函數(shù)，試求該標(biāo)量函數(shù)F 在點(diǎn)P(1,2,3)處的最大變化率及其

6、方向。 解 標(biāo)量函數(shù)在某點(diǎn)的最大變化率即是函數(shù)在該點(diǎn)的梯度值。已知標(biāo)量函數(shù)F的梯度為 那么 將點(diǎn)P(1,2,3) 的坐標(biāo)代入，得。那么，在P點(diǎn)的最大變化率為 P點(diǎn)最大變化率方向的方向余弦為 ； ； 1-8 若標(biāo)量函數(shù)為 試求在點(diǎn)處的梯度。 解 已知梯度，將標(biāo)量函數(shù)F代入得 再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得標(biāo)量函數(shù)F 在P點(diǎn)處的梯度為 1-9 試證式（1-6-11）及式（1-6-12）。 證明 式（1-6-11）為，該式左邊為 即 式（1-6-12）為，該式左邊為 ； 即 1-10 試求距離在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)及圓球

7、坐標(biāo)中的表示式。 解 在直角坐標(biāo)系中 在圓柱坐標(biāo)系中，已知，，，因此 在球坐標(biāo)系中，已知,,,因此 1-11 已知兩個(gè)位置矢量及的終點(diǎn)坐標(biāo)分別為及，試證與之間的夾角g 為 證明 根據(jù)題意，兩個(gè)位置矢量在直角坐標(biāo)系中可表示為 已知兩個(gè)矢量的標(biāo)積為，這里g為兩個(gè)矢量的夾角。因此夾角g為 式中 因此， 1-12試求分別滿足方程式及的函數(shù)及。 解 在球坐標(biāo)系中，為了滿足 即要求 ，求得 即 在球坐標(biāo)系中，為了滿足 由于，，即上式恒為零。故可以 是r的任意函數(shù)。 1-13 試證式（1-7-11）及式（

8、1-7-12）。 證明 ①式（1-7-11）為 （為常數(shù)） 令， ，則 ②式（1-7-12）為 令，，則 若將式（1-7-12）的右邊展開，也可證明。 1-14 試證 ，及。 證明 已知在球坐標(biāo)系中，矢量A的旋度為 對(duì)于矢量，因，，，代入上式，且 因r與角度q，f無關(guān)，那么，由上式獲知。 對(duì)于矢量，因，，，顯然。 對(duì)于矢量，因，，，同理獲知 。 1-15 若C為常數(shù)，A及k為常矢量，試證： ① ； ② ； ③ 。 證明 ①證明。 利用公式，則 而 求得 。 ②證明。 利用公式，則

9、 再利用①的結(jié)果，則 ③證明。 利用公式，則 再利用①的結(jié)果，則 。 1-16 試證 ，式中k為常數(shù)。 證明 已知在球坐標(biāo)系中 則 即 1-17 試證 證明 利用公式 令上式中的，則 將上式整理后，即得 。 1-18 已知矢量場F的散度，旋度，試求該矢量場。 解 根據(jù)亥姆霍茲定理，，其中 ； 當(dāng)時(shí)，則，即。那么因，求得 則 1-19 已知某點(diǎn)在圓柱坐標(biāo)系中的位置為，試求該點(diǎn)在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的位置。 解 已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 ，， 因此，該點(diǎn)在直角

10、坐標(biāo)下的位置為 ; ; z = 3 同樣，根據(jù)球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系， ；； 可得該點(diǎn)在球坐標(biāo)下的位置為 ； ； 1-20 已知直角坐標(biāo)系中的矢量，式中a, b, c均為常數(shù)，A是常矢量嗎？試求該矢量在圓柱坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的表示式。 解 由于的大小及方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)，故是常矢量。 已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 ；； 求得 ；； ； 又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 將上述結(jié)果代入，求得 即該矢量在圓柱坐標(biāo)下的表達(dá)式為 直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)

11、系為 ；； 由此求得 ；； 矢量A在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 求得 即該矢量在球坐標(biāo)下的表達(dá)式為 。 1-21 已知圓柱坐標(biāo)系中的矢量，式中a, b, c均為常數(shù)，A是常矢量嗎？試求及以及A在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系及圓球坐標(biāo)系中的表示式。 解 因?yàn)殡m然a, b, c均為常數(shù)，但是單位矢量er和ef均為變矢，所以不是常矢量。 已知圓柱坐標(biāo)系中，矢量A的散度為 將代入，得 矢量A的旋度為 已知直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 ; ; ; 又知矢量A在直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

12、 將上述接結(jié)果代入，得 即該矢量在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式為 ，其中。 矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 以及，，求得 即該矢量在球坐標(biāo)下的表達(dá)式為。 1-22 已知圓球坐標(biāo)系中矢量，式中a, b, c均為常數(shù)，A是常矢量嗎？試求及，以及A在直角坐標(biāo)系及圓柱坐標(biāo)系中的表示式。 解 因?yàn)殡m然a, b, c均為常數(shù)，但是單位矢量er，eq，ef均為變矢，所以不是常矢量。 在球坐標(biāo)系中，矢量A的散度為 將矢量A的各個(gè)分量代入，求得。 矢量A的旋度為 利用矢量A在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 以及，，求得該矢量

13、在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式為 利用矢量A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中各個(gè)坐標(biāo)分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 求得其在圓柱坐標(biāo)下的表達(dá)式為 。 1-23 若標(biāo)量函數(shù)，，，試求，及。 解 1-24 若 試求，及。 解 ①； ； ； ② ； （此處利用了習(xí)題26中的公式） ③ ； ； 將矢量的各個(gè)坐標(biāo)分量代入上式，求得 1-25 若矢量，試求，式中V為A所在的區(qū)域。 解 在球坐標(biāo)系中，， 將矢量的坐標(biāo)分量代入，求得 1-26 試求，式中S為球心位于原點(diǎn)，半徑為5的球面。 解 利用高斯定理，，則 16