積分中值定理在數學分析中的應用畢業(yè)論文.doc

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1、陜西理工學院畢業(yè)論文 畢業(yè)論文 題 目 積分中值定理在數學分析中的應用 學生姓名 李 正 邦 學號 0609014168 所在院(系) 數 學 系 專業(yè)班級 數學與應用數學專業(yè)2006級5班 指導教師 李 金 龍 完成地點 陜西理工學院

2、 2010年 5月 30日  積分中值定理在數學分析中的應用優(yōu)秀論文 范慕斯 （云南師范大學數學學院數學與應用數學專業(yè)20111級2班） 指導老師：成龍 [摘 要] 本文主要介紹了積分中值定理在數學分析中應用時的注意事項及幾點主要應用,這些應用主要是：一.求函數在一個區(qū)間上的平均值;二.估計定積分的值;三.求含有定積分的極限;四.確定積分的符號;五.證明中值的存在性命題;六.證明積分不等式;七.證明函數的單調性. [關鍵詞] 積分;中值;定理;應用 1 引言 積分中值定理是數學分析中的主要定理之一,同時也是定積分的一個主要性質,它建立了積分和被積函

3、數之間的關系,從而我們可以通過被積函數的性質來研究部分的性質,有較高的理論價值和廣泛應用.本文就其在解題中的應用進行討論. 2 預備知識 定理 2.1[1] (積分第一中值定理) 若在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在一點使得 . 證明 由于在區(qū)間[a,b]上連續(xù),因此存在最大值和最小值.由 , 使用積分不等式性質得到 , 或 . 再由連續(xù)函數的介值性,至少存在一點,使得 定理 2.2[1] (推廣的積分第一中值定理) 若在閉區(qū)間上連續(xù),且在上不變號,則在至少存在一點,使得 證明 推廣的第一中值積分定理 不妨設在上則在上有 其中,分

4、別為在上的最小值和最大值,則有 若,則由上式知,從而對上任何一點,定理都成立. 若則由上式得 則在上至少存在一點,使得 即 顯然,當時,推廣的積分第一中值定理就是積分中值定理 3 積分中值定理的應用 由于積分中值定理可以使積分號去掉,從而使問題簡化,對于證明包含函數積分和某個函數值之間關系的等式和不等式,也可以考慮使用積分中值定理. 在使用積分中值定理時要注意以下幾點： (1) 在應用中要注意被積函數在區(qū)間上連續(xù)這一條件,否則,結論不一定成立. 例如 ,顯然在處間斷. 由于 但在上,,所以,對任何都不能使 . (2) 定理中的在區(qū)

5、間上不變號這個條件也不能去掉. 例如 令 由于 , 但 所以,不存在 , 使 (3) 定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必須是的內點. 例如 令,則對都有 , 這也說明了未必在區(qū)間的內點. 下面就就其應用進行討論. 3.1 求函數在一個區(qū)間上的平均值 例1 試求在上的平均值. 解 平均值 例2 試求心形線上各點極經的平均值. 解 平均值 注 在解某區(qū)間上一個函數的平均值時,我們只需要在這個區(qū)間上對這個函數進行積分,然后積分結果除以區(qū)間的差值.在這里主要是應用了積分第一中值定理,所以求解其類問題時,一定要理解積分中值定理的

6、定義. 3.2 估計定積分的值 例3 估計的值. 解 由推廣的積分第一中值定理,得 其中 因為 所以 即 故 例 4 估計的值. 解 因為在上連續(xù),且 ,, 所以由積分第一中值定理有 . 在估計其類積分的值時,首先我們要確定被積函數在積分區(qū)間上連續(xù)的基礎上確定被積函數在積分區(qū)間上的最大值和最小值,然后再利用積分中值定理就迎刃而解了. 例 5 估計的值. 解 因為在上連續(xù),在內可導, 且在內無解, 即 , 等號僅在時成立.故在內嚴格單調增, 即 , 所以由積分第一中值定理有 . 在估計其類積分的值

7、時,首先要確定要積分的函數在積分閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導,然后判斷函數在積分區(qū)間上的單調性,最后利用積分中值定理就可以估計積分的值了. 綜上,在利用積分中值定理估計積分的值時,我們要根據不同的題型給出不同的解決方法,這也是我們在學習過程中逐漸要培養(yǎng)的,積累的好習慣. 3.3 求含有定積分的極限 例6 求極限為自然數. 解 利用中值定理,得 因為在上連續(xù),由積分中值定理得 當時,,而||. 故 ==0. 例7 求. 解 若直接用中值定理 =, 因為而不能嚴格斷定,其癥結在于沒有排除,故采取下列措施 =+. 其中為任意小的正數. 對第一積分中值定理使

8、用推廣的積分第一中值定理,有 . =,. 而第二個積分 =, 由于得任意性知其課任意小. 所以 =+=0. 注 求解其類問題的關鍵是使用積分中值定理去掉積分符號.在應用該定理時,要注中值不僅依賴于積分區(qū)間,而且還依賴于根式中自變量的趨近方式. 3.4 確定積分的符號 例8 確定積分的符號. 解 =+=+=+ =-+ = 利用積分中值定理,得 =0.(其中) 又在上不恒等于0,故. 注 在解決其類題時,我們常常會以0作為上下限的中介點,然后把原積分寫成以0為中介點的兩個積分的和,積分化就成兩個以0為中介

9、點且上下限一樣的積分相加,最后利用積分中值定理確定積分的符號.這里主要使用了積分中值定理和函數的單調性. 3.5 證明中值的存在性命題 例9 設函數在上連續(xù),在內可導,且 ,證明,使, 證明 由積分中值定理得 ,（其中） 又因為在上連續(xù),在內可導. 故在上滿足羅爾定理條件,可存在一點,使. 注 在證明有關題設中含有抽象函數的定積分等式時,一般應用積分中值定理求解,掌握積分中值定理在解此類問題時至關重要,是我們必須要好好掌握的. 3.6 證明不等式 例10 求證 證明 其中,于是由即可獲證. 例 11 證明 . 證明 估計連續(xù)函數的積分值的

10、一般的方法是求在的最大值和最小值,則 . 因為 , 所以 . 例 12 證明 證明 估計積分的一般的方法是:求在的最大值和最小值,又若,則 . 本題中令 . 因為 所以 . 例13 證明. 證明 在區(qū)間上求函數的最大值和最小值. ,令,得駐點. 比較,,知為在上的最小值,而為在上的最大值.由積分中值定理得 , 即 . 注 由于積分具有許多特殊的運算性質,故積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時,也?？紤]用積分中值定理,以便去掉積分符號,若被積函數是兩個函數之積時,可考慮用廣義積分中值定理.如果

11、在證明如11和12例題時,可以根據估計定積分的值在證明比較簡單方便. 3.7 證明函數的單調性 例 14 設函數在上連續(xù),,試證:在內,若為非減函數,則為非增函數. 證明 , 對上式求導,得 利用積分中值定理,得 , 若為非減函數,則, 所以,故為非減函數. 綜上所述,積分中值定理在應用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉,從而使問題簡單化.因此,對于證明有關題設中含有某個函數積分的等式或不等式,或者要證的結論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時,一般應考慮使用積分中值定理,去掉積分號.在使用該定理時,常與微分中值定理或定積分的其他一些性質結合使用,

12、是所求問題迎刃而解. 參考文獻 [1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219. [2]張筑生.數學分析新講[M].北京:北京大學出版社,1990.92-95. [3] 劉玉蓮,傅沛仁.數學分析講義[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47. [4]劉鴻基.數學分析習題講義[M].江蘇:中國礦業(yè)大學出版社,1999.85-92. [5]石建成,李佩芝,徐文雄.高等數學例題與習題集[M].西安:西安交通大學出版社,2002.168-170. [6]李惜雯.數學分析例題解析及難點注釋[M].西安:西安交通大學出版社,2004.

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15、Grade06,Class5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi) Tutor:Li Jinlong Abstract: This paper describes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a few of the major applicatio

16、ns.These applications are mainly:1. Demand function in an interval on the average;2. The estimated value of definite integral;3. Order to contain the limits of definite integrals;4.Define integral of symbol;5. Proof of the existence of the value proposition;6. To prove integral inequality,7. To prove monotonicity of a function. Key words: intergral;average-value;theory;applied. 第 10 頁 共 10 頁