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九年級數(shù)學專題復習第一講 數(shù)與式的運算

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九年級數(shù)學專題復習第一講 數(shù)與式的運算

九年級數(shù)學復習第一講 數(shù)與式的運算 一、乘法公式 【公式1】 證明: 等式成立 【例1】計算: 解:原式= 說明:多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列. 【公式2】(立方和公式) 證明: 說明:請同學用文字語言表述公式2. 【例2】計算: 解:原式= 我們得到: 【公式3】(立方差公式) 請同學觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系,公式1、2、3均稱為乘法公式. 【例3】計算: (1) (2) (3) (4) 解:(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 說明:(1)在進行代數(shù)式的乘法、除法運算時,要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu). (2)為了更好地使用乘法公式,記住1、2、3、4、…、20的平方數(shù)和1、2、3、4、…、10的立方數(shù),是非常有好處的. 【例4】已知,求的值. 解: 原式= 說明:本題若先從方程中解出的值后,再代入代數(shù)式求值,則計算較煩瑣.本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系,用整體代換的方法計算,簡化了計算.請注意整體代換法.本題的解法,體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略,根據(jù)題求利用題知,是明智之舉. 【例5】已知,求的值. 解: 原式= ① ②,把②代入①得原式= 說明:注意字母的整體代換技巧的應用. 引申:同學可以探求并證明: 二、根式 式子叫做二次根式,其性質(zhì)如下: (1) (2) (3) (4) 【例6】化簡下列各式: (1) (2) 解:(1) 原式= (2) 原式= 說明:請注意性質(zhì)的使用:當化去絕對值符號但字母的范圍未知時,要對字母的取值分類討論. 【例7】計算(沒有特殊說明,本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)): (1) (2) (3) 解:(1) 原式= (2) 原式= (3) 原式= 說明:(1)二次根式的化簡結(jié)果應滿足:①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式. (2)二次根式的化簡常見類型有下列兩種:①被開方數(shù)是整數(shù)或整式.化簡時,先將它分解因數(shù)或因式,然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來;②分母中有根式(如)或被開方數(shù)有分母(如).這時可將其化為形式(如可化為) ,轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況.化簡時,要把分母中的根式化為有理式,采取分子、分母同乘以一個根式進行化簡.(如化為,其中與叫做互為有理化因式). 【例8】計算: (1) (2) 解:(1) 原式= (2) 原式= 說明:有理數(shù)的的運算法則都適用于加法、乘法的運算律以及多項式的乘法公式、分式二次根式的運算. 【例9】設,求的值. 解: 原式= 說明:有關(guān)代數(shù)式的求值問題:(1)先化簡后求值;(2)當直接代入運算較復雜時,可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點,倒推幾步,再代入條件,有時整體代入可簡化計算量. 三、分式 當分式的分子、分母中至少有一個是分式時,就叫做繁分式,繁分式的化簡常用以下兩種方法:(1) 利用除法法則;(2) 利用分式的基本性質(zhì). 【例10】化簡 解法一:原式= 解法一:原式= 說明:解法一的運算方法是從最內(nèi)部的分式入手,采取通分的方式逐步脫掉繁分式,解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進行化簡.一般根據(jù)題目特點綜合使用兩種方法. 【例11】化簡 解:原式= 說明:(1) 分式的乘除運算一般化為乘法進行,當分子、分母為多項式時,應先因式分解再進行約分化簡;(2) 分式的計算結(jié)果應是最簡分式或整式. 練 習 A 組 1.二次根式成立的條件是( ) A. B. C. D.是任意實數(shù) 2.若,則的值是( ) A.-3 B.3 C.-9 D.9 3.計算: (1) (2) (3) (4) 4.化簡(下列的取值范圍均使根式有意義): (1) (2) (3) (4) 5.化簡: (1) (2) B 組 1.若,則的值為( ): A. B. C. D. 2.計算: (1) (2) 3.設,求代數(shù)式的值. 4.當,求的值. 5.設、為實數(shù),且,求的值. 6.已知,求代數(shù)式的值. 7.設,求的值. 8.展開 9.計算 10.計算 11.化簡或計算: (1) (2) (3) (4) 第一講 習題答案 A組 1. C 2. A 3. (1) (2) (3) (4) 4. 5. B組 1. D 2. 3. 4. 5. 6. 3 7. 8. 9. 10. 11. - 7 -

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