高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第十篇 第3講 二項(xiàng)式定理

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第3講 二項(xiàng)式定理 A級(jí)　基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013·蚌埠模擬)在24的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有(　　)． A．3項(xiàng) B．4項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng) 解析　Tr＋1＝C()24－rr＝Cx12－，故當(dāng)r＝0,6,12,18,24時(shí)，冪指數(shù)為整數(shù)，共5項(xiàng)． 答案　C 2．設(shè)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數(shù)為 (　　)． A．－150 B．150 C．300 D．－300 解析　由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－， 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x. 答案　B 3．(2013·蘭州模擬)已知8展開式中常數(shù)項(xiàng)為1 120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是 (　　)． A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 解析　由題意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為(1－a)8＝1或38. 答案　C 4．(2012·天津)在5的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為 (　　)． A．10 B．－10 C．40 D．－40 解析　因?yàn)門r＋1＝C(2x2)5－rr＝C25－r·(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系數(shù)為C25－3(－1)3＝－40. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2011·湖北)18的展開式中含x15的項(xiàng)的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示)． 解析　Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系數(shù)為(－1)2·C2＝17. 答案　17 6．(2012·浙江)若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實(shí)數(shù)，則a3＝________. 解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10. 答案　10 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知二項(xiàng)式n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256. (1)求n；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)． 解　(1)由題意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8. (2)該二項(xiàng)展開式中的第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為T3＝C＝28. 8．(13分)在楊輝三角形中，每一行除首末兩個(gè)數(shù)之外，其余每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和． (1)試用組合數(shù)表示這個(gè)一般規(guī)律： (2)在數(shù)表中試求第n行(含第n行)之前所有數(shù)之和； (3)試探究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3∶4∶5，并證明你的結(jié)論． 第0行　　　　　　　1 第1行　　　　　　 1　1 第2行　　　　　　1　2　1 第3行　　　　　1　3　3　1 第4行　　　　1　4　6　4　1 第5行　　　1　5　10　10　5　1 第6行　　1　6　15　20　15　6　1 　…　　　　　　　　… 解　(1)C＝C＋C. (2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1. (3)設(shè)C∶C∶C＝3∶4∶5， 由＝，得＝， 即3n－7r＋3＝0. ① 由＝，得＝， 即4n－9r－5＝0. ② 解①②聯(lián)立方程組，得n＝62，r＝27， 即C∶C∶C＝3∶4∶5. B級(jí)　能力突破(時(shí)間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．已知00)與y＝|logax|的大致圖象如圖所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9. 答案　B 2．(2012·湖北)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝(　　)． A．0 B．1 C．11 D．12 解析　512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a被13整除余1＋a，結(jié)合選項(xiàng)可得a＝12時(shí)，512 012＋a能被13整除． 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________. 解析　令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴l(xiāng)og2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7. 答案　7 4．(2011·浙江)設(shè)二項(xiàng)式6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B.若B＝4A，則a的值是________． 解析　由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r， 得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2. 答案　2 三、解答題(共25分) 5．(12分)已知(a2＋1)n展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而(a2＋1)n的展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求a的值． 解　5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常數(shù)項(xiàng)T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2n，由題意知2n＝16，得n＝4.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(a2＋1)n展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3，故有Ca4＝54，解得a＝±. 6．(13分)已知n， (1)若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)； (2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 解　(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0. ∴n＝7或n＝14， 當(dāng)n＝7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5. ∴T4的系數(shù)為C423＝， T5的系數(shù)為C324＝70， 當(dāng)n＝14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8. ∴T8的系數(shù)為C727＝3 432. (2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0. ∴n＝12或n＝－13(舍去)．設(shè)Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大， ∵12＝12(1＋4x)12， ∴　∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10. ∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11， T11＝C·2·210·x10＝16 896x10. 特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.