高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第十一篇 第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 A級　基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2011·湖北)如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為(　　)． A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 解析　P＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864. 答案　B 2．(2011·廣東)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　問題等價(jià)為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1＝；第二類，需比賽2局，第一局甲負(fù)，第二局甲贏，其概率P2＝×＝.故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為P1＋P2＝. 答案　A 3．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是 (　　)． A．[0.4,1] B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1] 解析　設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，則Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故選A. 答案　A 4．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c等于(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵μ＝2，由正態(tài)分布的定義，知其函數(shù)圖象關(guān)于x＝2對稱，于是＝2，∴c＝2. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·臺(tái)州二模)某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪的概率等于________． 解析　由已知條件第2個(gè)問題答錯(cuò)，第3、4個(gè)問題答對，記“問題回答正確”事件為A，則P(A)＝0.8，P＝P＝(1－P(A)] P(A) P(A)＝0.128. 答案　0.128 6．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，則P(－1<X<0)＝________. 解析　∵P(X≤1)＝0.841 3， ∴P(X>1)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7. ∵X～N(0,1)，∴μ＝0. ∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7， ∴P(－1<X<1)＝1－P(X<－1)－P(X>1)＝0.682 6. ∴P(－1<X<0)＝P(－1<X<1)＝0.341 3. 答案　0.341 3 三、解答題(共25分) 7．(12分)設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X～N(110,202)，且知試卷滿分150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)． 解　由題意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)， ∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ) ＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1， ∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7， ∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人數(shù)約為45人． ∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)， ∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ) ＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1， ∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)， 即130分以上的人數(shù)約為9人． 8．(13分)(2012·重慶)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響． (1)求甲獲勝的概率； (2)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù)ξ的分布列與期望． 解　設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則 P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)． (1)記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知 P(C)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝P(A1)＋P()P()P(A2)＋P()P()P()P()P(A3) ＝＋××＋2×2× ＝＋＋＝. (2)ξ的所有可能值為1,2,3由獨(dú)立性，知 P(ξ＝1)＝P(A1)＋P( B1)＝＋×＝， P(ξ＝2)＝P(A2)＋P(B2) ＝××＋2×2＝， P(ξ＝3)＝P＝2×2＝. 綜上知，ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 從而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝(次)． B級　能力突破(時(shí)間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2013·金華模擬)已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)＝·e－(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則 (　　)． A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 解析　正態(tài)分布密度函數(shù)φ2(x)和φ3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對稱，所以其平均數(shù)相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值比φ1(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”，由圖象可知，正態(tài)分布密度函數(shù)φ1(x)和φ2(x)的圖象一樣“瘦高”，φ3(x)明顯“矮胖”，從而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案　D 2．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是 (　　)． A.5 B．C5 C．C3 D．CC5 解析　由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥苿?dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)，所以質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)兩次，向上移動(dòng)三次，故其概率為 C3·2＝C5＝C5，故選B. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2013·湘潭二模)如果X～B(20，p)，當(dāng)p＝且P(X＝k)取得最大值時(shí)，k＝________. 解析　當(dāng)p＝時(shí)，P(X＝k)＝Ck·20－k＝C·20，顯然當(dāng)k＝10時(shí)，P(X＝k)取得最大值． 答案　10 4．(2013·九江一模)將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小1球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入A袋中的概率為________． 解析　記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，則事件A的對立事件為B，若小球落入B袋中，則小球必須一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，從而P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 答案　 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2012·湖南)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時(shí)間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55 %. (1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率．(注：將頻率視為概率) 解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得 P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝. X的分布列為 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9. (2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間，則 P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)． 由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1) ＝×＋×＋×＝. 故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為. 6．(13分)(2012·山東)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊． (1)求該射手恰好命中一次的概率； (2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． 解　(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D. 由題意，知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝， 由于A＝B ＋C＋ D， 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得 P(A)＝P(B ＋C＋ D) ＝P(B )＋P(C)＋P( D) ＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D) ＝××＋××＋×× ＝. (2)根據(jù)題意，知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得 P(X＝0)＝P( ) ＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] ＝××＝； P(X＝1)＝P(B )＝P(B)P()P() ＝××＝； P(X＝2)＝P( C＋ D)＝P( C)＋P( D) ＝××＋××＝； P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD) ＝××＋××＝； P(X＝4)＝P(CD)＝××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.