【數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻綜述 開題報告】不等式證明的教學研究

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1、【數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】不等式證明的教學研究 〔20_ _屆〕 本科畢業(yè)論文 不等式證明的教學研究 摘要： 不管是在中學還是大學，不等式的學習都是一大難點。本文首先對不等式及其最根本的性質(zhì)進行了簡單的介紹，然后對不等式證明的教學對開展學生的數(shù)學思維、培養(yǎng)邏輯思維能力等方面進行了研究，并得出這樣的作用是非常重要的。證明不等式?jīng)]有固定的模式，方法因題而異，靈活多變，技巧性強。正因為如此，本文采用了幾種不同的方法，主要包括：利用函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)極值，中值定理，中學常用的數(shù)學歸納法，分析綜合法，放縮法等

2、。而對于不等式的應(yīng)用方面，本文主要涉及貝努利不等式證明極限問題。在最后以Cauchy不等式為例，講述了不等式的教育價值。 關(guān)鍵詞： 不等式；中值定理；函數(shù)思想；教育價值；證明Inequality proof of teaching research st this paper briefly introduced the most basic of inequality and the nature.After that fac the teaching of inequality proof to develop the students' mathematical thinking,

3、cultivate logical thinking ability etc aspects studied ,and draw the effect is very important .Prove the inequality has no fixed mode , methods due to a problem and vision, agile and changeable, powerful skills.Just because of this paper using several different methods mainly includes:using monotoni

4、city of functions ,function extreme , mean-value theorem, mathematical induction , analysis synthesis ,put shrinkage method etc.For application of inequality,this paper main involves under the Bernoulli inequation limit problem.In the last With Cauchy inequality for example Tells the education under

5、 the inequality value. Keywords: inequality;Mean-value theorem;Function thought;Education value; proof 目錄 1、序論 7 1.1 不等式研究的背景、意義 7 2 不等式 8 2.1 不等式 8 2.2 不等式的根本性質(zhì) 8 2.3 不等式可遵循的一些同解原理 8 3 不等式的證明 9 3.1 利用函數(shù)思想證明不等式 9 3.2 利用中值定理證明不等式 12 3.3 利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學不等式 14 3.4 Cauchy-schwarz 不等

6、式的證明 16 3.5 Young 不等式及Young逆不等式的證明 16 3.6 中學數(shù)學不等式證明的幾種方法 17 3.6.1 構(gòu)造法證明不等式 17 3.6.2 分析與綜合法 18 3.6.3 數(shù)學歸納法 18 3.6.4 放縮法〔增減法〕 19 3.6.5 換元法證明不等式 19 4、不等式的應(yīng)用 21 4.1 Jensen不等式 21 4.2 貝努利不等式 21 4.3 貝努利不等式的應(yīng)用 23 5、不等式的教育價值 25 總結(jié)局部 27 致謝 28 參考文獻 29 1 序論 1.1 不等式研究的背景、意義 不等式的

7、理論很早就被Gauss、 Cauchy等人關(guān)注并研究過，但是不等式作為一門系統(tǒng)的學科出現(xiàn)始于1934年，Hardy、 Littlewood和G.Polya合作出版?不等式?〔Inequalities〕之后。在此之前不等式只是出現(xiàn)于數(shù)學家們研究領(lǐng)域中所使用的引理，證明及研究得到的副成果而已。直到Hardy等人對不等式做了系統(tǒng)的研究和總結(jié)之后，不等式才真正成為了一門系統(tǒng)學科。于此同時，更給后人提供了一個嶄新的數(shù)學領(lǐng)域。繼Hardy等人之后，Beckenhach，E.F, R.Bellman的名著?不等式?〔1961年〕反映了1934年至1960年不等式的研究成果。此后不等式的研究方法與方向進一步多

8、樣化。J.Diendonne在他的?無窮小分析?中賦予不等式以特別的重要性，它采用了以“較大的，較小的，接近的〞等術(shù)語為特色的表達方法。之后Mitrinovic于1970年出版了?解析不等式?〔Analytic Inequalities〕對于不等式的總結(jié)和開展到達了一個新的高度。 此后，關(guān)于不等式的研究就從未停頓過。20世紀80年代以來，在中國也出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。我國匡繼昌于1989年出版的?常用不等式?是首次由中國人撰寫的不等式著作，并首次大量收入了中國數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)的新不等式。此外，楊路，楊學枝，張景中，常庚哲等對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高

9、潮，并取得了豐碩的成果。同時，王挽瀾，祁鋒，王伯英等著名數(shù)學家在代數(shù)不等式方面，同樣取得了舉世矚目的成果。 另外，胡克教授于1981年發(fā)表在?中國科學?上的論文?一個不等式及其假設(shè)干應(yīng)用?針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數(shù)學評論稱之為“一個杰出的非凡的新的不等式〞，現(xiàn)在稱之為胡克〔HK〕不等式。 在過去數(shù)年里，數(shù)學不等式的有用性在諸多領(lǐng)域內(nèi)表達的很明顯。例如，在研究凸函數(shù)的一些性質(zhì)時，離不開不等式的幫助。20世紀數(shù)學已經(jīng)確認數(shù)學不等式的力量已經(jīng)上升到一個全新的高度。對不等式研究所得到的一些成果被廣泛運用到其他領(lǐng)域中去，比方經(jīng)濟學，游戲理論，數(shù)學規(guī)劃，控制理論，變分理

10、論，運籌學，概率統(tǒng)計等。由此可以看出不等式的有用性，研究不等式的重要性。 2 不等式 我們先對不等式進行一下簡要的介紹： 2.1 不等式 用不等號將兩個解析式連接起來所成的式子就稱為不等式。在一個式子中的數(shù)的關(guān)系，不全是等號，含不等號的式子就是不等式。例如，，，，等。不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地，用純粹的大于號、小于號，連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小于號〔大于或等于號〕、不大于號〔小于或等于號〕，連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。 2.2 不等式的根本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果，那么；如果，那么；〔對稱

11、性〕 性質(zhì)2 如果，；那么；〔傳遞性〕 性質(zhì)3 如果，而為任意實數(shù)或整式，那么；〔加法法那么〕 性質(zhì)4 如果，，那么；如果，，那么；〔乘法法那么〕 性質(zhì)5 如果，，那么；如果，，那么； 性質(zhì)6 如果，，那么；〔充分不必要條件〕 性質(zhì)7 如果，，那么； 性質(zhì)8 如果，那么的次冪的次冪，即表示為〔n為正數(shù)〕。 2.3 不等式可遵循的一些同解原理 一、不等式與不等式同解。 二、如果不等式的定義域被解析式的定義域所包含，那么不等式與不等式同解。 三、如果不等式的定義域被解析式的定義域所包含，并且，那么不等式與不等式同解；如果，那么不等式與不等式同解。 以上三條是

12、不等式同解原理中的主要表現(xiàn)形式。3 不等式的證明 3.1 利用函數(shù)思想證明不等式 函數(shù)思想是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和求解問題,它是一種很重要的數(shù)學思想方法,函數(shù)是研究變量的變化規(guī)律,所以只要有變量的問題就可以利用函數(shù)思想。 在求解某些數(shù)學問題中，根據(jù)問題的條件，設(shè)想、組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀點下實行轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段。即通過構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來的問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性來解決。 例3.1.1 對任意實數(shù)和，成立不等式。 分析 不等式中三個式子形狀相似，相當于函數(shù)在

13、相應(yīng)三個點的函數(shù)值，為此我們根據(jù)不等式的特點構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)增減性與極值來研究。 證 設(shè)。在內(nèi)嚴格遞增。于是由，就有。即 。 解決含有絕對值不等式問題的根本思想是設(shè)法去掉絕對值符號，化為不含絕對值符號的不等式去解，但有些分式不等式中出現(xiàn)了絕對值，也不便于去掉時，我們所采取的方法是通過分析不等號左右兩邊各式的相似之處，將相似的量當做是所構(gòu)造的函數(shù)的兩個取值點，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來證明。 例3.1.2 設(shè)，證明： 〔1〕； 〔2〕 證 〔1〕令，那么 令，那么， 所以當時，。所以所以，所以 即 〔2〕令，那么。 由〔1

14、〕可知，從而，即 ，即。 說明1 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式時，如果一階導數(shù)的符號不能確定，可以利用二階或三階導數(shù)符號來確定。 說明2 在利用單調(diào)性證明不等式時，如能對欲證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃?，往往可以使問題得以簡單。 例3.1.3 證明：假設(shè)，那么對于中的任意有： 證 設(shè)函數(shù)。有 令，得唯一駐點。從而 所以，是極小值點也是最小值點。最小值為。兩邊界為。所以 。 說明3 當題設(shè)滿足以下條件時可以用該方法： 〔1〕所設(shè)函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，但在所討論的區(qū)間上不是單 調(diào)

15、函數(shù)時； 〔2〕只能證不嚴格的不等式而不能證明嚴格的不等式。 定義1設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，假設(shè)對上任意兩點和實數(shù)，總有 那么稱為上的凸函數(shù)。反之，那么稱為凹函數(shù)。 例3.1.4 對任意實數(shù)有。 證 設(shè)，那么， 故為上的凸函數(shù)，由凸函數(shù)的定義：對，有 即 。 定義2 所謂多變量不等式,就是一個不等式中有多個變量,而且一般情況下是齊次變量,如果是二次的,那么可以構(gòu)造一個關(guān)于其中一個變量的二次函數(shù),然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性或者求最值或者利用二次函數(shù)的圖像分析問題,從而得到想要證明的結(jié)果。 例3.1.5 設(shè)，，為任意三角形的三個內(nèi)角,對于任意實數(shù)。

16、求證：。 證 根據(jù)題意,先將特征式整理為關(guān)于的二次函數(shù)模型,再利用函數(shù)及方程的有關(guān)性進 行推理論證。將看做是常數(shù)，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù) 因為。 又因為函數(shù)圖像開口向上，所以。 故 例3.1.6 ，求證。 證 原不等式化為：。將看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證： 當時，恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù) ， 假設(shè)，原不等式顯然成立。假設(shè)，那么是的一次函數(shù)。在上為單調(diào)函數(shù)。而 ， 。 所以，即。 對于像例3.1.5，例3.1.6這樣的不等式的形式，我們可以看出兩者是齊次形式，那么根據(jù)問題的條件和結(jié)論，對不等式適當?shù)暮愕茸冃魏?，通常我們?gòu)造的函數(shù)有一次函數(shù)，二次函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，

17、對數(shù)函數(shù)等。然后巧妙的利用各類函數(shù)的根本性質(zhì)，最常用的性質(zhì)就是函數(shù)特有的單調(diào)性，最值性。當碰到的不等式的變量時二次的時候，我們常常構(gòu)造二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)特有的判別式來獲得不等式。 3.2 利用中值定理證明不等式 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，那么在內(nèi)至少有一點，使 〔這個定理的特殊情形稱羅爾定理〕。 推論 1、 2、 3、。 柯西中值定理 設(shè)都在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導且，那么存在，使得 成立。 例3.2.1 ，求證：。 證 設(shè)，由拉格朗日中值定理及得 ， 因而。又 ， 于是，

18、所以。 例3.2.2 設(shè)，證明 證 設(shè)，那么，對于在應(yīng)用拉格朗日中值定理有 。 即，因為，所以。又因為， ，因為所以。 注 拉格朗日中值定理將函數(shù)值與導數(shù)值連接在一起。這里沒有給出確實切位置，而對于不等式而言，也不需，不必精確。因此可利用中值定理證明，關(guān)鍵是選擇及區(qū)間。 例3.2.3 設(shè)，證明。 證 設(shè)那么。對于在上應(yīng)用柯西中值定理有 設(shè)，考察，。顯然當時， 即，。所以在時單調(diào)遞減。從而。即，故。 注 柯西中值定理是研究兩個函數(shù)變量關(guān)系的中值定理，當一個函數(shù)取作自變量自身時，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理證明不等式一定能用柯西中值定理來證

19、，反之那么不然。 3.3 利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學不等式 〔1〕 伯努利不等式 對，〔i〕假設(shè)或，那么。 〔ii〕假設(shè)，那么。 例3.3.1 ，求證。 證 此題用常規(guī)的做法不容易證明，事實上，我們稍作變形。由于且，有伯努利不等式可知，所以成立。 〔2〕 柯西不等式 設(shè)有兩組實數(shù)和，那么有 或?qū)懗? 。 當且僅當時等號成立。 推論 當且僅當時，等號成立。 例3.3.2 設(shè)，且，求證：。 證 由柯西不等式的推論可知，又因為，所以，即。 〔3〕泰勒定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上存在直到階連續(xù)

20、導數(shù)，且在開區(qū)間內(nèi)存在的階導數(shù)，那么對任意，至少存在一點，使得 。 例3.3.3 設(shè)，且，求證：。 證 由知。根據(jù)導數(shù)定義 由及，知。 說明 泰勒公式應(yīng)用的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)的條件如何選擇要展開的函數(shù)、在哪一點的領(lǐng)域?qū)⒑瘮?shù)展開、展開的階數(shù)以及余項形式。 由以上的幾個例子可以看出，運用高等數(shù)學去解決初等數(shù)學，不僅方法新穎，而且簡單明了。除了上述這些證明不等式的方法外，中學數(shù)學中還用到了一些并不常見的方法，通過這些方法以啟迪學生思維和開拓學生視野。 形如式子式子中任意兩個量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式〞的對稱，可以用對稱關(guān)系來解決一些不等式的證明。 例3.3.4 設(shè)是正

21、數(shù)，且滿足，求證： 證 由。注意到對稱性有 即。命題得證。 例3.3.5 證明：當時，有。 證 在的情況下討論。令 那么有 于是。 按極限的定義，對于，取。當有 ，即有。從而。 3.4 Cauchy-schwarz 不等式的證明 Cauchy-schwarz 不等式 設(shè)均在上可積，那么有以下不等式 ， 并且當存在一組不全為零的數(shù)使得時等號成立。 證利用變上限的積分函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，令 那么顯然有，所要求證明的Cauchy-schwarz 不等式也即要證明，從而可以轉(zhuǎn)化為證明在上為單調(diào)不增的函數(shù)即可。 由于 在區(qū)間上均連續(xù)，所以由變上限的積分函數(shù)的性質(zhì)可以知道

22、在區(qū) 間上可導，并且可以由求導法那么計算得到 所以當時，。故在上單調(diào)非增，從而。 3.5 Young 不等式及Young逆不等式的證明 Young 不等式 設(shè)，那么對任意，成立，其中等號成立的充要條件是。 證 當，不等式顯然成立；設(shè)，注意到當時，有，等號成立當且僅當。設(shè)，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。 Young逆不等式 設(shè)，此時，那么對，成立，等號成立當且僅當。 證 注意到當時，有，等號成立當且僅當。設(shè)，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。 注：帶的Young 不等式：設(shè)且滿足，那么 。 3.6 中學數(shù)學不等式證明

23、的幾種方法 3.6.1 構(gòu)造法證明不等式 所謂構(gòu)造法，就是依據(jù)題目自身的特點，通過構(gòu)造輔助函數(shù)、根本不等式、數(shù)列、幾何圖形等輔助工具鋪路架橋，促進轉(zhuǎn)化，從而到達證明不等式的目的的一種方法。在證明不等式的過程中應(yīng)用構(gòu)造思想，能夠開闊思路，并運用更多的知識為證明不等式效勞。 例3.6.1 假設(shè)，求證：。 證 構(gòu)造數(shù)列，使得，那么易得。下面證明：，即。因為，所以可化為：。即證：等價于，顯然對此式成立。故：。 3.6.2 分析與綜合法 綜合法是由的條件和的不等式出發(fā)，推導出所要證明的不等式；分析法那么要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件，最后歸結(jié)為的不等式或條件。對于條件簡單而結(jié)論復雜的不等

24、式，往往要通過分析法或分析法與綜合法交替使用來尋找證明的途徑．學習中還要注意：第一，要熟練掌握各種根本的不等式和一些特殊的不等式：第二，要善于利用題中的各種隱含條件；第三，應(yīng)用不等式的各種變換技巧。 例3.6.2 設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前項和，求證：。 證 設(shè)的公比為，由題意 〔1〕當時，所以。 〔2〕當時，所以 。 由〔1〕，〔2〕得，即。 3.6.3 數(shù)學歸納法 與自然數(shù)N 有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學歸納法證明。但要注意：第一，數(shù)學歸納法有多種形式。第二，數(shù)學歸納法常與其他方法綜合運用；第三，數(shù)學歸納法不是萬能的，即并不是所有的含有n 的不等式都可以用數(shù)學歸納

25、法證明的。 例3.6.3 ，求證：。 證 〔1〕當時，顯然成立。 〔2〕假設(shè)時，成立。那么： 即成立。 根據(jù)〔1〕，〔2〕得，〔對于大于1的自然數(shù)n都成立〕。 3.6.4 放縮法〔增減法〕 在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去有些正項〔或負項〕而使不等式的項之和變大〔或變小〕，或把和〔或積〕里的各項換以較大〔或較小〕的數(shù)，或在分式中擴大〔或縮小〕分式中的分子〔或分母〕，從而到達證明的目的．值得注意的是“放〞，“縮〞得當，不要過頭．常用的方法為：改變分子〔分母〕放縮法，拆補放縮法，尋找“中介量〞放縮法等。 例3.6.4 設(shè)，求證： 。 證 由可得， 又因為，所以

26、 ， 結(jié)論成立。 3.6.5 換元法證明不等式 在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明到達簡化。此方法在立體幾何學習中應(yīng)用更加廣泛。 例3.6.5 設(shè)，為常數(shù)，不等式恒成立，求證: 。 分析 原不等式恒成立，等價于恒成立，而觀察可考慮實行三角換元，化歸為三角問題。 證 因為，令，因為恒成立，故恒成立，而當時，取最大值，從而得證。 不等式的證明方法及其相關(guān)的應(yīng)用，在日常學習，研究，生活中都可以遇到。我們要養(yǎng)成聯(lián)系，總結(jié)的好習慣。以至發(fā)現(xiàn)各種規(guī)律，最終到達系統(tǒng)的掌握知識，有效的解決問題的目的。 4 不等式的應(yīng)用 4.1 Jensen不等式

27、 Jensen不等式 如果為連續(xù)實值凸函數(shù)，且 ， 那么有 。 注 經(jīng)典的Jensen 不等式：設(shè)是凸函數(shù)，是上的可積函數(shù)，那么 例4.1.1 設(shè)為的一個充分統(tǒng)計量，假設(shè)損失函數(shù)為凸的，那么基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。 證 設(shè)為的任意無偏估計，考慮條件期望 由的充分性，知此條件期望與無關(guān)，因而可作為的一個估計。由于 那么為的一個無偏估計。由得凸性，用Jensen不等式，易得 ，故基于的無偏估計即為的無

28、偏一致最小風險估計。 4.2 貝努利不等式 貝努利 不等式 設(shè)，實數(shù)都大于-1，并且它們都有著相同的符號，那么成立； 特別地，當， 且，成立。 定理1 設(shè)都是正實數(shù)，且，那么成立 〔1〕；〔2〕 證 由條件，得；利用貝努利不等式，得 由，得出； 從而，得 ， 故〔1〕、〔2〕成立。 定理2 〔1〕設(shè)，對任一正整數(shù)，成立； 〔2〕對任意，對任一正整數(shù)，成立。 證 〔1〕不妨設(shè)。由，得，，取 得，，從而得。 〔2〕在〔1〕式中取，即得到成立。 定理3 〔幾何平均值-算術(shù)平均值不等式〕對任意個非負實數(shù)，成立 ， 等號當且僅當時成立。

29、證 利用貝努利不等式，屢次套用定理2中的不等式〔2〕，得 ， 等號當且僅當時成立。 對任意，有理數(shù)，利用幾何平均算術(shù)平均不等式，有 ， 即。 對任何實數(shù)，存在有理點列，使得，在中取極限，由連續(xù)性，即成立，由此不等式，可得Young不等式和Young逆不等式。Young不等式與Young逆不等式在空間、空間、泛函分析、調(diào)和分析、索伯列夫空間等理論中發(fā)揮著重要作用。 4.3 貝努利不等式的應(yīng)用 〔一〕 貝努利不等式在證明重要極限時的應(yīng)用 例4.3.1 〔1〕為遞增數(shù)列；〔2〕為遞減數(shù)列。 證 〔1〕在中取，，由于 故有，即為遞增數(shù)列。 〔2〕在中取，

30、，由于 故有，即為遞減數(shù)列。 〔二〕 貝努利不等式在證明數(shù)列極限存在時的應(yīng)用 例 4.3.2 設(shè)，那么有存在。 證 顯然，從而是單調(diào)增加的，下證是有界的。 方法1 利用貝努利不等式，得到 ， 于是，既得是有界的； 方法2 利用幾何-算術(shù)平均不等式，得于是是單調(diào)增加且是有界的，故存在。 例4.3.3 設(shè)，那么存在，且。 證 顯然，從而是單調(diào)增加的，下證是有界的。利用幾何-算術(shù)平均不等式，得 ， 于是是單調(diào)增加且是有界的，因此存在，又 ， 故。 例4.3.4 設(shè)，那么存在，且。 證 顯然是單調(diào)減少且有界的，于是存在，又 ， 故。 5 不等式的教育價值 在

31、這里，我主要以Cauchy不等式為例，講述下不等式的教育價值所在。 認識柯西不等式的幾種形式,理解它們的幾何意義，用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況?？挛鞑坏仁降慕虒W，實質(zhì)是完成一個包含“證明不等式的根本理論的總結(jié)、拓展,對不等式學習的感受、體會〞的再深入,這樣,到達“特別強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景,以加強學生對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解,提高學生的邏輯思維能力和分析問題能力〞。也從客觀上和實質(zhì)上表達了柯西不等式是一個數(shù)學探究性課題探討的典型案例,表達以數(shù)學知識為載體包含著數(shù)學思想和方法，即從觀察分析數(shù)學事實的背景材料中,發(fā)現(xiàn)和建立意義的數(shù)學問題,猜想、探究適當?shù)臄?shù)學結(jié)論或規(guī)律,給

32、出解釋或證明,進一步做類比推廣探究和實際應(yīng)用研究,促使學生在學習數(shù)學根底知識和根本技能、數(shù)學思想和數(shù)學方法的過程中,發(fā)現(xiàn)和提出自己的數(shù)學問題,并加以自主探究,開展自己的創(chuàng)新意識和實踐能力 1〕柯西不等式的學習,能夠增強學生自主探究數(shù)學問題的能力，掌握研究數(shù)學問題的立足點和根本思想方法。如掌握研究數(shù)學問題或?qū)嶋H問題的方法是:發(fā)現(xiàn)問題―――猜想結(jié)論―――分析論證―――推廣結(jié)論―――應(yīng)用結(jié)果。又如利用類比歸納的方法掌握對數(shù)學問題進行多層次全方位的推廣研究,向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推廣方法的聯(lián)合使用的再推廣。 2〕對任何數(shù)學問題的探究，從幾何直觀的角度進行思

33、考是最為順理成章的和自然的，感受到數(shù)學家是如何看問題、想問題和解決問題的,進而使學生的數(shù)學學習活動成為數(shù)學再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,并體悟到數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的過程之艱辛,但又能醒悟到做出來的數(shù)學竟是如此美妙,從而源自于本能的深深地愛上數(shù)學學習,使數(shù)學學習活動過程特別是數(shù)學思維習慣成為他們終生學習和生活的實踐者。 3〕數(shù)學教學過程理應(yīng)注重分析數(shù)學問題的來龍去脈，明晰各知識點間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，以其內(nèi)在的自然審美觀給出既簡潔又相對繁瑣、既常規(guī)的通性通法又帶有相對自我創(chuàng)造性的構(gòu)造性方法，全面開展和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,從而到達培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性、敏捷性、批判性和廣闊性。 4〕數(shù)學問題的探

34、究，理應(yīng)強化應(yīng)用意識和掌握如何應(yīng)用結(jié)論的根本方法。如柯西不等式的應(yīng)用,關(guān)鍵在于如何比照性的構(gòu)造出兩組數(shù)：積和數(shù)組、平方和數(shù)組以及題設(shè)條件的定值等方面,也就是說,使學生在應(yīng)用方面抓住問題解決的本質(zhì)―――構(gòu)造應(yīng)用結(jié)論的形式或轉(zhuǎn)化變形形式。 5 通過柯西不等式的學習,促使學生在提出問題、分析問題、解決問題以及交流和反思等方面獲得開展。本質(zhì)上是:使學生在數(shù)學學習過程中,有一個充滿親身經(jīng)歷觀察、實驗分析、歸納、類比、猜想、論證、概括、推廣、應(yīng)用、反思等數(shù)學學習的認知過程,形成質(zhì)疑問題、勤于探究思考,真正讓學生感受和體驗數(shù)學知識的產(chǎn)生過程、發(fā)現(xiàn)過程和應(yīng)用過程,養(yǎng)成敢于發(fā)表自己的獨到見解,使發(fā)現(xiàn)問題和提出

35、問題成為數(shù)學探究活動的主旋律。 6〕數(shù)學教育理應(yīng)成為崇尚自然、返樸歸真、倡導學習純潔真樸的自然之道。面對這種精神的向往，表達在數(shù)學教育教學過程的自然性，把數(shù)學課堂教學演繹成每集故事情節(jié)相對獨立而具有完整性的一部優(yōu)秀電視連續(xù)劇,使學生學起來既輕松、愉悅、自然，又充滿興趣、渴望、好奇心。 7〕數(shù)學教育理應(yīng)表達在時代性，應(yīng)喚起人們以出世心態(tài)做入世之事業(yè)，找回本態(tài)自我，把淡泊寧靜、老實質(zhì)樸、超然物外作為數(shù)學教師職業(yè)的追求；也能從“苦其心志,勞其筋骨〞 進入到“智者樂水，仁者樂山〞的崇高境界，定會成為數(shù)學教育工作們的最心愛的精神憩園和最愜意的棲身之地。中國數(shù)學教育之路定會成為創(chuàng)新型人才的搖籃。 總

36、結(jié)局部 證明不等式的方法很多，在證明過程中需要我們善于分析題目，運用我們已學的知識去解決它。對于不易直接證明的不等式，我們需要通過借助參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的形式將其變形為我們熟知的類型加以解決。在教學方面，通過對不等式的證明，有助于開展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)邏輯思維能力，提高學生數(shù)學地提出、分析和解決問題的能力和創(chuàng)新意識。不等式的運用在許多領(lǐng)域內(nèi)廣受關(guān)注，許多問題例如：研究凸函數(shù)的一些性質(zhì)，研究概率論等都是非常重要的。在教學中熟練運用不等式去解決問題，不僅可以使問題簡單化，還可以提高學生對不等式的運用，發(fā)散學生思維，拓展學生視野。由此可見，不等式的證明及運用的重要性。而對于不等式的證明還有待我們?nèi)ミM

37、一步的發(fā)現(xiàn)與探究。 由于自己水平有限，文中所講述到的內(nèi)容也只是參照已有的成果，再結(jié)合自己所學的數(shù)學知識進行了適當?shù)谋硎觯Ｍ诮窈蟮膶W習以及實踐中能夠加深對不等式相關(guān)問題的學習即研究，懇請老師能夠教導，指正。 參考文獻 [1]崔小兵：概率論中不同條件下的Jensen不等式及應(yīng)用，南陽師范學院學報，2021，〔09〕 [2]江南：關(guān)于Young不等式的證明及其應(yīng)用，連云港師范高等?？茖W校學報，2006，〔12〕 [3]刑家?。贺惻Σ坏仁降膽?yīng)用，河南科報，2021，〔02〕 [4]陳思源：關(guān)于Cauchy-schwarz不等式的推廣與應(yīng)用，宜春學院學報〔自然科學〕，2006，〔08〕

38、 [5]柴云：高等數(shù)學中微積分證明不等式的探討，現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2021 [6]楊曲：淺談常見不等式的證明，科教文匯〔理工教研〕，2021，〔12〕 [7]馬德炎：常見的代數(shù)不等式的證明，高等數(shù)學研究，2006 [8]黃冬梅：關(guān)于不等式證明的假設(shè)干方法的探究，內(nèi)江師范學院學報，2021 [9]毛巨根：證明不等式的一種巧妙方法――構(gòu)造輔助函數(shù)法，紹興文理學院學報，2021，〔09〕 [10]任文龍：高觀點下的初等數(shù)學不等式，甘肅聯(lián)合大學學報〔自然科學版〕2021，〔05〕 [11]龔誼承：基于變限積分函數(shù)的Cauchy-schwards不等式的證明，河池學院學報，2021，〔04〕

39、 [12]李軍莊：Cauchy不等式的教育價值，商洛學院學報，2021，〔08〕 [13]張繼宏：淺談柯西不等式在中學數(shù)學教學中的應(yīng)用，內(nèi)蒙古教育學院學報，1998，〔12〕 [14]楊紅梅：試論柯西不等式的應(yīng)用，山西播送電視大學學報，2021〔03〕 [15]郝建華.凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應(yīng)用[J],山西經(jīng)濟管理干部學院學報,2003, 04 [16]張?zhí)N：中學數(shù)學不等式證明方法簡述，許昌市教研室，中國科技信息2021年第13期 [17] Mathematical Inequalities 文獻綜述 不等式證明的教學研究 一、前言局部 不等式是一件非常有

40、用的工具，除在數(shù)學領(lǐng)域外，還包括物理學、工程學、教育學等諸多領(lǐng)域中被廣泛使用。要想運用不等式，首先要解決的是如何獲得這些不等式。因此不等式的證明成為了一個難題，其中包括數(shù)學教育方面。在閱讀了一些有關(guān)中學數(shù)學、大學數(shù)學的不等式證明這方面的文獻資料和教育理論資料，本文整理出了一些平時學習中比擬常見、常用的不等式的表述，同時也列舉了一些不等式的證明，不等式的應(yīng)用的例題以及不等式在教學中的教育價值。 1、一些常見不等式 Cauchy〔柯西〕不等式 設(shè)有兩組實數(shù)和，那么有 或?qū)懗? 。 當且僅當時等號成立。 推論 當且僅當時，等號成立。 Jensen不等式 如果為連續(xù)實值凸函

41、數(shù)，且 ， 那么有 。 注1：經(jīng)典的Jensen 不等式：設(shè)是凸函數(shù)，是上的可積函數(shù)，那么 幾何與算術(shù)平均 不等式： 貝努利 不等式：設(shè)，實數(shù)都大于-1，并且它們都有著相同的符號，那么成立； 特別地，當，且，成立。 Young 不等式 ：設(shè)，那么對任意，成立，其中等號成立的充要條件是。 證 當，不等式顯然成立；設(shè)，注意到當時，有，等號成立當且僅當。設(shè)，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。 Young 逆不等式：設(shè)，此時，那么對，成立，等號成立當且僅當。 證 注意到當時，有，等號成立當且

42、僅當。設(shè)，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。 注2： 帶的Young 不等式：設(shè)且滿足，那么 伯努利不等式 對，〔i〕假設(shè)或，那么。 〔ii〕假設(shè)，那么。 Cauchy-schwarz 不等式：設(shè)均在上可積，那么有以下不等式，并且當存在一組不全為零的數(shù)使得時等號成立。 證利用變上限的積分函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，令 那么顯然有，所要求證明的Cauchy-schwarz 不等式也即要證明 ，從而可以轉(zhuǎn)化為證明在上為單調(diào)不增的函數(shù)即可。 由于 在區(qū)間上均連續(xù)，

43、所以由變上限的積分函數(shù)的性質(zhì)可以知道在區(qū) 間上可導，并且可以由求導法那么計算得到 所以當時，。故在上單調(diào)非增，從而。 2、幾個定理的表述 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，那么在內(nèi)至少有一點，使〔這個定理的特殊情形稱羅爾定理〕。 推論：1、 2、 3、。 柯西中值定理 設(shè)都在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導且，那么存在，使得成立。 泰勒定理 〔1〕函數(shù)在閉區(qū)間上存在直到階連續(xù)導數(shù)。 〔2〕在開區(qū)間內(nèi)存在的階導數(shù)，那么對任何，至少存在一點，使得 二、主題局部

44、 1、不等式的證明 〔一〕利用函數(shù)思想證明不等式 函數(shù)思想是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和求解問題,它是一種很重要的數(shù)學思想方法,函數(shù)是研究變量的變化規(guī)律,所以只要有變量的問題就可以利用函數(shù)思想。 例1 設(shè)，證明：〔1〕；〔2〕 證 〔1〕令，那么 令，那么 所以當時，。所以所以，所以 即 〔2〕令，那么。 由〔1〕可知，從而，即 ，即。 說明1：利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式時，如果一階導數(shù)的符號不能確定，可以利用二階或三階導數(shù)符號來確定。 說明2：在利用單調(diào)性證明

45、不等式時，如能對欲證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃?，往往可以使問題得以簡單。 例2 證明：假設(shè)，那么對于中的任意有： 證 設(shè)函數(shù)。有 令，得唯一駐點。從而 所以，是極小值點也是最小值點。最小值為。兩邊界為。所以。 說明3：當題設(shè)滿足以下條件時可以用該方法： 〔1〕所設(shè)函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，但在所討論的區(qū)間上不是單 調(diào)函數(shù)時； 〔2〕只能證不嚴格的不等式而不能證明嚴格的不等式。 定義1 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，假設(shè)對上任意兩點和實數(shù)，總有，，那么稱為上的凸函數(shù)。反之，那么稱為凹函數(shù)。 例3 對任意實數(shù)有 證 設(shè)，那么， 故為上的凸

46、函數(shù)，由凸函數(shù)的定義：對，有 即 定義2 所謂多變量不等式,就是一個不等式中有多個變量,而且一般情況下是齊次變量,如果是二次的,那么可以構(gòu)造一個關(guān)于其中一個變量的二次函數(shù),然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性或者求最值或者利用二次函數(shù)的圖像分析問題,從而得到想要證明的結(jié)果.。 例4 設(shè)，，為任意三角形的三個內(nèi)角,對于任意實數(shù)。求證： 證 根據(jù)題意,先將特征式整理為關(guān)于的二次函數(shù)模型,再利用函數(shù)及方程的有關(guān)性進 行推理論證。將看做是常數(shù)，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù) 因為。 又因為函數(shù)圖像開口向上，所以。 故 〔二〕利用中值定理證明不等式 例4 ，求證：。 證 設(shè)，由拉格朗

47、日中值定理及得， 因而。又 ， 于是，所以。 例5 設(shè)，證明。 證 設(shè)那么。 對于在上應(yīng)用柯西中值定理有 設(shè)，考察，。顯然當時， 即，。所以在時單調(diào)遞減。從而。即，故。 說明4： 柯西中值定理是研究兩個函數(shù)變量關(guān)系的中值定理，當一個函數(shù)取作自變量自身時，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理證明不等式一定能用柯西中值定理來證，反之那么不然。 〔三〕利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學不等式 運用所學的高等數(shù)學知識、觀點和方法去聯(lián)系和研究初等數(shù)學,使“高初〞有機的結(jié)合起來,無疑是非常重要的。 例6 ，求證 證 此題用常規(guī)的做法不容易證明，事實上，我們稍作變形。由于

48、且，有伯努利不等式可知，所以成立。 例7 設(shè)，且，求證：。 證 由柯西不等式的推論可知，又因為，所以，即。 例8 設(shè)，且，求證：。 證 由知。根據(jù)導數(shù)定義 由及，知。 說明5：泰勒公式應(yīng)用的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)的條件如何選擇要展開的函數(shù)、在哪一點的領(lǐng)域?qū)⒑瘮?shù)展開、展開的階數(shù)以及余項形式。 由以上的幾個例子可以看出，運用高等數(shù)學去解決初等數(shù)學，不僅方法新穎，而且簡單明了。除了上述這些證明不等式的方法外，中學數(shù)學中還用到了一些并不常見的方法，通過這些方法以啟迪學生思維和開拓學生視野。 形如式子式子中任意兩個量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式〞的對稱. 可以用對稱關(guān)系來解決一

49、些不等式的證明。 例9 設(shè)是正數(shù)，且滿足，求證： 證 由。注意到對稱性有 即。命題得證。 例10 證明：當時，有。 證 在的情況下討論。令 那么有 于是。 按極限的定義，對于，取。當有 ，即有。從而。 2、不等式的應(yīng)用 〔一〕運用Jensen不等式解決概率論問題 例11 設(shè)為的一個充分統(tǒng)計量，假設(shè)損失函數(shù)為凸的，那么基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。 證 設(shè)為的任意無偏估計，考慮條件期望 由的充分性，知此條件期望與無關(guān)，因而可作為的一個估計。由于

50、 那么為的一個無偏估計。由得凸性，用Jensen不等式，易得 ，故基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。 〔二〕運用貝努利不等式證明極限問題 例12 〔1〕為遞增數(shù)列；〔2〕為遞減數(shù)列。 證 〔1〕在中取，， 由于 故有，即為遞增數(shù)列。 〔2〕在中取， 由于 故有，即為遞減數(shù)列。 3、不等式的教育價值 在這里，我主要以Cauchy不等式為例，講述下不等式的教育價值所在。 1〕柯西不等式的學習,能夠增強學生自主探究數(shù)學問題的能力，掌握研究數(shù)學問題的立足點和根本思想方法。如掌握研究數(shù)學問題或?qū)嶋H問題的方法是:發(fā)現(xiàn)問題―――猜想結(jié)論―――分析

51、論證―――推廣結(jié)論―――應(yīng)用結(jié)果。又如利用類比歸納的方法掌握對數(shù)學問題進行多層次全方位的推廣研究,向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推廣方法的聯(lián)合使用的再推廣。 2〕對任何數(shù)學問題的探究，從幾何直觀的角度進行思考是最為順理成章的和自然的，感受到數(shù)學家是如何看問題、想問題和解決問題的,進而使學生的數(shù)學學習活動成為數(shù)學再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,并體悟到數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的過程之艱辛,但又能醒悟到做出來的數(shù)學竟是如此美妙,從而源自于本能的深深地愛上數(shù)學學習,使數(shù)學學習活動過程特別是數(shù)學思維習慣成為他們終生學習和生活的實踐者。 3〕數(shù)學教學過程理應(yīng)注重分析數(shù)學問題的來龍

52、去脈，明晰各知識點間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，以其內(nèi)在的自然審美觀給出既簡潔又相對繁瑣、既常規(guī)的通性通法又帶有相對自我創(chuàng)造性的構(gòu)造性方法，全面開展和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,從而到達培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性、敏捷性、批判性和廣闊性。 4〕數(shù)學問題的探究，理應(yīng)強化應(yīng)用意識和掌握如何應(yīng)用結(jié)論的根本方法。如柯西不等式的應(yīng)用,關(guān)鍵在于如何比照性的構(gòu)造出兩組數(shù)：積和數(shù)組、平方和數(shù)組以及題設(shè)條件的定值等方面,也就是說,使學生在應(yīng)用方面抓住問題解決的本質(zhì)―――構(gòu)造應(yīng)用結(jié)論的形式或轉(zhuǎn)化變形形式。 5 通過柯西不等式的學習,促使學生在提出問題、分析問題、解決問題以及交流和反思等方面獲得開展。本質(zhì)上是:使學生在數(shù)學學習

53、過程中,有一個充滿親身經(jīng)歷觀察、實驗分析、歸納、類比、猜想、論證、概括、推廣、應(yīng)用、反思等數(shù)學學習的認知過程,形成質(zhì)疑問題、勤于探究思考,真正讓學生感受和體驗數(shù)學知識的產(chǎn)生過程、發(fā)現(xiàn)過程和應(yīng)用過程,養(yǎng)成敢于發(fā)表自己的獨到見解,使發(fā)現(xiàn)問題和提出問題成為數(shù)學探究活動的主旋律。 6〕數(shù)學教育理應(yīng)成為崇尚自然、返樸歸真、倡導學習純潔真樸的自然之道。面對這種精神的向往，表達在數(shù)學教育教學過程的自然性，把數(shù)學課堂教學演繹成每集故事情節(jié)相對獨立而具有完整性的一部優(yōu)秀電視連續(xù)劇,使學生學起來既輕松、愉悅、自然，又充滿興趣、渴望、好奇心。 7〕數(shù)學教育理應(yīng)表達在時代性，應(yīng)喚起人們以出世心態(tài)做入世之事業(yè)，找回

54、本態(tài)自我，把淡泊寧靜、老實質(zhì)樸、超然物外作為數(shù)學教師職業(yè)的追求；也能從“苦其心志,勞其筋骨〞 進入到“智者樂水，仁者樂山〞的崇高境界，定會成為數(shù)學教育工作們的最心愛的精神憩園和最愜意的棲身之地。中國數(shù)學教育之路定會成為創(chuàng)新型人才的搖籃。 三、總結(jié)局部 不等式證明的方法很多，在證明過程中需要我們善于分析題目，運用我們已學的知識去解決它。對于不易直接證明的不等式，我們需要通過借助參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的形式將其變形為我們熟知的類型加以解決。在教學方面，通過對不等式的證明，有助于開展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)邏輯思維能力，提高學生數(shù)學地提出、分析和解決問題的能力和創(chuàng)新意識。不等式的運用在許多領(lǐng)域內(nèi)廣受關(guān)注，許

55、多問題例如：研究凸函數(shù)的一些性質(zhì)，研究概率論等都是非常重要的。在教學中熟練運用不等式去解決問題，不僅可以使問題簡單化，還可以提高學生對不等式的運用，發(fā)散學生思維，拓展學生視野。由此可見，不等式的證明及運用的重要性。而對于不等式的證明還有待我們?nèi)ミM一步的發(fā)現(xiàn)與探究。 四、參考文獻 [1]崔小兵：概率論中不同條件下的Jensen不等式及應(yīng)用，南陽師范學院學報，2021，〔09〕 [2]江南：關(guān)于Young不等式的證明及其應(yīng)用，連云港師范高等?？茖W校學報，2006，〔12〕 [3]刑家?。贺惻Σ坏仁降膽?yīng)用，河南科報，2021，〔02〕 [4]陳思源：關(guān)于Cauchy-schwarz不等式

56、的推廣與應(yīng)用，宜春學院學報〔自然科學〕，2006，〔08〕 [5]柴云：高等數(shù)學中微積分證明不等式的探討，現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2021 [6]楊曲：淺談常見不等式的證明，科教文匯〔理工教研〕，2021，〔12〕 [7]馬德炎：常見的代數(shù)不等式的證明，高等數(shù)學研究，2006 [8]黃冬梅：關(guān)于不等式證明的假設(shè)干方法的探究，內(nèi)江師范學院學報，2021 [9]毛巨根：證明不等式的一種巧妙方法――構(gòu)造輔助函數(shù)法，紹興文理學院學報，2021，〔09〕 [10]任文龍：高觀點下的初等數(shù)學不等式，甘肅聯(lián)合大學學報〔自然科學版〕2021，〔05〕 [11]龔誼承：基于變限積分函數(shù)的Cauchy-sch

57、wards不等式的證明，河池學院學報，2021，〔04〕 [12]李軍莊：Cauchy不等式的教育價值，商洛學院學報，2021，〔08〕 [13]張繼宏：淺談柯西不等式在中學數(shù)學教學中的應(yīng)用，內(nèi)蒙古教育學院學報，1998，〔12〕 [14]楊紅梅：試論柯西不等式的應(yīng)用，山西播送電視大學學報，2021〔03〕 [15]郝建華.凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應(yīng)用[J],山西經(jīng)濟管理干部學院學報,2003, 04 [16] Mathematical Inequalities . . 開題報告 不等式證明的教學研究 一、選題的背景、意義 不等式的理論很早就被Gauss

58、, Cauchy等人關(guān)注并研究過，但是不等式作為一門系統(tǒng)的學科出現(xiàn)始于1934年，Hardy, Littlewood和G.Polya合作出版?不等式?〔Inequalities〕之后。在此之前不等式只是出現(xiàn)于數(shù)學家們研究領(lǐng)域中所使用的引理，證明及研究得到的副成果而已。直到Hardy等人對不等式做了系統(tǒng)的研究和總結(jié)之后，不等式才真正成為了一門系統(tǒng)學科。20世紀數(shù)學已經(jīng)確認數(shù)學不等式的力量上升到巨大的新結(jié)果和問題以及產(chǎn)生的新領(lǐng)域的數(shù)學。對不等式研究所得到的一些成果被廣泛運用到其他領(lǐng)域中去，比方經(jīng)濟學，游戲理論，數(shù)學規(guī)劃，控制理論，變分理論，運籌學，概率統(tǒng)計等。由此可以看出不等式的有用性，研究不等式

59、的重要性。 二、研究的根本內(nèi)容與擬解決的主要問題 不等式是數(shù)學中被廣泛運用的工具，在很多數(shù)學問題的分析與解答中,我們都需要用到不等式，然而要想能夠在問題中運用一些不等式的定理或推論，我們首先要證明所用不等式的可行性，尤其是在數(shù)學教學中。因此對一些不等式的證明深入的討論就顯得很重要，也具有一定的教育意義。首先在這給出一些常見的不等式，以及比擬常用到的幾個定理，同時給出其中一局部不等式的證明。 Cauchy〔柯西〕不等式 設(shè)有兩組實數(shù)和，那么有 或?qū)懗? 。 當且僅當時等號成立。 推論 當且僅當時，等號成立。 Jensen不等式 如果為連續(xù)實值凸函數(shù)，且 ， 那么

60、有 。 注1：經(jīng)典的Jensen 不等式：設(shè)是凸函數(shù)，是上的可積函數(shù)，那么 幾何與算術(shù)平均 不等式： 貝努利 不等式：設(shè)，實數(shù)都大于-1，并且它們都有著相同的符號，那么成立； 特別地，當，且，成立。 Young 不等式 ：設(shè)，那么對任意，成立，其中等號成立的充要條件是。 證 當，不等式顯然成立；設(shè)，注意到當時，有，等號成立當且僅當。設(shè)，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。 Young 逆不等式：設(shè)，此時，那么對，成立，等號成立當且僅當。 證 注意到當時，有，等號成立當且僅當。設(shè)，令，代入上

61、式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。 注2： 帶的Young 不等式：設(shè)且滿足，那么 伯努利不等式 對，〔i〕假設(shè)或，那么。 〔ii〕假設(shè)，那么。 Cauchy-schwarz 不等式：設(shè)均在上可積，那么有以下不等式，并且當存在一組不全為零的數(shù)使得時等號成立。 證利用變上限的積分函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，令 那么顯然有，所要求證明的Cauchy-schwarz 不等式也即要證明 ，從而可以轉(zhuǎn)化為證明在上為單調(diào)不增的函數(shù)即可。 由于 在區(qū)間上均連續(xù)，所以由變上限的積分函

62、數(shù)的性質(zhì)可以知道在區(qū) 間上可導，并且可以由求導法那么計算得到 所以當時，。故在上單調(diào)非增，從而。 2、幾個定理的表述 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，那么在內(nèi)至少有一點，使〔這個定理的特殊情形稱羅爾定理〕。 推論：1、 2、 3、。 柯西中值定理 設(shè)都在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導且，那么存在，使得成立。 泰勒定理 〔1〕函數(shù)在閉區(qū)間上存在直到階連續(xù)導數(shù)。 〔2〕在開區(qū)間內(nèi)存在的階導數(shù)，那么對任何，至少存在一點，使得 三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，

63、預期到達的目標 研究方法： 閱讀了一些有關(guān)中學數(shù)學、大學數(shù)學的不等式證明這方面的文獻資料和教育理論資料，本文整理出了一些平時學習中比擬常見、常用的不等式的表述，同時也列舉了一些不等式的證明，不等式的應(yīng)用的例題以及不等式在教學中的教育價值。 技術(shù)路線： 通過查閱資料，分析、總結(jié)有關(guān)不等式證明以及不等式應(yīng)用，不等式的教育價值等方面的文獻，并在此根底上進行總結(jié)及其歸納。然后就不等式的幾點應(yīng)用進行實踐證明其可行性。 研究難點： 要想證明不等式，可以通過構(gòu)造出輔助函數(shù)，運用函數(shù)的一些性質(zhì)，到達簡化證明 的過程，還可以運用的不等式去證明需求的不等式。而怎樣去找到適宜的輔助函數(shù)與不等式是一個難

64、點。 在教學方面，運用不等式解題可以使問題簡單化處理，而難點在于如何能在教學過 程中培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提高學生分析問題的能力。 預期到達的目標： 不等式證明以及應(yīng)用是數(shù)學教學中的一個非常最重要的一局部。許多數(shù)學問題都需要借助不等式來解決。通過對一些不等式進行證明來了解其某些性質(zhì)，從而可以運用來解決新的一些問題，還可以從中歸納出一些可行的方法來完善學生對不等式的理解，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和能力。 四、論文詳細工作進度和安排 1.論文選題，查閱文獻，收集信息，對材料進行加工整理，形成系統(tǒng)材料。〔大四上半學期結(jié)束――寒假期間〕2.收集、整理、分析材料，寫出論文開題報告及文獻綜述?！查_學第一周――第二周〕3.對外文資料進行整理、分析，翻譯外文二篇，寫出論文大綱?！查_學第三周――第六周〕4.再仔細研讀、分析文獻、資料，寫出初稿?！查_學第七周――第八周〕5.根據(jù)導師意見，對論文進行反復修改。〔開學第九周――第十一周〕6.對論文進行深入研究，彌補缺乏之處，最后定稿，并寫出一篇800――1000字的論文摘要，準備好辯論?！查_學第十二周――第十三周〕凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應(yīng)用[J],山西經(jīng)濟管理干部學院學報,2003, 04 [16] Mathematical Inequalities 29