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1、
《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》報(bào)告
學(xué) 院： 電子信息學(xué)院
專(zhuān)業(yè)班級(jí)： 信息工程電聯(lián)班
學(xué) 號(hào)：
姓 名：
實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)： 特征根與特征方程
實(shí)驗(yàn)日期： 2016/05/31
特征根與特征方程
1． 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?
掌握特征值、特征向量、特征方程、矩陣的對(duì)角化等概念和理
2、論；
掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法；
理解由差分方程xk+1=Axk；
提高對(duì)離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的理解與分析能力。
2． 實(shí)驗(yàn)任務(wù)
1． 當(dāng)捕食者-被捕食者問(wèn)題中的捕食系數(shù)p是 0.125時(shí)，試確定該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的演化（給出xk的計(jì)算公式）。貓頭鷹和森林鼠的數(shù)量隨時(shí)間如何變化？該系統(tǒng)趨向一種被稱(chēng)為不穩(wěn)定平衡的狀態(tài)。如果該系統(tǒng)的某個(gè)方面（例如出生率或捕食率）有輕微的變動(dòng)，系統(tǒng)如何變化？
2． 雜交育種的目的是培養(yǎng)優(yōu)良品種，以提高農(nóng)作物的產(chǎn)量和質(zhì)量。如果農(nóng)作物的三種基因型分別為AA，Aa，aa。其中AA為優(yōu)良品種。農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用AA型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代，已知雙親基因型
3、與其后代基因型的概率。問(wèn)經(jīng)過(guò)若干年后三種基因型分布如何？要求：
（1） 建立代數(shù)模型，從理論上說(shuō)明最終的基因型分布。
（2） 用MATLAB求解初始分布為0.8，0.2，0時(shí)，20年后基因分布，是否已經(jīng)趨于穩(wěn)定？
概率
父體－母體基因型
AA-AA
AA-Aa
AA-aa
Aa-Aa
Aa-aa
aa-aa
后代
基因型
AA
1
1/2
0
1/4
0
0
Aa
0
1/2
1
1/2
1/2
0
aa
0
0
0
1/4
1/2
1
3． 實(shí)驗(yàn)過(guò)程
3.1實(shí)驗(yàn)原理
1、特征值與特征向量
4、
2、特征值與特征向量的求法
3、矩陣的對(duì)角化
4、離散線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)
5、eig命令
3.2算法與編程
3.2.1
clear, clc
a = -20*100; b = -a; c = a; d = b; p = 0.1;
n = 100;
xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')
axis([0 b 0 d]),grid on,hold on
x = linspace(a,b,30);
A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];
5、
[pc,lambda] = eig(A);
[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');
temp = diag(lambda);
lambda = temp(I)
pc = pc(:,I)
pc = -pc;
z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;
z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;
h
6、 = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')
h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2')
button = 1;
while button == 1
[xi yi button] = ginput(1);
plot(xi,yi,'go'),hold on
X0 = [xi;yi];
X = X0;
for i=1:n
7、 X = [A*X, X0];
h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on
text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')
quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)
set(h,'MarkerSize',6),grid,
end
end
3.2.2
clear;
A=[1 0.5
8、 0;0 0.5 1;0 0 0];
X=[0.8;0.2;0];
for i=1:20
X=A*X;
end
X20=X
X=[0.8;0.2;0];
C=[1 1 1]';n=0;
while norm(X-C,'fro')>1.0e-16
C=X;n=n+1;X=A*X;
end
format long;
X,n
結(jié)果分析
1.
2.
>>
X20 =
0.999999809265137
0.000000190734863
0
X =
1.0000
9、00000000000
0.000000000000000
0
n =
52
4. 實(shí)驗(yàn)總結(jié)和實(shí)驗(yàn)感悟
通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)，我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩陣的對(duì)角化等概念和理論；掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高對(duì)離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的理解與分析能力。我們可以選取充分大的k使上述兩式中的近似達(dá)到任意精度。 每次增長(zhǎng)為原來(lái)的入倍，所以入決定了系統(tǒng)的最后增長(zhǎng)率。 對(duì)于大的k，x屮任何兩個(gè)元素的比值約等于屮對(duì)應(yīng)元素的比值。用Matlab軟件可以方便地計(jì)算出矩陣的特征值和其對(duì)應(yīng)的特征向量， 從而能更好地幫助我們?nèi)シ治鰟?dòng)態(tài)系統(tǒng);xk+1=Axk的演化過(guò)程.
華工數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告 特征值與特征向量
