第二講 等 比 數(shù) 列數(shù)列的求和

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1、第二講 等 比 數(shù) 列 數(shù)列的求和 1. 等比數(shù)列的概念 (1) 文字語(yǔ)言：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列． (2) 符號(hào)語(yǔ)言：_＝q(n∈N，q是等比數(shù)列的公比)． 2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，則第n項(xiàng)an＝a1qn－1． 推廣：an＝amq(n－m)． 3. 等比中項(xiàng)：若a，G，b成等比數(shù)列，則G為a和b的等比中項(xiàng)且G＝±． 4. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 (1) 當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1． (2) 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝． 5. 等

2、比數(shù)列的性質(zhì) (1) an＝amqn－m． (2) 等比數(shù)列{an}中，對(duì)任意的m、n、p、q∈N*，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq． 特殊的，若m＋n＝2p，則aman＝a． (3) 等比數(shù)列{an}中依次每m項(xiàng)的和仍成等比數(shù)列， 即Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、…仍成等比數(shù)列，其公比為qm(q≠－1)． 6. 當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an. 7. 當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用迭乘法求數(shù)列的通項(xiàng)an. 8. (1)

3、an＝ (2) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝，推導(dǎo)方法：倒序相加法． (3) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝ 推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法． 9. 常見數(shù)列的前n項(xiàng)和： (1) 1＋2＋3＋…＋n＝； (2) 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)； (3) 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2； (4) 12＋22＋32＋…＋n2＝． 10. (1) 分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列． (2) 拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成二項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和． (3) 錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和． (4) 倒序

4、相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法． 11. 常見的拆項(xiàng)公式有： (1) ＝－； (2) ＝； (3) ＝； (4) ＝(－). 1.等比數(shù)列{an}中，a1>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，則a3＋a5＝________． 答案：6 解析：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝(a3＋a5)2＝36，又a1>0，∴ a3，a5>0，∴ a3＋a5＝6. 2. 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________． 答案：an＝ 解析：＝××…×＝. 3. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a

5、n＝，則S4＝________． 答案： 解析：an＝＝－，∴ S4＝1－＋－＋－＋－＝. 4.數(shù)列1，2，3，4，…的前n項(xiàng)和是 __________． 答案：Sn＝＋1－ 解析：Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－. 題型1　等比數(shù)列的基本運(yùn)算 例1　 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，3Sn＝an－1(n∈N)． (1) 求a1，a2； (2) 求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (3) 求an和Sn. (1) 解：由3S1＝a1－1，得3a1＝a1－1，∴ a1＝－. 又3S2＝a2－1，即3a1＋3a2＝a

6、2－1，得a2＝. (2) 證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－， 所以{an}是首項(xiàng)為－，公比為－的等比數(shù)列． (3) 解：由(2)可得an＝n， Sn＝＝－. 1 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1) 求證：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列； (2) 求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn； (3) 求證：不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立． (1) 證明：由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1， 所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)為1，公

7、比為4的等比數(shù)列． (2) 解：由(1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－1＋n， 所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＋. (3) 證明：對(duì)任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立． 題型2　等比數(shù)列的性質(zhì) 例2　已知等比數(shù)列{an}中，a2＝32，a8＝，an＋1

8、 所以通項(xiàng)公式為an＝64·n－1＝27－n(n∈N)．　 (2) 設(shè)bn＝log2an，則bn＝log227－n＝7－n.所以{bn}是首項(xiàng)為6，公差為－1的等差數(shù)列． Tn＝6n＋(－1)＝－n2＋n＝－(n－)2＋.因?yàn)閚是自然數(shù)， 所以n＝6或n＝7時(shí)，Tn最大，其最大值是T6＝T7＝21. 2 已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范圍是________． 解析：∵a5＝a2q3，∴＝2×q3，∴q＝，∴a1＝＝4，∴an＝4×＝23－n， ∴akak＋1＝·＝， ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1

9、＝＋＋…＋＝32× ＝32×＝∈. 題型3　分組轉(zhuǎn)化求和 例3　求下面數(shù)列的前n項(xiàng)和： 1，3，5，7， … 解：Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ ＝＋＝n2－＋1. 3 已知an＝ (1) 求數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10； (2) 求數(shù)列{an}的前2k項(xiàng)和S2k. 解：(1) S10＝(6＋16＋26＋36＋46)＋(2＋22＋23＋24＋25) ＝＋＝192. (2) 由題意知數(shù)列{an}的前2k項(xiàng)中，k個(gè)奇數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為6，公差為10的等差數(shù)列，k個(gè)偶數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．∴ S2k＝[6＋16＋…＋(10k－4)

10、]＋(2＋22＋…＋2k)＝＋＝5k2＋k＋2k＋1－2. 題型4　裂項(xiàng)相消求和 例4　求下面各數(shù)列的前n項(xiàng)和： (1) ，，，，… (2) ，，，，… 解：(1) ∵ an＝＝(－)， ∴ Sn＝(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝(1＋－－)＝. (2) ∵ an＝＝1＋＝1＋， ∴ Sn＝n＋＝. 4 求1＋＋＋…＋. 解：∵ak＝2，∴Sn＝. 題型5　倒序相加求和 例5　設(shè)f(x)＝，求f(－12)＋f(－11)＋f(－10)＋…＋f(0)＋…＋f(11)＋f(12)＋f(13)的值． 解：∵ f(x)＋f(1－x)＝，∴ 原式＝. 5 一個(gè)等差數(shù)列

11、前4項(xiàng)之和為26，最末4項(xiàng)之和為110，所有項(xiàng)之和為187，則它的項(xiàng)數(shù)為________． 答案：11 解析：∵a1＋a2＋a3＋a4＝26，an＋an－1＋an－2＋an－3＝110，∴a1＋an＝＝34. 又Sn＝＝187，∴n＝11. 題型6　錯(cuò)位相減求和 例6　在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4，5a3成等差數(shù)列． (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè)bn＝log3an，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1) 設(shè){an}公比為q，由題意得q>0，且即 解得或(舍)， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3·3n－1

12、＝3n，n∈N． (2) 由(1)可得bn＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n. 所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n， 所以3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1， 兩式相減得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－＋n·3n＋1＝， 所以數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn＝. 6 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1. (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2) 若bn＝log(Sn＋1)，求數(shù)列{bnan}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1) 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，

13、 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1， 綜上所述，an＝2×3n－1. (2) bn＝log(Sn＋1)＝log3n＝－n， 所以bnan＝－2n×3n－1， Tn＝－2×1－4×31－6×32－…－2n×3n－1， 3Tn＝－2×31－4×32－…－2(n－1)×3n－1－2n×3n， 相減，得 －2Tn＝－2×1－2×31－2×32－…－2×3n－1＋2n×3n ＝－2×(1＋31＋32＋…＋3n－1)＋2n×3n， 所以Tn＝(1＋31＋32＋…＋3n－1)－n×3n＝－n×3n＝－，n∈N*. 1.已知數(shù)列{an}滿足

14、3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和為________． 答案：3(1－3－10) 解析：q＝－，a1＝4，則S10＝＝3(1－3－10)． 2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an＋，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝________． 答案：an＝(－2)n－1解析：Sn＝an＋，Sn－1＝an－1＋(n≥2)，相減得an＝an－an－1，即an＝－2an－1(n≥2)． 又S1＝a1＋，即a1＝1，故an＝(－2)n－1. 3.等差數(shù)列{an}中，a7＝4，a19＝2a9. (1) 求{an}的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

15、Sn. 解：(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d， 因?yàn)樗越獾胊1＝1，d＝. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2) bn＝＝＝－， 所以Sn＝＋＋…＋ ＝. 4.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1≠0，2an－a1＝S1·Sn，n∈N． (1) 求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2) 求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和． 解：(1) ∵ S1＝a1.∴ 當(dāng)n＝1時(shí)，2a1－a1＝S1·S1a1≠0，a1＝1. 當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝2an－2an－1an＝2an－1 {an}是首項(xiàng)為a1＝1公比為q

16、＝2的等比數(shù)列，an＝2n－1，n∈N*. (2) 設(shè)Tn＝1·a1＋2·a2＋3·a3＋…＋n·an qTn＝1·qa1＋2·qa2＋3·qa3＋…＋n·qan qTn＝1·a2＋2·a3＋3·a4＋…＋n·an＋1， 上式左右錯(cuò)位相減： (1－q)Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1＝a1－nan＋1＝2n－1－n·2n Tn＝(n－1)·2n＋1，n∈N*. 1. 等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和公比q的值． 解：解法1：在等比數(shù)列{an}中，a1an＝a2an－1＝128.

17、 又a1＋an＝66，∴ 解得或∴q≠1. 由an＝a1qn－1和Sn＝＝126， 得或解得或 綜上所述，n的值為6，q＝2或. 2. 已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且滿足a4·a7＝15，a3＋a8＝8. (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2) 令bn＝(n≥2)，b1＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1) 根據(jù)題意：a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4·a7＝15，知：a4，a7是方程x2－8x＋15＝0的兩根，且a4

18、＝3＋(n－4)＝. (2) 當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝＝＝＝. 又b1＝＝， ∴ Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝＝. 1. 重點(diǎn)是本著化多為少的原則，解題時(shí)，需抓住首項(xiàng)a1和公比q. 2. 運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，要對(duì)q＝1和q≠1進(jìn)行討論． 3. 解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的常見思想方法：①方程的思想：等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程組求關(guān)鍵量a1，q；②分類的思想：當(dāng)a1>0，q>1或者a1<0，00，01時(shí)，等比數(shù)列{an}遞減；當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列；③函數(shù)的思想：用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)理解和掌握等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式． 4. 巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要． 5. an的兩種常見變形 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(累加法) an＝a1···…(累乘法) 6. 數(shù)列求和的方法技能 ① 倒序相加?、?錯(cuò)位相減　③ 分組求和?、?拆項(xiàng)相消