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1、第19講解直角三角形及其應用,考點一,考點二,考點三,考點一銳角三角函數(shù)1.三角函數(shù)的概念,互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系:sin(90-A)=cosA;cos(90-A)=sinA.,,,,考點一,考點二,考點三,2.特殊角的三角函數(shù)值,考點一,考點二,考點三,考點二解直角三角形的一般類型,考點一,考點二,考點三,考點三解直角三角形的實際應用(高頻)1.常見概念,考點一,考點二,考點三,2.解直角三角形的實際應用題的方法解直角三角形的實際應用問題時,要讀懂題意,分析背景語言,弄清題中各個量的具體意義及各個已知量和未知量之間的關(guān)系,把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系問題,具體方法如下:(1)緊扣三
2、角函數(shù)的定義,尋找邊角關(guān)系;,考點一,考點二,考點三,(2)添加輔助線,構(gòu)造直角三角形.作高是常用的輔助線添加方法(如圖所示).(3)逐個分析相關(guān)的直角三角形,利用直角三角形的邊角關(guān)系求解.,命題點解直角三角形的實際應用,1.(2018安徽,19,10分)為了測量豎直旗桿AB的高度,某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標桿CD,并在地面上水平放置一個平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上,如圖所示.該小組在標桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A(此時AEB=FED).在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3,平面鏡E的俯角為45,FD=1.8米,問旗桿AB的高度約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):
3、tan39.30.82,tan84.310.02),解法一過點F作AB的垂線交AB于點H,交AE于點G,FHDB,1=45,2=3=45,FEG=90.,AB=AH+BH=AH+FD18(米).答:旗桿AB的高度約為18米.,解法二由題意得:FED=45,AEB=FED=45,,2.(2017安徽,17,8分)如圖,游客在點A處坐纜車出發(fā),沿A-B-D的路線可至山頂D處,假設AB和BD都是直線段,且AB=BD=600m,=75,=45,求DE的長.(參考數(shù)據(jù):sin750.97,cos750.26,1.41),解:在RtABC中,AB=600m,ABC=75,BC=ABcos756000.26
4、156(m).2分在RtBDF中,DBF=45,,四邊形BCEF是矩形,4分EF=BC=156(m).DE=DF+EF=423+156=579(m).8分答:DE的長為579m.,3.(2016安徽,19,10分)如圖,河的兩岸l1與l2相互平行,A,B是l1上的兩點,C,D是l2上的兩點.某人在點A處測得CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前進20米到達點E(點E在線段AB上),測得DEB=60,求C,D兩點間的距離.,4.(2015安徽,18,8分)如圖,平臺AB高為12米,在B處測得樓房CD的仰角為45,底部點C的俯角為30,求樓房CD的高度.(1.7),考法1,考法2,考法3,考法
5、1銳角三角函數(shù),例1(2017湖北宜昌)ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個小正方形邊長為1),ADBC于D,下列選項中,錯誤的是()A.sin=cosB.tanC=2C.sin=cosD.tan=1答案:C解析:先構(gòu)建直角三角形再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答,,方法總結(jié)求銳角的三角函數(shù),首先要確定在哪個直角三角形中考察,其次要清楚所求的是哪兩邊之比.常通過“等角代換”,將所求的銳角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化到另外的直角三角形中考查.,考法1,考法2,考法3,對應練1(2018貴州貴陽)如圖,A、B、C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長為1,則tanBAC的值為(B),,解析:連接BC,則BCAB.在RtAB
6、C中,,考法1,考法2,考法3,對應練2(2017湖南懷化)如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(3,4),那么sin的值是(C),,考法1,考法2,考法3,對應練3.(2017內(nèi)蒙古包頭)如圖,在矩形ABCD中,點E是CD的中點,點F是BC上一點,且FC=2BF,連接AE,EF.若AB=2,AD=3,則cosAEF的值是.,解析:在矩形ABCD中,B=C=90,AB=CD=2,AD=BC=3,FC=2BF,點E是CD的中點,可知CE=1,BF=1,CF=2,得RtABFRtFCE,則有2=3,1+3=901+2=90,AFE=90.,,考法1,考法2,考法3,考法2直角三角形中的邊角關(guān)系,
7、例2(2012安徽)如圖,在ABC中,A=30,B=45,AC=2,求AB的長.,解:如圖,過點C作CDAB于點D,在RtACD中,,考法1,考法2,考法3,對應練4(2018浙江金華)如圖,兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上,量得ABC=,ADC=,則竹竿AB與AD的長度之比為(B),,考法1,考法2,考法3,對應練5(2017山東臨沂)在ABCD中,對角線AC,BD相交于點O.若AB=4,BD=10,sinBDC=,則ABCD的面積是24.,,對應練6(2017上海)如圖,一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是ABC,水平橫梁BC長18米,中柱AD高6米,其中D是BC的中點,且ADBC.(1)求sinB的值
8、;(2)現(xiàn)需要加裝支架DE,EF,其中點E在AB上,BE=2AE,且EFBC,垂足為點F,求支架DE的長.,考法1,考法2,考法3,考法1,考法2,考法3,考法1,考法2,考法3,考法3解直角三角形的實際應用例3(2014安徽)如圖,在同一平面內(nèi),兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通,其中AB段與高速公路l1成30角,長為20km;BC段與AB,CD段都垂直,長為10km,CD段長為30km,求兩高速公路間的距離(結(jié)果保留根號).分析過B點作BEl1,交l1于E,CD于F,l2于G.在RtABE中,根據(jù)三角函數(shù)求得BE,在RtBCF中,根據(jù)三角函數(shù)求得BF,在RtDFG中,根據(jù)三
9、角函數(shù)求得FG,再根據(jù)EG=BE+BF+FG即可求解.,考法1,考法2,考法3,解如圖,過B點作BEl1,交l1于E,CD于F,l2于G.在RtABE中,BE=ABsin30=20=10(km),在RtBCF中,,考法1,考法2,考法3,方法總結(jié)解這類實際應用問題,關(guān)鍵是要將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素間的關(guān)系,即把實際問題抽象成數(shù)學模型(構(gòu)造直角三角形),然后根據(jù)直角三角形邊、角以及邊角關(guān)系求解.解題時應注意弄清仰角、俯角、水平距離、坡度(坡比)、坡角等概念的意義,認真分析題意,觀察圖形(或畫圖)找出要解的直角三角形,選擇合適的邊角關(guān)系式計算,并按照題中要求的精確度確定答案,注
10、明單位.在一些問題中,如斜三角形問題,要根據(jù)需要添加輔助線,構(gòu)造出直角三角形,從而轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.解題時方法要靈活,選擇關(guān)系時盡量考慮用原始數(shù)據(jù),減小誤差.,考法1,考法2,考法3,對應練7(2018四川綿陽)一艘在南北航線上的測量船,于A點處測得海島B在點A的南偏東30方向,繼續(xù)向南航行30海里到達C點時,測得海島B在C點的北偏東15方向,那么海島B離此航線的最近距離是(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)(參考數(shù)據(jù):A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里,,考法1,考法2,考法3,解析:如圖所示,由題意知,BAC=30,ACB=15,作BDAC于點D,以點B為頂點,B
11、C為邊,在ABC內(nèi)部作CBE=ACB=15,則BED=30,BE=CE,設BD=x,,考法1,考法2,考法3,對應練8(2018重慶B卷)如圖,AB是一垂直于水平面的建筑物.某同學從建筑物底端B出發(fā),先沿水平方向向右行走20米到達點C,再經(jīng)過一段坡度(或坡比)為i=10.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D,然后再沿水平方向向右行走40米到達點E(A,B,C,D,E均在同一平面內(nèi)).在E處測得建筑物頂端A的仰角為24,則建筑物AB的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin240.41,cos240.91,tan240.45)(A)A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米,,考法1,考法2,考法3,解析:過點C作CNDE于點N,延長AB交ED的延長線于點M,則BMDE于點M,則MN=BC=20米.斜坡CD的坡比i=10.75,令CN=x,則DN=0.75x.在RtCDN中,由勾股定理,得x2+(0.75x)2=102,解得x=8,從而CN=8米,DN=6米.DE=40米,ME=MN+ND+DE=66米,AM=(AB+8)米.在RtAME中,,
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