計算方法第四章矩陣特征值和特征向量的計算ppt課件

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第四章 矩陣特征值和特征向量的計算,,工程實踐中有多種振動問題，如橋梁 或建筑物的振動，機(jī)械機(jī)件、飛機(jī)機(jī)翼的振動，及 一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析可轉(zhuǎn) 化為求矩陣特征值與特征向量的問題。,但高次多項式求根精度低 , 一般不作為求解方法. 目前的方法是針對矩陣不同的特點給出不同的有效方法.,1,常用解法,,1、 乘冪法和反冪法 2、求實對稱矩陣特征值的雅可比方法 3、求矩陣全部特征值的QR方法,2,4.1 乘冪法和反冪法 一、乘冪法,乘冪法主要是用來求矩陣的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量。它是通過迭代產(chǎn)生向量序列，由此計算特征值和特征向量。,,3,,4,5,6,二、乘冪法的加速,因為乘冪法的收斂速度是線性的，而且依賴于 比值 ,當(dāng)比值接近于1時，乘冪法收斂很慢。 乘冪法加速有多種，重點介紹原點平移法。,7,8,9,三、反冪法,反冪法是計算矩陣按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相應(yīng)特征向量的最有效的方法。,,10,反冪法規(guī)范后的計算格式,11,四、利用原點平移的反冪法求任一特征值和特征向量,12,4.2 雅可比（ Jacobi ）方法,Jacobi方法是用來求實對稱矩陣的全部特征值和對應(yīng)特征向量的一個古典算法。Jacobi方法的基本思想是對矩陣A做一系列的正交相似變換，使其非對角元素收斂到零，從而使該矩陣近似為對角矩陣，得到全部特征值和特征向量。,13,,,一、古典雅可比方法,14,,,15,,,16,,,17,,,18,19,,,20,,,21,,,,,,Jacobi算法的基本思想:,,,,22,二、 雅可比過關(guān)法,（1）循環(huán)Jacobi方法：,（2）Jacobi過關(guān)法：,23,多項式運算函數(shù),r=roots(p)：求多項式的零點 p=poly(r) : 以r為零點的多項式 p=poly(A): A的特征多項式 PA=polyval(p,S):按數(shù)組運算規(guī)則，計算多項式的值 其中S，PA為矩陣 PM=polyvalm(p,S):按矩陣運算規(guī)則，計算多項式的值, 其中S，PM為矩陣 p=conv(p1,p2)：多項式的乘積 [q,r]=deconv(p1,p2)：多項式的除法，p1/p2 p1(x)=p2(x)q(x)+r(x),24,【例】由給定根向量求多項式系數(shù)向量。 R=[-0.5,-0.3+0.4*i,-0.3-0.4*i]; P=poly(R) PPR=poly2str(P,'x') P = 1.0000 1.1000 0.5500 0.1250 PPR = x^3 + 1.1 x^2 + 0.55 x + 0.125,25,【例】求多項式 的零點。 r=roots([1 -6 15 -20 15 -6 1]) r = 1.0042 + 0.0025i 1.0042 - 0.0025i 1.0000 + 0.0049i 1.0000 - 0.0049i 0.9958 + 0.0024i 0.9958 - 0.0024i,注：盡管利用MATLAB使得從系數(shù)轉(zhuǎn)換到零點或從零點轉(zhuǎn)換到系數(shù)都非常容易，但是使用時一定要注意計算的精度。如果存在重根，這種轉(zhuǎn)換可能會降低精度。對于數(shù)值計算，計算重根是最困難的問題之一。,26,【例】求3階方陣A的特征多項式。 A=[11 12 13;14 15 16;17 18 19]; PA=poly(A) PPA=poly2str(PA,'x') PA = 1.0000 -45.0000 -18.0000 -0.0000 PPA = x^3 - 45 x^2 - 18 x - 2.8387e-015,27,【例】求 的“商”及“余”多項式。 p1=conv([1,0,2],conv([1,4],[1,1])); p2=[1 0 1 1]; [q,r]=deconv(p1,p2); cq='商多項式為 '; cr='余多項式為 '; disp([cq,poly2str(q,'x')]) disp([cr,poly2str(r,'x')]) 商多項式為 x + 5 余多項式為 5 x^2 + 4 x + 3,28,dot(x,y) 向量的內(nèi)積 norm ： 矩陣或向量范數(shù) det(A) 方陣的行列式； rank(A) 矩陣的秩； trace(A) 矩陣的跡； rref(A) 初等變換化矩陣A為階梯矩陣 inv(A) 矩陣的逆；即 A-1 pinv(A) 矩陣的廣義逆A+ orth(A) 將A標(biāo)準(zhǔn)正交化 cond(A,flag) 矩陣的條件數(shù), flag=2, 1, inf, 'fro';,線性代數(shù)常用函數(shù),29,d=eig(A) ： 方陣的特征值； [V,D]=eig(A) : A*V=V*D c=condeig(A) ： 向量c中包含矩陣A關(guān)于各 特征值的條件數(shù) [V,D,c]=condeig(A)：,例: A=[1 0 0;1 2 0;1 2 3], d=eig(A), [V,D]=eig(A), C=condeig(A), [V,D,C]=condeig(A),,30,例：觀察7階隨機(jī)矩陣特征值的分布 a=rands(7,7) %產(chǎn)生7階隨機(jī)矩陣 e=eig(a) title('特征值的分布'); plot(real(e),imag(e),'o') xlabel('實軸'); ylabel('虛軸');,注：本例驗證了如下定理：實方陣的特征值或為實 數(shù)或呈共軛對出現(xiàn)。,31,例：觀察正交矩陣的特征值分布 a=rands(7,7); b=orth(a); %構(gòu)造一個正交矩陣 theta=0:0.01:2*pi; e=eig(b); plot(real(e),imag(e),'r*',cos(theta),sin(theta)); axis equal title('正交矩陣特征值的分布'); xlabel('實軸'); ylabel('虛軸');,注：本例驗證了正交矩陣的特征值分布在復(fù)平面的單 位圓上。,32,