（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 7.5 數(shù)學歸納法課件.ppt

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1、7.5數(shù)學歸納法,,第七章數(shù)列與數(shù)學歸納法,,NEIRONGSUOYIN,內容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,課時作業(yè),1,基礎知識 自主學習,PART ONE,,知識梳理,數(shù)學歸納法 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n取 (n0N*)時命題成立； (2)(歸納遞推)假設nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當 時命題也成立. 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.,ZHISHISHULI,,,,第一個值n0,nk1,1.用數(shù)學歸納法證題時，證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成

2、立.因為n0N*，所以n01.這種說法對嗎？,【概念方法微思考】,提示不對，n0也可能是2,3,4，.如用數(shù)學歸納法證明多邊形內角和定理(n2)時，初始值n03.,2.數(shù)學歸納法的第一個步驟可以省略嗎？,提示不可以，數(shù)學歸納法的兩個步驟相輔相成，缺一不可.,3.有人說，數(shù)學歸納法是合情推理，這種說法對嗎？,提示不對，數(shù)學歸納法是一種證明與自然數(shù)有關的命題的方法，它是演繹推理.,,題組一思考辨析 1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明.() (2)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用.() (3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學

3、歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項.() (4)用數(shù)學歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應為122223.() (5)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的內角和公式時，n03.(),,,,1,2,3,4,5,6,,基礎自測,JICHUZICE,,,,,,題組二教材改編 2.P99B組T1在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n3)條時，第一步檢驗n等于 A.1 B.2 C.3 D.4,,1,2,3,4,5,6,解析凸n邊形邊數(shù)最小時是三角形， 故第一步檢驗n3.,,3.P96A組T2已知an滿足an1anan1，nN*，且a12，則a2___，a3___，

4、a4___，猜想an_____.,,1,2,3,4,5,6,3,4 5 n1,題組三易錯自糾 4.用數(shù)學歸納法證明1aa2an1 (a1，nN*)，在驗證n1時，等式左邊的項是 A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,解析當n1時，n12， 左邊1a1a21aa2.,,1,2,3,4,5,6,,當nk1時，不等式成立. 則上述證法 A.過程全部正確B.n1驗證的不正確 C.歸納假設不正確D.從nk到nk1的推理不正確,解析在nk1時，沒有應用nk時的假設，不是數(shù)學歸納法.,,1,2,3,4,5,6,,解析運用數(shù)學歸納法證明 1232n2n122n1(nN*). 當n

5、k時，則有1232k2k122k1(kN*)，左邊表示的為2k項的和. 當nk1時，則 左邊1232k(2k1)2k1，表示的為2k1項的和，增加了2k12k2k項.,6.用數(shù)學歸納法證明1232n2n122n1(nN*)時，假設當nk時命題成立，則當nk1時，左端增加的項數(shù)是____.,,1,2,3,4,5,6,2k,2,題型分類深度剖析,PART TWO,,題型一用數(shù)學歸納法證明等式,,自主演練,左邊右邊，所以等式成立. 假設當nk(k1，kN*)時等式成立，即有,所以當nk1時，等式也成立. 由可知對于一切nN*等式都成立.,用數(shù)學歸納法證明恒等式應注意 (1)明確初始值n0并驗證當nn

6、0時等式成立. (2)由nk證明nk1時，弄清左邊增加的項，且明確變形目標. (3)掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆項；配方法.,,題型二用數(shù)學歸納法證明不等式,,師生共研,例1(2017浙江)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*). 證明：當nN*時， (1)0 xn1xn；,證明用數(shù)學歸納法證明xn0. 當n1時，x110. 假設nk時，xk0， 那么nk1時，若xk10， 則0 xkxk1ln(1xk1)0，與假設矛盾，故xk10， 因此xn0(nN*).所以xnxn1ln(1xn1)xn1， 因此0 xn1xn(xN*).,證明由xnxn1ln(1xn1)

7、得，xnxn14xn12xn,記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).,函數(shù)f(x)在0，)上單調遞增，所以f(x)f(0)0，,用數(shù)學歸納法證明與n有關的不等式，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧，使問題得以簡化.,跟蹤訓練1(2018浙江臺州市三區(qū)適應性考試)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an2(n1,2,3，).數(shù)列bn中，b11，點P(bn，bn1)在直線xy20上. (1)求數(shù)列an和數(shù)列bn的通項公式；,解因為Sn2an2，所以當n2時，anSnSn12an2an1，即an2an1.又由S

8、12a12a1，得a12，所以數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列. 故an22n12n. 因為點P(bn，bn1)在直線xy20上，所以bnbn120，即bn1bn2.又b11，所以數(shù)列bn是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.故bn12(n1)2n1.,(2)若Tn為數(shù)列bn的前n項和，求證：當n2，nN*時，2SnTn3n.,證明易知Sn2an22n12，Tnn2，所以2SnTn3n，即2n2n23n4(n2，nN*). 方法一用數(shù)學歸納法證明如下. 當n2時，因為2n216，n23n414，所以不等式成立； 假設當nk(k2)時，不等式成立，即2k2k23k4成立， 那么當nk1時，由

9、k2得k2k0， 所以2k322k22(k23k4)2k26k8(k2k)(k25k8)k25k8(k1)23(k1)4，所以2(k1)2(k1)23(k1)4， 所以當nk1時，不等式成立. 綜合可知，對任意的n2，nN*，不等式2SnTn3n成立. 故得證.,方法二用二項式定理證明如下： 因為n2，nN*，所以2n2222n4(11)n,n23n4(n2n)n23n4， 所以2n2n23n4，故得證.,,題型三歸納猜想證明,,師生共研,(1)求方程f(x)x0的實數(shù)解；,(2)如果數(shù)列an滿足a11，an1f(an)(nN*)，是否存在實數(shù)c，使得a2n

10、證明你的結論.,因為a11，,所以當n1時結論成立.,所以當nk1時，結論也成立.,(1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結論，然后經邏輯推理即演繹推理論證結論的正確性. (2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結合的問題是最常見的問題.,跟蹤訓練2設函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導函數(shù). (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x))，nN*，求gn(x)的表達式；,,,,下面用數(shù)學歸納法證明.,由可知，結論對nN*恒成立.,則當n

11、k1時，gk1(x)g(gk(x)),(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；,,,,當a1時，(x)0(當且僅當x0，a1時等號成立)， (x)在0，)上單調遞增. 又(0)0， (x)0在0，)上恒成立，,當a1時，對x(0，a1，有(x)0， (x)在(0，a1上單調遞減， (a1)1時，存在x0，使(x)<0，,綜上可知，a的取值范圍是(，1.,(3)設nN*，比較g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小，并加以證明.,,,,比較結果為g(1)g(2)g(n)nln(n1). 證明如下：,下面用數(shù)學歸納法證明.,由可知，結論對nN*成立.,假設當nk(k1，kN*)時結

12、論成立，,結論得證.,3,課時作業(yè),PART THREE,基礎保分練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析等式右邊的分母是從1開始的連續(xù)的自然數(shù)，且最大分母為6n1，則當n1時，最大分母為5，故選C.,,2.已知f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的關系是 A.f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2 B.f(k1)f(k)(k1)2 C.f(k1)f(k)(2k2)2 D.f(k1)f(k)(2k1)2,解析f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.,,1,2,3,4,5,6,7,8

13、,9,10,11,12,13,14,15,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,A.1項 B.k項C.2k1項 D.2k項,其項數(shù)為2k112k12k12k2k.故左邊增加了2k項.,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析等式左邊是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，直到n2. 故nk1時，最后一項是(k1)2，而nk時，最后一項是k2， 應加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.,5.設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足當f(k)k1成立時，總能推出f(k1)k2成立，那么下列命題總成立的是 A.若f

14、(1)<2成立，則f(10)<11成立 B.若f(3)4成立，則當k1時，均有f(k)k1成立 C.若f(2)<3成立，則f(1)2成立 D.若f(4)5成立，則當k4時，均有f(k)k1成立,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析當f(k)k1成立時，總能推出f(k1)k2成立， 說明如果當kn時，f(n)n1成立， 那么當kn1時，f(n1)n2也成立， 所以如果當k4時，f(4)5成立， 那么當k4時，f(k)k1也成立.,,解析觀察不等式中分母的變化便知.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,1,2,3,

15、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,c32(1a1)(1a2)(1a3),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析用數(shù)學歸納法證明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN*)時， 從nk到nk1時左邊需增乘的代數(shù)式是,10.用數(shù)學歸納法證明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN*)時，從nk到nk1時左邊需增乘的代數(shù)式是________.,4k2,,

16、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知正項數(shù)列an中，對于一切的nN*均有aanan1成立. (1)證明：數(shù)列an中的任意一項都小于1；,在數(shù)列an中，an0，,0

17、7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.(2018浙江諸暨中學模擬)數(shù)列an滿足an1 nan1(nN*). (1)當ann2對一切正整數(shù)n都成立時，a1應滿足什么條件？,解當a13時，ann2對一切正整數(shù)都成立.用數(shù)學歸納法證明： 當n1時，a13成立. 當nk(k1，kN*)時，假設akk2成立， 則當nk1時， ak1 kak1ak(akk)1ak(k2k)12ak12(k2)12k5(k1)2. 綜上，當且僅當a13時，ann2對一切正整數(shù)n均成立.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1

18、1,12,13,14,15,證明由(1)知，當a13時，ann2，,于是，an112(an1)22(an11)2n(a11)(nN*)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以只要a13，)，,即滿足要求的a1的取值有無數(shù)多個.,技能提升練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命題總成立的是 A.若f(1)<1成立，則f(10)<100成立 B.若f(2)<4成立，則f(1)1成立 C.若f

19、(3)9成立，則當k1時，均有f(k)k2成立 D.若f(4)16成立，則當k4時，均有f(k)k2成立,,解析當f(k)k2成立時，f(k1)(k1)2成立， 當f(4)16時，有f(5)52，f(6)62，，f(k)k2成立.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓??？,,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解設這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證. 當n2時

20、，由圖(1)知兩個半圓交于一點，則分成4段圓弧，故f(2)422； 當n3時，由圖(2)知三個半圓交于三點，則分成9段圓弧，故f(3)932； 當n4時，由圖(3)知四個半圓交于六點，則分成16段圓弧，故f(4)1642； 由此猜想，滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f(n)n2.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,用數(shù)學歸納法證明如下： 當n2時，上面已證； 假設當nk時，f(k)k2，那么當nk1時，第k1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交于一點，所以第k1個半圓把原k個半圓中的每一個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條

21、圓?。涣硗庠璳個半圓把第k1個半圓分成k1段，這樣又多出了k1段圓弧. 所以f(k1)k2k(k1)k22k1(k1)2， 即滿足條件的k1個半圓被所有的交點最多分成(k1)2段圓弧. 由可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓弧.,拓展沖刺練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)求a的值；,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解由題意，知,所以a21.,解得a1. 又因為a21，所以a1.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,證明用數(shù)學歸納法證明：,故當n2時，原不等式也成立.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以當nk1時，原不等式也成立.,