高等數(shù)學(xué)-微分方程

第八章 常微分方程 一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）基本要求 1．了解微分方程和微分方程的階、解、通解、初始條件與特解等概念. 2．掌握可分離變量的微分方程和一階線性微分方程的解法. 3．了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu). 4．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法. 5．會(huì)求自由項(xiàng)為或，時(shí)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解. 6. 知道特殊的高階微分方程（，，）的降階法. 7．會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 重點(diǎn) 微分方程的通解與特解等概念，一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法。 難點(diǎn) 一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法，高階微分方程的降階法，用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. （二）內(nèi)容提要 ⒈ 微分方程的基本概念 ⑴ 微分方程的定義 ①凡是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程. ②未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本書(shū)只討論常微分方程，簡(jiǎn)稱微分方程. ⑵ 微分方程的階、解與通解 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階.如果把函數(shù)代入微分方程后，能使方程成為恒等式,則稱該函數(shù)為該微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為微分方程的通解. ⑶ 初始條件與特解 用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個(gè)特定點(diǎn)的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件.滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解. ⑷ 獨(dú)立的任意常數(shù) ①線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個(gè)不全為零的數(shù)，使得對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任一，恒有 成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱為線性無(wú)關(guān). 顯然，函數(shù)線性相關(guān)的充分必要條件是在區(qū)間內(nèi)恒為常數(shù). 如果不恒為常數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)線性無(wú)關(guān). ②獨(dú)立的任意常數(shù) 在表達(dá)式 (,為任意常數(shù)) 中, ,為獨(dú)立的任意常數(shù)的充分必要條件為,線性無(wú)關(guān). 2.可分離變量的微分方程 ⑴定義 形如 的微分方程，稱為可分離變量的方程.該微分方程的特點(diǎn)是等式右邊可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積，其中一個(gè)僅是的函數(shù)，另一個(gè)僅是的函數(shù)，即分別是變量的已知連續(xù)函數(shù). ⑵求解方法 可分離變量的微分方程的求解方法,一般有如下兩步: 第一步:分離變量 ， 第二步:兩邊積分 . 3. 線性微分方程 ?、拧∫浑A線性微分方程 ①定義 形如 . 的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中都是的已知連續(xù)函數(shù)，“線性”是指未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的. ②求解方法 一階線性微分方程的求解方法,一般有如下兩步: 第一步：先用分離變量法求一階線性微分方程所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解. 第二步：設(shè)為一階線性微分方程的解,代入該方程后,求出待定函數(shù). 第三步: 將代入中,得所求一階線性微分方程的通解. 注意 只要一階線性微分方程是的標(biāo)準(zhǔn)形式,則將代入一階線性微分方程后,整理化簡(jiǎn)后,必有 , 該結(jié)論可用在一階線性微分方程的求解過(guò)程中,以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程. ③一階線性微分方程的求解公式 (其中為任意常數(shù)). ⑵　二階常系數(shù)齊次線性微分方程 ①定義　形如 的微分方程（其中均為已知常數(shù)，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程. ②求解方法 求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程,一般分為如下三步: 第一步 寫(xiě)出方程的特征方程 ， 第二步 求出特征方程的兩個(gè)特征根 ,， 第三步 根據(jù)下表給出的三種特征根的不同情形，寫(xiě)出的通解. 有兩個(gè)不同特征實(shí)根 有兩個(gè)相同特征實(shí)根 有一對(duì)共軛復(fù)根 i ⑶二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 ①定義　形如 的微分方程（其中均為已知常數(shù)），稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. ② 求解方法 求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 一般分為如下三步: 第一步 先求出非齊次線性微分方程所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程方程的通解; 第二步 根據(jù)下表設(shè)出非齊次線性微分方程的含待定常數(shù)的特解,并將代入非齊次線性微分方程解出待定常數(shù),進(jìn)而確定非齊次方程的一個(gè)特解; 第三步 寫(xiě)出非齊次線性微分方程的通解. 方程的特解的形式表 自由項(xiàng)的形式 特解的形式的設(shè)法 不是特征根 是特征單根 是二重特征根 或 ①令,構(gòu)造輔助方程= ②求出輔助方程的特解 ③則是方程特解 是方程 特解 注: 表中的為已知的次多項(xiàng)式，為待定的次多項(xiàng)式，如 （為待定常數(shù)）. 4. 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) ⑴ 二階齊次線性微分方程解的疊加原理 如果函數(shù)和是齊次線性微分方程的兩個(gè)解，則函數(shù)也是方程的解；且當(dāng)與線性無(wú)關(guān)時(shí)， 就是方程的通解（其中是任意常數(shù)）. ⑵ 非齊次線性微分方程解的疊加原理 如果函數(shù)為非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，為齊次線性微分方程的通解，則為該非齊次線性微分方程的通解. ⑶ 非齊次線性微分方程解的分離定理 如果是方程的解，是方程的解，則是方程 的解. 5.高階微分方程的降階法 方程的形式 引入的形式 降階后的方程 設(shè) 設(shè)則 對(duì)方程兩邊逐次積分次，即可得到該方程的通解 二、主要解題方法 1．一階微分方程的解法 例1 求微分方程 滿足條件的特解. 解 這是可以分離變量的微分方程，將方程分離變量，有 ， 兩邊積分，得 ， 求積分得 ，， ，， 記 ，得方程的解 . 可以驗(yàn)證 時(shí)，，它們也是原方程的解，因此，式中的可以為任意常數(shù)，所以原方程的通解為 （為任意常數(shù)）. 代入初始條件 得 ，所以特解為 . 例2 求微分方程（1），（2） 的通解. （1）解一 原方程可化為 ，令 ， 則 ，即 ，兩邊取積分 ， 積分得 ，將代入原方程，整理得原方程的通解為 （為任意常數(shù)）. 解二 原方程可化為 為一階線性微分方程，用常數(shù)變易法.解原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程 ，得其通解為 . 設(shè)為原方程的解，代入原方程，化簡(jiǎn)得 ，， 所以原方程的通解為 ，即 （為任意常數(shù)）. （2）解一 原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程 分離變量，得，， 兩邊積分，得，， ，， 用常數(shù)變易法.設(shè)代入原方程，得 ，， ， 故原方程的通解為 （為任意常數(shù)）. 解二 這里，代入通解的公式得 ===（為任意常數(shù)）. 小結(jié) 一階微分方程的解法主要有兩種：分離變量法，常數(shù)變易法.常數(shù)變易法主要適用線性的一階微分方程，若方程能化為標(biāo)準(zhǔn)形式 ，也可直接利用公式 ）求通解. 2． 可降階的高階微分方程 例3 求微分方程 的通解. 解 方程中不顯含未知函數(shù)，令，，代入原方程，得 ， ，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性微分方程，代入常數(shù)變易法的通解公式，所以 ） =）=）=）=， 由此 =， =， 因此，原方程的通解為 = （為任意常數(shù)）. 例4 求微分方程 滿足初始條件，的特解. 解 方程不顯含，令 ，，則方程可化為 ， 當(dāng) 時(shí) ，于是 . 根據(jù) ，，知 代入上式，得 ，從而得到 ，積分得 ，再由，求得 ，于是當(dāng)時(shí)，原方程滿足所給初始條件的特解為 ， 當(dāng)時(shí)，得(常數(shù))，顯然這個(gè)解也滿足方程，這個(gè)解可包含在解中. 故原方程滿足所給初始條件的特解為，即 . 3． 二階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解方法 例5 求微分方程的通解. 解 原方程對(duì)應(yīng)的特征方程為 ，=， （1） 當(dāng)，即 或時(shí)，特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 ，， 故原方程的通解為 . （2） 當(dāng)，即或時(shí)，特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 ， 故原方程的通解為 . （3）當(dāng)，即 時(shí)，特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)根 ， 故原方程的通解為 . 4．二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的求解方法 例6 求微分方程 滿足初始條件，的特解. 解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根 ．故對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解為 . 因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃?，所以設(shè)特解為 ， 代入原方程得 ， 比較同類項(xiàng)系數(shù)得 ，，從而原方程的特解為 ， 故原方程的通解為 ， 由初始條件 時(shí)，，得 從而，.因此滿足初始條件的特解為 . 例7 求微分方程 的通解. 解 對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程通解為 ． 為了求原方程的一個(gè)特解,先求（） 的特解.由于是特征方程的單根，且是零次多項(xiàng)式。所以設(shè)特解為 ，代入原方程，化簡(jiǎn)得 , 比較同類項(xiàng)系數(shù)，得 ，. 所以，方程（）的特解為 =, 其虛部即為所求原方程的特解 . 因此原方程通解為 . 小結(jié) 在設(shè)微分方程 的特解時(shí)，必須注意把特解設(shè)全.如：，那么 ，而不能設(shè).另外，微分方程的特解都是滿足一定初始條件的解，上面所求的特解一般不會(huì)滿足題設(shè)初始條件，因此需要從通解中找出一個(gè)滿足該初始條件的特解. 5． 用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法 例8 已知某曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的切線在縱軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求它的方程. 解 設(shè)所求曲線方程為 ，為其上任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的曲線的切線方程為 ， 由假設(shè)，當(dāng)時(shí) ，從而上式成為 .因此求曲線的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求解微分方程的定解問(wèn)題 ，的特解. 由公式 ，得 =， 代入得 ，故所求曲線方程為 . 例9 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始沉入液體，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用力與下沉速度成正比，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為.由題意，有 （為比例系數(shù)） 方程變?yōu)? ， 齊次方程的特征方程為 ， ，，. 故原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 ， 因是特征單根，故可設(shè) ，代入原方程，即得 ， 故，所以原方程的通解 , 由初始條件得 ，， 因此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 . 小結(jié) 用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題，包括建立微分方程，確定初始條件和求解方程這幾個(gè)主要步驟.由于問(wèn)題的廣泛性，一般建立微分方程要涉及到許多方面的知識(shí)，如幾何、物理等. 三、學(xué)法建議 1．本章重點(diǎn)為微分方程的通解與特解等概念，一階微分方程的分離變量法，一階線性 微分方程的常數(shù)變易法，二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法. 2． 本章中所講的一些微分方程，它們的求解方法和步驟都已規(guī)范化，要掌握這些求 解法，讀者首先要善于正確地識(shí)別方程的類型，所以必須熟悉本課程中講了哪些標(biāo)準(zhǔn)型，每種標(biāo)準(zhǔn)型有什么特征，以便“對(duì)號(hào)入座”，還應(yīng)熟記每一標(biāo)準(zhǔn)型的解法，即“對(duì)癥下藥”.同時(shí)，建議讀者再做足夠的習(xí)題加以鞏固. 3． 有些方程需要做適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，才能化為已知的類型，對(duì)于這類方程的求解， 只要會(huì)求一些簡(jiǎn)單方程，了解變換的思路即可，不必花費(fèi)太多精力. 4． 利用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題，不僅需要數(shù)學(xué)技巧，還需要一定的專業(yè)知識(shí)，常用 的有切線、法線的斜率，圖形的面積，曲線的弧長(zhǎng)，牛頓第二定律，牛頓冷卻定律等.讀者應(yīng)對(duì)這方面的知識(shí)有一定的了解.