古典概型的特征和概率計算公式 教學(xué)

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1、北師大版高中數(shù)學(xué)必修3 §2.1古典概型的特征和概率計算公式 教學(xué)設(shè)計 陜西寶雞石油中學(xué) 2012年5月 §2.1古典概型的特征和概率計算公式 陜西寶雞石油中學(xué) 沈濤 郵編 721002 一、教材分析 本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)北師大版(必修3)第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時，是在隨機事件的概率之后,幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的。古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當(dāng)重要的地位。 學(xué)好古典概型可以為其他概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時有利于理解概率的概

2、念,有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，通過模擬試驗讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，觀察類比各個試驗，歸納總結(jié)出古典概型的概率計算公式，體現(xiàn)了化歸的重要思想,掌握列舉法，學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計算問題。 概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義，加強與實際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價身邊的一些隨機現(xiàn)象。適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機會，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實例。使得學(xué)生在體會概率意義的同時,感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是的

3、科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神。 二、教學(xué)目標 1．知識與技能 (1) 通過實例，理解古典概型及其概率計算公式； (2)理解古典概型的特征：實驗結(jié)果的有限性和每一個實驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性； (3)會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。 2．過程與方法 根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，通過兩個試驗的觀察讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，觀察類比骰子試驗，歸納總結(jié)出古典概型的概率計算公式，體現(xiàn)了化歸的重要思想，掌握列舉法，學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計算問題。 3．情感態(tài)度與價值觀 概率教學(xué)的核心問題是讓

4、學(xué)生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義，加強與實際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價身邊的一些隨機現(xiàn)象。適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機會，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實例。使得學(xué)生在體會概率意義的同時，感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是地科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神。 三、重點、難點 重點：古典概型的特征及概率計算公式應(yīng)用。 難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)。 四、教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 以境激情 試驗1：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？ 試

5、驗2：拋擲一顆均勻的骰子一次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)有哪幾種結(jié)果？ 1．基本事件的概念 一次試驗可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果 稱為一個基本事件。 如：試驗1中的“正面朝上”、 “正面朝下”；試驗2中的出現(xiàn)“1點”、 “2點”、 “3點”、 “4點”、 “5點”、 “6點” 教師創(chuàng)設(shè)問題情境，為導(dǎo)入新知做準備。 學(xué)生感悟體驗，思考回答。引出基本事件的概念，結(jié)合試驗中結(jié)果理解基本事件的概念。 問題是數(shù)學(xué)的心臟，隨著問題的提出，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 研 探 論 證 2．問題1：（1）在一次試

6、驗中，會同時出現(xiàn)“1點”和“2點”這兩個基本事件嗎？ （2）事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”包含了哪幾個基本事件？ 由如上問題，分別得到基本事件如下的兩個特點： （1）任何兩個基本事件是互斥的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。 學(xué)生回答兩個問題，教師適時引出基本事件的兩個特點，并加以說明，加深新概念的理解。 問題的引導(dǎo)可以使學(xué)生更好的把握問題的關(guān)鍵。 讓學(xué)生從問題的相同點和不同點中找出研究對象的對立統(tǒng)一面，這能培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，同時也教會學(xué)生運用對立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點來分析問題的一種方法。 3．例1．從字母a,b,c,d中任意取出兩個不同字

7、母的試驗中，有哪些基本事件？ 分析：為了解基本事件，我們可以用列舉法把所有可能的結(jié)果都列出來。畫樹狀圖是列舉法的基本方法，一般分布完成的結(jié)果(兩步或兩步以上)可以用樹狀圖進行列舉。 解：所求的基本事件共有6個： ，，， ，， 初步感知，熟悉構(gòu)成任何事件的基本事件。 先讓學(xué)生嘗試著列出所有的基本事件，教師再講解用樹狀圖列舉問題的優(yōu)點。 ? 將數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想滲透到具體問題中來。由于沒有學(xué)習(xí)排列組合，因此用列舉法列舉基本事件的個數(shù)，不僅能讓學(xué)生直觀的感受到對象的總數(shù)，而且還能使學(xué)生在列舉的時候作到不重不漏。解決了求古典概型中基本事件總數(shù)這一難點。

8、 研 探 論 證 研 探 論 證 4．問題2：以下每個基本事件出現(xiàn)的概率是多少？ 試驗1：P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝ 試驗2：P（“1點”）＝P（“2點”）＝P（“3點”）＝P（“4點”）＝P（“5點”）＝P（“6點”）＝ 5．問題3：觀察對比，找出試驗1和試驗2的共同特點： 經(jīng)觀察，概括總結(jié)后得到： （1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本

9、事件只有有限個；（有限性） （2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（等可能性） 我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。 ? ? ? 讓學(xué)生先觀察對比，找出兩個試驗的共同特點，再概括總結(jié)得到的結(jié)論，教師最后補充說明。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 培養(yǎng)運用從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點分析問題的能力，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想。啟發(fā)誘導(dǎo)的同時，訓(xùn)練了學(xué)生觀察和概括歸納的能力。通過用表格列出，能讓學(xué)生很好的理解古典概型。從而突出了古典概型這一重點。 ? ? ? ? 6．問題4：向一個圓面內(nèi)隨機地投射

10、一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎？為什么？ 解：滿足等可能性，但不滿足有限性。 問題5：某同學(xué)隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：“命中10環(huán)”、“命中9認環(huán)”、“命中8環(huán)”、“命中7環(huán)”、“命中6環(huán)”、“命中5環(huán)”和“不中環(huán)”。你為這是古典概型嗎？為什么？ 解：滿足有限性，但不滿足等可能性 問題6：你能舉出幾個生活中的古典概型的例子嗎？ 學(xué)生互相交流，回答補充，教師歸納。 關(guān)注學(xué)生對生活中古典概型的認識和了解，教師根據(jù)學(xué)生回答適當(dāng)點評。 兩

11、個問題的設(shè)計是為了讓學(xué)生更加準確的把握古典概型的兩個特點。突破了如何判斷一個試驗是否是古典概型這一教學(xué)難點。 通過教師的介紹，學(xué)生能夠體會到生活中處處有古典概型，感受到數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用。 7.問題7：在古典概型下，如何求隨機事件出現(xiàn)的概率？ 試驗2：擲一顆均勻的骰子,事件A為“出現(xiàn)偶數(shù)點”，請問事件A的概率是多少？ 探討：基本事件的總數(shù)為6，事件A包含3個基本事件：“2點”，“4點”，“6點”。則P（A）＝P（“2點”）＋P（“4點”）＋P（“6點”）＝ ＋＋＝＝ 即 P（“出現(xiàn)偶數(shù)點”）＝???? ＝ 由上可以概括總結(jié)出，古典概型計算任何事件的概率計算公式為：

12、 提醒： 在使用古典概型的概率公式時，應(yīng)該注意：要判斷所用概率模型是不是古典概型（前提）。 教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析試驗2中“出現(xiàn)偶數(shù)點”這一事件的概率，先通過用概率加法公式求出隨機事件的概率，再對比概率結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系。 教師提醒，使加深對古典概型的概率計算公式的準確理解把握。 鼓勵學(xué)生運用觀察類比和從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義方法來分析問題，同時讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)化歸思想的優(yōu)越性和這一做法的合理性，突出了古典概型的概率計算公式這一重點。 深化對古典概型的概率計算公式的理解，也

13、抓住了解決古典概型的概率計算的關(guān)鍵。 鞏固提高 鞏固提高 鞏固提高 8.例2（課本第136頁例1）在一個健身房里,用拉力器進行鍛煉時,需要選取2個質(zhì)量盤裝在拉力器上.有2個裝質(zhì)量盤的箱子,每個箱子中都裝有4個不同的質(zhì)量盤：2.5 kg,5 kg,10 kg和20 kg,每次都隨機地從2個箱子中各取1個質(zhì)量盤裝在拉力器上后,再拉動這個拉力器

14、. (1)隨機地從2個箱子中各取1個質(zhì)量盤,共有多少種可能的結(jié)果?用表格列出所有可能的結(jié)果. (2)計算選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量分別是下列質(zhì)量的概率： ①20 kg;②30 kg;③不超過10 kg;④超過10 kg. (3)如果一個人不能拉動超過22 kg的質(zhì)量,那么他不能拉開拉力器的概率是多少? 解：(1)第一個箱子的質(zhì)量盤和第二個箱子的質(zhì)量盤都可以從4種不同的質(zhì)量盤中任意選取.我們可以用一個“有序?qū)崝?shù)對”來表示隨機選取的結(jié)果.例如,我們用(10,20)來表示： 在一次隨機的選取中,從第一個箱子取的質(zhì)量盤是10 kg,從第二個箱子取的質(zhì)量盤是20 kg.下表列出了所有可能結(jié)果.

15、 (2.5,2.5) (2.5,5) (2.5,10) (2.5,20) (5,2.5) (5,5) (5,10) (5,20) (10,2.5) (10,5) (10,10) (10,20) (20,2.5) (20,5) (20,10) (20,20) 從表中可以看出,隨機地從2個箱子中各取1個質(zhì)量盤的所有可能結(jié)果共有16種.由于選取質(zhì)量盤是隨機的,因此這16種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,這個試驗屬于古典概型. (2) ①用A表示事件“選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量是20 kg”,因為總質(zhì)量為20 kg的所有可能結(jié)果只有1種,因此,事件A的概率 P(A)=

16、=0.062 5. ②用B表示事件“選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量是30 kg”,從表中可以看出,總質(zhì)量為30 kg的所有可能結(jié)果共有2種,因此,事件B的概率 P(B)==0.125. ③用C表示事件“選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量不超過10 kg”.總質(zhì)量不超過10 kg,即總質(zhì)量為5 kg,7.5 kg,10 kg之一,從表中容易看出,所有可能結(jié)果共有4種,因此,事件C的概率 P(C)===0.25. ④用D表示事件“選取的兩個質(zhì)量盤的總質(zhì)量超過10 kg”.總質(zhì)量超過10 kg,即總質(zhì)量為12.5 kg,15 kg,20 kg,22.5 kg,25 kg, 30 kg,40 kg之一,從表

17、中可以看出,所有可能結(jié)果共有12種,因此,事件D的概率 P(D)===0.75. (3)用E表示事件“不能拉開拉力器”,即總質(zhì)量超過了22 kg.總質(zhì)量超過22 kg是指總質(zhì)量為22.5 kg,25 kg,30 kg,40 kg之一,從表中可以看出,這樣的可能結(jié)果共有7種,因此,不能拉開拉力器的概率 P(E)=≈0.44. 先給出問題讓學(xué)生完成，展示學(xué)生的解法，并引導(dǎo)學(xué)生分析問題，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答中存在的問題及錯誤，糾正。 模型展示幫助學(xué)生更加深刻的理解列舉法能夠清晰的反映所有不同的基本事件，是研究概率問題的基本工具。 讓學(xué)生先獨立思考再回答，教師對學(xué)生

18、沒有注意到的關(guān)鍵點加以說明。 展示例題，供學(xué)生分析，反思學(xué)習(xí)過程，能力提升。 讓學(xué)生明確決概率的計算問題的關(guān)鍵是：先要判斷該概率模型是不是古典概型（重點判斷是否滿足等可能性），再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)。 加深對古典概型的理解（尤其是等可能性），鞏固學(xué)生對已學(xué)知識的掌握。 利用列表數(shù)形結(jié)合和分類討論，既能形象直觀地列出基本事件的總數(shù)，又能做到列舉的不重不漏。深化鞏固對古典

19、概型及其概率計算公式的理解，和用列舉法來計算一些隨機事件所含基本事件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率。 培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的思想，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，增強學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度。 通過觀察，發(fā)現(xiàn)問題的根本原因是——研究的問題是否滿足古典概型，從而再次突出了古典概型這一教學(xué)重點，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，逐漸養(yǎng)成自主探究能力。 建立有效的模型，能縮短解決問題的時間，鍛煉數(shù)學(xué)思維。 10.練習(xí)：1.單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案。假設(shè)考生不會做，他隨機的選

20、擇一個答案，問他答對的概率是多少？ 解：這是一個古典概型，因為試驗的可能結(jié)果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件共有4個，考生隨機地選擇一個答案是選擇A，B，C，D的可能性是相等的。從而由古典概型的概率計算公式得： 探究：如果該題是不定項選擇題，假如考生也不會做，則他能夠答對的概率為多少？此時比單選題容易了，還是更難了？ 思考：基本事件總共有幾個？ “答對”包含幾個基本事件？ 2.從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個自然數(shù)中任選一個，所選中的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是 3.一副撲克牌，去掉大王和小王，在剩下的52張牌中隨意抽出一張牌，試求以下各

21、個事件的概率：A:抽到一張Q；B：抽到一張“梅花”;C:抽到一張紅桃K。 11.思考題. 同時拋擲三枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)幾種結(jié)果？出現(xiàn)“一枚正面向上，兩枚反面向上”的概率是多少？ 學(xué)生口答，教學(xué)適當(dāng)點評。 引導(dǎo)學(xué)生用列表來列舉試驗中的基本事件的總數(shù)。 口答：2. 口答：3. 考察學(xué)生對樹狀圖的優(yōu)勢的感知，并讓學(xué)生熟悉拋硬幣這個典型的古典概型。 隨堂練習(xí)，及時鞏固新知。

22、 拓展延伸，讓學(xué)生帶著問題走出課堂，繼續(xù)研究。 應(yīng)用評價 1．知識點 （1）基本事件的兩個特點： ①任何兩個基本事件是互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。 （2）古典概型的定義和特點： ①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性） ②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（等可能性） （3）古典概型計算任何事件的概率計算公式 2．思想方法： 列舉法（畫樹狀圖和列表），應(yīng)做到不重不漏。 教師引導(dǎo)學(xué)生進行課堂小結(jié)，自我評價。 學(xué)生可以展示自己的所悟所得，與同伴分享成功的喜悅；還可以提出自己的困惑，師生

23、共同探討。將課堂小結(jié)作為自我評價的主陣地。 通過學(xué)生提出學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容中的困惑和與同伴分享學(xué)習(xí)成果，引導(dǎo)學(xué)生進行反思與自我評價。教師不僅引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)知識，還反思思想方法。 思維創(chuàng)新 （必做）課本138頁練習(xí)第3，4題 課本151頁習(xí)題3-2A組第3，4題 （選做）課本153頁習(xí)題B組第3題 學(xué)生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散思維，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新。 教師通過布置作業(yè)，進行自我評價，更新教法。 學(xué)生通過作業(yè)，及時反饋，鞏固所學(xué)知識；教師通過分層次布置作業(yè)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，同時能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)教學(xué)的不足。 教法與學(xué)法分析

24、教 法 分 析 根據(jù)本節(jié)課的特點，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和歸納概括相結(jié)合的教學(xué)方法，通過提出問題、思考問題、解決問題等教學(xué)過程，觀察對比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式，再通過具體問題的提出和解決，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的主體能動性，讓每一個學(xué)生充分地參與到學(xué)習(xí)活動中來。最后在例題中加入模型的展示，幫助學(xué)生突破教學(xué)難點。 學(xué) 法 分 析 學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情景中，通過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和動手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)了學(xué)生由具體到抽象，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成了實事求是的科學(xué)態(tài)度，增強了鍥而不舍的求學(xué)精神。 評價分析 本節(jié)課

25、的教學(xué)通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，經(jīng)歷思考交流概括歸納后得出古典概型的概念，由兩個問題的提出進一步加深對古典概型的兩個特點的理解；再通過學(xué)生觀察類比推導(dǎo)出古典概型的概率計算公式。這一過程能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。 ??? 在解決概率的計算上，教師鼓勵學(xué)生嘗試列表和畫出樹狀圖，讓學(xué)生感受求基本事件個數(shù)的一般方法，從而化解由于沒有學(xué)習(xí)排列組合而學(xué)習(xí)概率這一教學(xué)困惑。對于古典概型的判斷，兩個條件的缺一不可，尤其是例題中等可能性的判斷，教師通過實例模型的給出，幫助學(xué)生突破思維難點整個教學(xué)設(shè)計的順利實施，達到了教師的教學(xué)目標。 五、板書設(shè)計 §3.2.1古典概型 1.基本事件： ⑴互斥 ⑵任何事件都可表示成基本事件的和 2.古典概型 ⑴有限性； ⑵等可能性。 3.古典概型概率計算公式 多媒體投影 第9頁 共9頁