電磁場(chǎng)與電磁波第5章.ppt

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1、第5章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題(一),高斯定理或安培環(huán)路定理可以用于求解簡(jiǎn)單或?qū)ΨQ分布的靜態(tài)場(chǎng)分布，但無(wú)法用于復(fù)雜的或非對(duì)稱問(wèn)題的求解。 工程中通常會(huì)遇到更復(fù)雜的情況，通常可以用求解邊值問(wèn)題的方法來(lái)求解。 求解邊值問(wèn)題的方法通常有解析法和數(shù)值法。,5.1 邊值問(wèn)題的分類,邊值問(wèn)題包括方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和邊界條件，根據(jù)在場(chǎng)域V的邊界S上的邊界條件，邊值問(wèn)題類型有： 第一類邊值問(wèn)題：其邊界條件為,如果f1(S)=0稱為齊次邊界條件,狄里赫利問(wèn)題,第三類邊值問(wèn)題：其邊界條件為,紐曼問(wèn)題,混合邊值問(wèn)題,第二類邊值問(wèn)題：其邊界條件為,5.2.1 靜電場(chǎng)的惟一性定理,邊值問(wèn)題的求解有多種方法，各種方法得

2、到的結(jié)果是否正確，需要有理論依據(jù)。 靜電場(chǎng)唯一性定理的表述 區(qū)域V內(nèi)的和 給定，邊界S上給定f1(S)或f2(S)的值，則拉普拉斯方程或泊松方程的解惟一確定。 靜電場(chǎng)惟一性定理的證明 設(shè)有兩個(gè)解1和2，分別滿足方程,,5.2 惟一性定理,將上式在V上積分，得,對(duì)于第一類和第二類邊值問(wèn)題，在邊界S上分別有,,,對(duì)于第三類邊值問(wèn)題，可以得到同樣的結(jié)論。,靜電場(chǎng)惟一性定理綜述,涵義：只要給定了邊界條件，標(biāo)量位拉普拉斯方程或泊松方程的解就是惟一確定的（至多相差一個(gè)常數(shù)） 意義：無(wú)論用什么方法求得拉普拉斯方程或泊松方程的解，只要滿足給定的邊界條件，所得的解就是正確的,5.2.2 靜磁場(chǎng)的惟一性定理,靜磁

3、場(chǎng)惟一性定理的表述 區(qū)域V內(nèi)的J和給定，邊界S上給定矢量位A或磁場(chǎng)強(qiáng)度H的的切向分量，則V內(nèi)的磁場(chǎng)可惟一確定。 靜磁場(chǎng)惟一性定理的證明 設(shè)有區(qū)域V內(nèi)磁場(chǎng)存在兩個(gè)解B1和B2，分別滿足,由此構(gòu)造一個(gè)新的場(chǎng)，即,且在邊界上有,,利用矢量恒等式可將上式變成以下兩種形式：,考慮積分,要使積分為零，應(yīng)有?？梢?jiàn)，假設(shè)的兩個(gè)解實(shí)際上是一個(gè)解。,5.3 鏡像法求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題,當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷和極化電荷將影響場(chǎng)的分布。同樣的，磁場(chǎng)分布也有類似問(wèn)題。 此時(shí)，用高斯定理求解很困難，可以用鏡像法進(jìn)行求解。,,,,,q,q,非均勻感應(yīng)電荷,等效電

4、荷,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,,,幾個(gè)實(shí)例（以電場(chǎng)分布為例） 接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。,5.3.1 鏡像法的基本思想,接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。,,,q,,非均勻感應(yīng)電荷,,q,等效電荷,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,,接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。 結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)電荷或線電荷的作用。 問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,鏡像法的理論依據(jù) 由惟一性定理，滿足同一方程和同樣邊界條件的電位分布的解是相同的（至多相差一個(gè)常數(shù)），

5、所以引入像電荷（等效電荷）后，應(yīng)該有 電位函數(shù)仍然滿足原方程（拉普拉斯方程或泊松方程） 電位分布仍滿足原邊界條件 如果要使得這兩個(gè)條件同時(shí)滿足，需要合理地選擇像電荷的位置和電量,理論依據(jù),唯一性定理,解的可靠性,像電荷的確定,5.3.2 導(dǎo)體平面的鏡像,點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 原問(wèn)題,由圖可知，接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)，電力線垂直導(dǎo)體板，等位線平行導(dǎo)體板。這是點(diǎn)電荷與導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷共同作用的結(jié)果。,計(jì)算機(jī)模擬的接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)的電場(chǎng)分布圖,顯然可將感應(yīng)電荷的作用用位于h的像電荷qq替代。,顯然，滿足邊界條件，原問(wèn)題不變，所得的解是正確的。,q,-h,考察原問(wèn)題是否

6、得到滿足：由于像電荷位于z<0區(qū)域，原方程不變，且有,P,線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 原問(wèn)題,顯然可將感應(yīng)電荷的作用用位于h處的像電荷ll替代。,顯然，滿足邊界條件。 所以，原問(wèn)題不變，所得的解是正確的。,考察原問(wèn)題是否得到滿足： 由于像電荷位于z<0區(qū)域，原方程不變，且有,P,點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像,q3,設(shè)：兩個(gè)半無(wú)限大導(dǎo)體平板相互垂直相連且接地，點(diǎn)電荷q位于(d1，d2)處。,,,對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2 =q ，位于d2。,,,顯然，q1對(duì)平面2、 q2對(duì)平面1不能滿足邊界條件。 只有再加上q3后，所有邊界條件才能得到滿足。,,,r,,r1,,r2,,r3,對(duì)于平面

7、1，有鏡像電荷q1=q，位于d1。,P,用計(jì)算機(jī)模擬的，當(dāng)夾角為60的兩個(gè)半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板之間有一個(gè)點(diǎn)電荷q時(shí)，鏡像電荷的位置示意圖,由圖可知，點(diǎn)電荷q共有5個(gè)像電荷 6個(gè)電荷兩兩成對(duì)地分別構(gòu)成兩個(gè)平面（包括平面的延伸部分）的鏡像關(guān)系，缺一不可,例1 一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，（外力）需要做多少功？。,解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。 由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場(chǎng)可以用像電荷qq替代。當(dāng)電荷q位于x時(shí)，像電荷q應(yīng)位于x，則有,,,5.3.3 導(dǎo)體球面的鏡像,點(diǎn)電荷對(duì)

8、接地導(dǎo)體球面的鏡像 原問(wèn)題,用鏡像法求空間任意點(diǎn)的電位，可將鏡像電荷q選擇在導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），則有,利用邊界條件可以確定未知的d2和q。,,,,,,,,,,,,,,a,q,q,d2,a,R0,P,d1,O,,令ra，此時(shí)有R=R0，R=R0。由球面上電位為零，即0，得,,此式在整個(gè)球面上都成立。成立的條件是什么？,,所以，使R0與R0之比為常數(shù)的條件是,,像電荷的位置,,像電荷的電量,,,<1,用計(jì)算機(jī)模擬的，接地導(dǎo)體球旁有一個(gè)點(diǎn)電荷q時(shí)，空間的電位、電場(chǎng)分布圖,由圖可知，點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電力線只有一部分終止在導(dǎo)體球上，另一部分延伸至無(wú)窮遠(yuǎn)。所以,點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像 原問(wèn)

9、題,,r,P,用鏡像法求空間任意點(diǎn)的電位，顯然應(yīng)該將鏡像電荷q選擇在導(dǎo)體球外，有,利用點(diǎn)電荷在球外時(shí)的結(jié)果，得,| q||q|，可見(jiàn)球外的電荷量大于球內(nèi)電荷量（絕對(duì)值） 像電荷的位置和電量與外半徑b無(wú)關(guān)（為什么？）,用計(jì)算機(jī)模擬的，接地空心導(dǎo)體球殼中有一個(gè)點(diǎn)電荷q時(shí)，球內(nèi)空間的電位、電場(chǎng)分布圖,由圖可知，點(diǎn)電荷q在內(nèi)球面將產(chǎn)生電量為q的非均勻感應(yīng)電荷 但是，感應(yīng)電荷的總量不等于鏡像電荷，也就是說(shuō)，用鏡像電荷替代感應(yīng)電荷，只是作用上的等效,點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像 原問(wèn)題,如果在導(dǎo)體內(nèi)放置鏡像電荷q，滿足導(dǎo)體面等位的條件。,但此時(shí)導(dǎo)體上的總電量不再等于零。所以，還需要在球心處再加上一個(gè)像電荷q

10、。,顯然，導(dǎo)體球仍然保持等位?？臻g任意點(diǎn)的電位為,5.3.4 導(dǎo)體圓柱面的鏡像,線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像 原問(wèn)題,選擇鏡像電荷ll，且位于導(dǎo)體柱內(nèi)。另外，將電位參考點(diǎn)選擇在柱面上的任意點(diǎn)Q處，得柱外的電位分布為,令r a， 0，則在柱面上有,,,,兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸（雙圓柱導(dǎo)體的鏡像）,,由于兩圓柱上電荷的相互作用與影響，電荷分布不再均勻。由于兩柱上帶有的正負(fù)電荷將相向吸引，電荷中心會(huì)向另一柱體方向移動(dòng)，形成相距2b的兩個(gè)鏡像線電荷。,為了保持導(dǎo)體面等位，根據(jù)圓柱鏡像的結(jié)果，得,,5.3.5 介質(zhì)平面的鏡像,點(diǎn)電荷對(duì)介質(zhì)分界平面的鏡像 原問(wèn)題,電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)將使兩介質(zhì)極化，從而在分界面

11、上產(chǎn)生不均勻的極化電荷。極化電荷對(duì)兩個(gè)區(qū)域中的電位都有貢獻(xiàn)。 可以用鏡像電荷來(lái)等效極化電荷所產(chǎn)生的電位：,區(qū)域1的電位由q和位于區(qū)域2中的鏡像電荷q共同產(chǎn)生,區(qū)域2的電位由q和位于區(qū)域1中的鏡像電荷 共同產(chǎn)生,利用z=0平面上的邊界條件，得,,線電流對(duì)磁介質(zhì)分界平面的鏡像 原問(wèn)題,電流I產(chǎn)生的磁場(chǎng)將使兩介質(zhì)磁化，從而在分界面上產(chǎn)生不均勻的磁化電流。磁化電流對(duì)兩個(gè)區(qū)域中的矢量位都有貢獻(xiàn)。 可以用鏡像電流來(lái)等效磁化電流所產(chǎn)生的矢量位：,矢量位方向與電流方向一致,,,5.4 鏡像法求解靜磁場(chǎng)邊值問(wèn)題,區(qū)域1的矢量位由I和位于區(qū)域2中的鏡像電流I共同產(chǎn)生,區(qū)域2的矢量位由I和位于區(qū)域1中的鏡像電荷

12、 共同產(chǎn)生,利用z=0平面上的邊界條件，得,,,假設(shè)與I的方向相同,鏡像（電荷或電流）選擇綜述,為滿足原方程，鏡像（電荷或電流）應(yīng)選擇在所討論的區(qū)域以外 鏡像（電荷或電流）的選擇應(yīng)保持原邊界條件不變 鏡像（電荷或電流）只對(duì)所討論的區(qū)域有效,例1 在內(nèi)外半徑分別為a和b的導(dǎo)體球殼（不接地）中，有一個(gè)電荷q，求空間的電位分布。,解：在導(dǎo)體球的內(nèi)表面，將出現(xiàn)總量為q的非均勻感應(yīng)電荷，在導(dǎo)體球的外表面出現(xiàn)總量為q的均勻電荷。所以，當(dāng)rb時(shí)，電位分布為,,對(duì)于r

13、有,,用計(jì)算機(jī)模擬的，不接地空心導(dǎo)體球殼中有一個(gè)點(diǎn)電荷q時(shí)，球內(nèi)外空間的電位、電場(chǎng)分布圖,點(diǎn)電荷q在內(nèi)球面將產(chǎn)生電量為q的非均勻感應(yīng)電荷 球的外表面有均勻分布的電荷，總量為q，球外空間的電位分布與均勻帶電導(dǎo)體球相同 球內(nèi)空間的電位分布與接地空心導(dǎo)體球內(nèi)的分布類似,5.5 分離變量法,分離變量法是求解邊值問(wèn)題最經(jīng)典的方法，它屬于解析法的一種，可以給出解的精確表達(dá)式。 但由于要求邊界應(yīng)與某一正交曲面坐標(biāo)系的坐標(biāo)重合，分離變量法的應(yīng)用范圍有限。,5.5.1 拉氏方程的通解,直角坐標(biāo)系,,正弦余弦函數(shù)的線性組合, = 0, = 0,極坐標(biāo)系（或柱坐標(biāo)與z無(wú)關(guān)，即無(wú)窮長(zhǎng)圓柱問(wèn)題）,球坐標(biāo)系（與無(wú)關(guān)）,其

14、他情況（柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系）,5.5.2 邊界條件,可分為兩大類：自然邊界條件、電磁邊界條件 自然邊界條件 從物理觀點(diǎn)出發(fā)，電磁場(chǎng)應(yīng)滿足的條件 周期性(在極坐標(biāo)系中，和+2k 處的場(chǎng)應(yīng)該相同) 令=+2k (k=1,2,3, )，代入極坐標(biāo)系通解中，顯然為滿足周期性條件，應(yīng)有B0=0，且為滿足, = n(n =1,2,3, ),,對(duì)稱性(因激勵(lì)源和邊界形狀等因素，場(chǎng)具有一定對(duì)稱性) 例1：對(duì)于柱坐標(biāo)系，如圖。r相同，和處的場(chǎng)相等，即電位對(duì)于為偶函數(shù)，只取cosn項(xiàng)，得,例2：如圖導(dǎo)體柱面，反對(duì)稱，奇偶函數(shù)，只取sinn項(xiàng)，得,有限性(電位在沒(méi)有源的地方應(yīng)該為有限值) 例3：外場(chǎng)中的介質(zhì)球，表面

15、極化電荷也會(huì)產(chǎn)生電位。由于無(wú)窮遠(yuǎn)處只剩下外電場(chǎng)，且球心處電位應(yīng)為有限值，則有,例4：例2中的導(dǎo)體柱面，設(shè)柱面半徑為a，使用有限性，得,結(jié)論：通解不涉及任何物理規(guī)律。而自然邊界條件從物理規(guī)律出發(fā)，可將通解化簡(jiǎn),電磁邊界條件 利用自然邊界條件化簡(jiǎn)得到的解仍然是通解，滿足拉氏方程，但還不能說(shuō)一定是電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的解。 由唯一性定理，拉氏方程的解只要滿足給定的電磁場(chǎng)邊界條件，解就是正確的。所以，拉氏方程的通解還必須利用電磁場(chǎng)邊界條件才能成為真正電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的解。 令通解滿足電磁場(chǎng)邊界條件，定出相應(yīng)的系數(shù)，即可得最后的解。電磁邊界條件可分為兩大類。 客觀邊界條件：所有電磁問(wèn)題都滿足的邊界條件，如,介質(zhì)表面,導(dǎo)體表面,問(wèn)題給定的邊界條件：不同問(wèn)題，形式不同,實(shí)例 例5：外場(chǎng)中的介質(zhì)球問(wèn)題(例3)。 其通解為：,,,介質(zhì)中的電場(chǎng)E2