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1、第5章 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題,,,,,靜態(tài)場(chǎng)是指場(chǎng)量不隨時(shí)間變化的場(chǎng)，靜態(tài)場(chǎng)包括：靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)及恒定磁場(chǎng)。靜電場(chǎng)的場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān)，位函數(shù)所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。 靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題：給定邊界條件下，求泊松方程或拉普拉斯方程解的問(wèn)題。,數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。,5.1 引言,靜電場(chǎng)問(wèn)題,1. 由場(chǎng)求源：由微分方程求解。,若源的分布具有某種對(duì)稱性，從而判斷場(chǎng)的分布也具有某種對(duì)稱性時(shí)，可用高斯通量定理求解電場(chǎng)或安
2、培環(huán)路定理來(lái)求磁場(chǎng)。,2.由源求場(chǎng)：分布型問(wèn)題和邊值型問(wèn)題。,(1)分布型,(2)邊值型,已知確定區(qū)域中的源分布和其邊界上的位函數(shù)或位函數(shù)的法向?qū)?shù)分布，求解該區(qū)域中位函數(shù)的分布狀況，這類(lèi)問(wèn)題稱為邊值型問(wèn)題或簡(jiǎn)稱為邊值問(wèn)題。,邊值問(wèn)題的分類(lèi)：,邊值問(wèn)題根據(jù)邊界條件給出的形式不同可分為以下三種類(lèi)型。,第一類(lèi)邊值問(wèn)題：給定整個(gè)邊界上的位函數(shù)求區(qū)域中位函數(shù)的分布，這類(lèi)問(wèn)題又稱為狄里赫利問(wèn)題。,第二類(lèi)邊值問(wèn)題：給定整個(gè)邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)求區(qū)域中位函數(shù)的分布，這類(lèi)問(wèn)題又稱為紐曼問(wèn)題。,第三類(lèi)邊值問(wèn)題：給定一部分邊界上的位函數(shù)和其余部分邊界上的法向?qū)?shù)，求區(qū)域中位函數(shù)的分布，這類(lèi)問(wèn)題混合問(wèn)題。,1.靜
3、電場(chǎng)、恒定電場(chǎng) 、恒定磁場(chǎng)的基本方程。,4.鏡像法 、分離變量法。,重點(diǎn)：,3.理論依據(jù)：唯一性定理、疊加原理。,2.靜態(tài)場(chǎng)的位函數(shù)方程。,,,,,靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是彼此獨(dú)立存在的，即電場(chǎng)只由電荷產(chǎn)生，磁場(chǎng)只由電流產(chǎn)生。沒(méi)有變化的磁場(chǎng)，也沒(méi)有變化的電場(chǎng)。,1、靜電場(chǎng)的基本方程,靜電場(chǎng)是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)，其基本方程為,上式表明：靜電場(chǎng)中的旋度為0，即靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)的通量源。,電介質(zhì)的本構(gòu)方程為,,靜態(tài)場(chǎng)的基本方程,2、恒定電場(chǎng)的基本方程,,要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場(chǎng)力搬到A極板。
4、這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。,維持恒定電流的電場(chǎng)為恒定電場(chǎng),若一閉合路徑經(jīng)過(guò)電源，則：,即電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分等于電源的電動(dòng)勢(shì),若閉合路徑不經(jīng)過(guò)電源，則：,恒定電場(chǎng)在無(wú)電源區(qū)的基本方程的積分形式和微分形式分別為,導(dǎo)體中的本構(gòu)方程為,,3、恒定磁場(chǎng)的基本方程,這是恒定磁場(chǎng)的基本方程。,從以上方程可知，恒定磁場(chǎng)是一個(gè)旋渦場(chǎng)，電流是這個(gè)旋渦場(chǎng)的源，電流線是閉合的。,磁介質(zhì)中的本構(gòu)方程為,,恒定電流的導(dǎo)體周?chē)騼?nèi)部不僅存在電場(chǎng)，而且存在磁場(chǎng)，但這個(gè)磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化，是恒定磁場(chǎng)。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為I，電流密度為 ,則有,靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 的梯度來(lái)表示它:,1、靜電場(chǎng)的位
5、函數(shù)分布,即,式中的標(biāo)量函數(shù) 稱為電位函數(shù)。,所以有,對(duì)于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，為常數(shù),,,即,靜電場(chǎng)的位函數(shù) 滿足的方程。,靜態(tài)場(chǎng)的位函數(shù),上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說(shuō)在有“源”的區(qū)域內(nèi)，靜電場(chǎng)的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為 泊松方程。,,如果場(chǎng)中某處有=0，即在無(wú)源區(qū)域，則上式變?yōu)?,在直角坐標(biāo)系中,在圓柱坐標(biāo)系中,在球坐標(biāo)系中,2、恒定電場(chǎng)的位函數(shù)分布,根據(jù)電流連續(xù)性方程 及物態(tài)方程 并設(shè)電導(dǎo)率 為一常數(shù)（對(duì)應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有,則有,在無(wú)電源區(qū)域，恒定電場(chǎng)是一個(gè)位場(chǎng)，即有,這時(shí)同樣可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù) 使得,這說(shuō)明，在無(wú)電源區(qū)域，恒定
6、電場(chǎng)的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。,3、恒定磁場(chǎng)的位函數(shù)分布,人為規(guī)定,(1) 磁場(chǎng)的矢量位函數(shù),這個(gè)規(guī)定被稱為庫(kù)侖規(guī)范,,于是有,,此式即為矢量磁位的泊松方程。,恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，即 ,但它卻是無(wú)散場(chǎng)， 即 引入一個(gè)矢量磁位 后，由于 ，可得,此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。,在沒(méi)有電流的區(qū)域有,在沒(méi)有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場(chǎng)的基本方程變?yōu)?(2) 磁場(chǎng)的標(biāo)量位函數(shù),這樣，在無(wú)源區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)也成了無(wú)旋場(chǎng)，具有位場(chǎng)的性質(zhì)，因此，象靜電場(chǎng)一樣，我們可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)， 即標(biāo)量磁位函數(shù),注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無(wú)電流源區(qū)才能應(yīng)用。,即令,,以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場(chǎng)的基本方程表明：靜態(tài)場(chǎng)可
7、以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無(wú)源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場(chǎng)的求解問(wèn)題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問(wèn)題。這兩個(gè)方程是二階偏微分方程，針對(duì)具體的電磁問(wèn)題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個(gè)重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。,5.2.1 唯一性定理,在求解靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題時(shí),我們希望其解是唯一的,那么,在什么條件下,其解才是唯一?,三類(lèi)邊值條件:,，,給定邊界上的位函數(shù),即已知,S為邊界,上的點(diǎn)。,給定邊界上的位函數(shù)的法向?qū)?shù),即已知,。,,靜電場(chǎng)的邊界通常是由導(dǎo)體形成的。 （1）若給定導(dǎo)體上的電位值就是
8、第一類(lèi)邊界。 （2）若給定導(dǎo)體上的電荷就是第二類(lèi)邊界。 導(dǎo)體表面上的電荷密度與電位導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為,因此，表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。,唯一性定理：滿足三類(lèi)給定邊值之一的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。,換句話說(shuō)，如果一個(gè)函數(shù)即滿足泊松方程(或拉普拉斯方程)又滿足給定的邊界條件，則該函數(shù)是唯一的。,1.設(shè)在體積V內(nèi)，其滿足邊值 的拉普拉斯方程的解不是唯一的，有 和 兩個(gè)解。,即有,唯一性定理的證明：,即12是同一無(wú)源區(qū)域的邊值問(wèn)題 的解。,由格林第一定理知：對(duì)任意標(biāo)量函數(shù),令,則有,令,,并代入格林第一恒等式：,即,而,則,由邊界條件有,故,即,S曲面上,,故其
9、解是唯一的。,,仍然采用反證法證明.設(shè)有兩個(gè)解滿足拉氏方程.,則,即,S曲面上,則,S曲面內(nèi),S曲面上,2.設(shè)在體積V內(nèi)，其滿足邊值 的拉普拉斯方程的解不是唯一的，有 和 兩個(gè)解。,當(dāng) 和 選擇相同的參考點(diǎn)時(shí),,解唯一.,3.,三類(lèi)邊界問(wèn)題,將格林第一恒等式的積分曲面寫(xiě)成,，,然后進(jìn)行,證明.同樣可得出結(jié)論,其解唯一.,即在區(qū)域V內(nèi)，1和2滿泊松方程，即,在V的邊界S上，1和2滿足同樣的邊界條件， 即,設(shè)12是同一有源區(qū)域的邊值問(wèn)題 的解。,令* =1-2，則在V內(nèi)，2*=0，在邊界面S上，*|S=0。 代入格林第一恒等式有：,在S上* =0，因而上式右邊為零，因而有,體
10、積V內(nèi),S曲面上,,5.3 鏡像法,實(shí)質(zhì):是以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷代替邊界的影響，將原來(lái)具有邊界的非均勻空間變成無(wú)限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化。,依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入必須維持原來(lái)的邊界條件不變。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。,注意： 1、鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時(shí)將會(huì)改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的位函數(shù)將不滿足原來(lái)的拉普拉斯方程或泊松方程。 2、所得位函數(shù)必須滿足原來(lái)的邊界條件。 3、鏡像電荷周?chē)慕橘|(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。,關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。,局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及
11、特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。,5.3.1 導(dǎo)體平面鏡像 設(shè)在無(wú)限大導(dǎo)體平面(z=0)附近有一點(diǎn)電荷與平面距離為z=h 。若導(dǎo)體平面接地，則導(dǎo)體平面電位為零，如圖所示。求上半空間中的電場(chǎng)。,分析：上半空間任一點(diǎn)P處的電位，應(yīng)等于點(diǎn)電荷q和無(wú)限大導(dǎo)體平板上感應(yīng)的負(fù)電荷產(chǎn)生的的電位總和。因此，上半空間的電位問(wèn)題可表示為 ：,,,,,,,,, 介質(zhì),q,r 1,P,,,h,h, 介質(zhì),,,如果設(shè)想把無(wú)限大導(dǎo)電平板撤去，整個(gè)空間充滿同一種介質(zhì)，并在點(diǎn)電荷q的對(duì)稱位置上，放一個(gè)點(diǎn)電荷-q來(lái)代替導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷。那么在z0空間里任一點(diǎn)p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于源電荷q與鏡象電荷-q所產(chǎn)生的
12、電位之和。 若選無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電位點(diǎn)，這時(shí)，P點(diǎn)的電位為,將r1和r2的表達(dá)式代入上式可得：,總感應(yīng)電荷為：,,可以驗(yàn)證電位滿足邊界條件，而此電位顯然在點(diǎn)（x，y，zh）滿足泊松方程，在其它的點(diǎn)滿足拉普拉斯方程，由唯一性定理可知即此電位是此邊值問(wèn)題的唯一解。 導(dǎo)體平面上感應(yīng)電荷密度為 ：,,,角形區(qū)域 如直角形區(qū)域的邊界為兩個(gè)相交成直角的無(wú)限大導(dǎo)體平面并接地，如圖所示，在它附近有一點(diǎn)電荷，現(xiàn)來(lái)計(jì)算此直角形空間內(nèi)的電位分布。,用鏡像法求解，必須在原電荷對(duì)OA 和OB平面的對(duì)稱位置分別引入鏡像電荷-q ，但這并不能使OA 和OB面成為零電位。分析可知，若在原電荷的原點(diǎn)對(duì)稱位置再引入鏡像電荷q
13、 ，則原電荷及這三個(gè)鏡像電荷共同作用將使得OA 和OB面保持電位滿足原來(lái)的條件，因此場(chǎng)中任一點(diǎn)的電位即可認(rèn)為是由原電荷及這三個(gè)鏡像所生產(chǎn)電位的迭加。,對(duì)于以上的原電荷和鏡像電荷，從幾何關(guān)系上不難看出：它們位于一個(gè)同心圓上，而且從原電荷開(kāi)始，無(wú)論是繞順時(shí)針還是逆時(shí)針走向，相鄰的一對(duì)互為鏡像的電荷大小相等，符號(hào)相反，并且最終回到原電荷位置，如圖所示,夾角為60度的的兩個(gè)相連無(wú)限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的鏡像:,5.3.2 球形邊界問(wèn)題,接地導(dǎo)體球半徑為a，在球外與球心相距為d1的p1點(diǎn)處有一點(diǎn)電荷q，點(diǎn)電荷q將在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)電荷，球外任一點(diǎn)的電位應(yīng)等于這些感應(yīng)電荷與點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位之和。,
14、,接地導(dǎo)體球與點(diǎn)電荷如圖所示：求球外,設(shè)想把導(dǎo)體球移開(kāi)，用一個(gè)鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)電荷. (1)為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導(dǎo)體球內(nèi)。 (2)由于球?qū)ΨQ性，這個(gè)鏡象電荷必然在點(diǎn)電荷q與球心所在的同一條直線上。 (3)由于靠近點(diǎn)電荷q的球面部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在OM線段上，設(shè)在b點(diǎn),OM=b，則位函數(shù)表達(dá)式為,,球面：,即,,亦即,方法一：,而由余弦定理：,,上式對(duì)所有 均成立的充要條件為：,,,則,邊界條件：,球面：,如圖,即,取 P 點(diǎn)為特殊的兩點(diǎn)，即 A 、B兩點(diǎn)，則,對(duì)于 A 點(diǎn)，有,,對(duì)于 B 點(diǎn)，有,,故,,,,球外電位：如圖,,,,,,,由
15、邊界條件：,介質(zhì)2為球內(nèi)：,,-,球面上感應(yīng)的總電荷qin：,2、對(duì)地絕緣的導(dǎo)體球與點(diǎn)電荷，如圖所示，求球外電位,球面邊界條件：,時(shí)，,導(dǎo)體球上的凈電荷為零。,,鏡像電荷的設(shè)置：,,,,,,,,,,,,,,,,,球面為等位面,則,不滿足邊界條件,球心 再置一鏡像電荷 ，如圖：,則,為常數(shù),根據(jù)電荷守恒定律，為保證導(dǎo)體球上的凈電荷為零。,則,,至此，滿足邊界條件1）和2）,球外任意一點(diǎn)P的電位：如圖,例：接地?zé)o限大導(dǎo)體平板上有一個(gè)半徑為 a 的半球形突起，在點(diǎn)（0，0，d)處有一個(gè)點(diǎn)電荷 q （如圖所示），求導(dǎo)體上方的電位。,解：計(jì)算導(dǎo)體上方的電位時(shí)，要保持導(dǎo)體平板部分和半球部分的電位都為零
16、。,,先找平面導(dǎo)體的鏡像電荷 位于 （0，0，-d)處。再找球面鏡像電荷,位于（0，0，,處，,當(dāng) 疊加這兩個(gè)鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位時(shí)，在導(dǎo)體平面上和球面上都不為零，應(yīng)當(dāng)在球內(nèi)再加上一個(gè)鏡像電 荷 位于（0，0， ）處，這時(shí)，三個(gè)鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位在導(dǎo)體平面和球面上都為零，且三個(gè)鏡像電荷都在要計(jì)算的區(qū)域以外。,故導(dǎo)體上方的電位為四個(gè)點(diǎn)電荷電位的疊加。,,點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體平板,點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球,點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體球,3、導(dǎo)體球殼與球殼內(nèi)點(diǎn)電荷的鏡像：求球內(nèi)電位？,球殼為接地的情況：,分析：球殼內(nèi)表面的感應(yīng)電荷 可在球外 連線上 置一鏡像電荷 來(lái)等效。,
17、球殼為零電位。,,,,球殼不接地,球殼表面上的感應(yīng)電荷 對(duì)球殼內(nèi)的場(chǎng)分布不產(chǎn)生影響，但它存在使球殼內(nèi)的電位提高了一個(gè)常數(shù)。,若球外介質(zhì)均勻，則球殼外的感應(yīng)電荷分布均勻。,,例3： 有一接地導(dǎo)體球殼，內(nèi)外半徑分別為a1和a2，在球殼內(nèi)外各有一點(diǎn)電荷q1和q2 ，與球心距離分別為d1和d2 ，如圖所示。求：球殼外、球殼中和球殼內(nèi)的電位分布。,球殼外：邊界為r = a2的導(dǎo)體球面，邊界條件為 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷的位置和大小分別為 球殼外區(qū)域任一點(diǎn)電位為,解：,球殼內(nèi)：邊界為r = a1的導(dǎo)體球面，邊界條件為 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為 球殼內(nèi)區(qū)域任一點(diǎn)電位為,球殼中：
18、 球殼中為導(dǎo)體區(qū)域，導(dǎo)體為等位體，球殼中的電位為零。,用鏡像法解題時(shí)，一定要注意待求區(qū)域及其邊界條件，對(duì)邊界以外的情況不予考慮。,5.3.4 媒質(zhì)分界平面的鏡像,導(dǎo)體平面位于點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中時(shí)，會(huì)在其上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，利用鏡像電荷可代替其感應(yīng)電荷的作用，從而將導(dǎo)體平面去掉。,那么，電介質(zhì)平面位于點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中時(shí)，會(huì)在其上產(chǎn)生束縛（極化）電荷，則我們是否也可以利鏡像電荷來(lái)代替極化電荷對(duì)場(chǎng)的作用呢？,答案是肯定（sure）的。,設(shè)在介質(zhì)1和2內(nèi)的電位函數(shù)分別為1和2。,,,拉氏方程與邊界條件：,邊界條件,拉氏方程,設(shè)想用鏡像電荷代替界面上極化電荷的作用，并使鏡像電荷和點(diǎn)電荷共同作用，滿足界面上
19、的邊界條件。,當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)1所在區(qū)域時(shí)，在邊界之外設(shè)一鏡像電荷 q,介質(zhì)1中任一點(diǎn)的電位和電位移矢量分別為：,1. 點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大介質(zhì)平面的鏡像,當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)2所在區(qū)域時(shí)， 設(shè)一鏡像電荷q位于區(qū)域1中，且位置與 q 重合，同時(shí)將整個(gè)空間視為均勻介質(zhì)2。于是區(qū)域2中任一點(diǎn)的電位和電位移矢量分別為：,在分界面(R = R= R)上，應(yīng)滿足邊界條件：,,電介質(zhì)中的電場(chǎng)分布：,,例：設(shè)分界面為平面的兩個(gè)半無(wú)限大空間中，分別充滿磁導(dǎo)率為 和 的兩種均勻介質(zhì)，在介質(zhì)1中存在一平行于分界面的長(zhǎng)直線電流I，與分界面的距離為d，試求空間的磁場(chǎng)。,,,,,2. 線電流對(duì)磁介質(zhì)分界平面的鏡像,求解上半空間的
20、磁場(chǎng)時(shí)，以分界面為對(duì)稱面，在原電流的對(duì)稱位置上用一鏡像電流代替分界面上的磁化電流。這樣，可以為整個(gè)空間充滿磁導(dǎo)率為 的磁介質(zhì)。,均勻介質(zhì)，因此，區(qū)域1內(nèi)任一點(diǎn)P的矢量磁位為 電流的鏡像,,,求解上半空間的磁場(chǎng)時(shí)，也可用鏡像電流來(lái)等效地代替分界面上的磁化電流。根據(jù)鏡像法，鏡像電流只能在區(qū)域1內(nèi)，區(qū)域2內(nèi)任一點(diǎn)P的矢量磁位為 鏡像電流和可由邊界條件確定，在分界面（ ）上 從而得到,,,,,,聯(lián)立求解可得 由上式可知，鏡像電流 和 的方向由 和 決定，若 ， 與原電流的方向一致，而 則相反；反之也然。則可得,,,,,,,,,,,,,,相應(yīng)的磁場(chǎng)為,,,,磁壁,5
21、.3.3 柱面邊界的鏡像法 線電荷密度為 的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線與半徑為a的接地?zé)o限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為 ，如圖所示。求圓柱外空間的電位函數(shù)。 線電荷對(duì)接地導(dǎo)體球的鏡像,,,,【解】導(dǎo)體圓柱在線電荷的電場(chǎng)作用下，柱面上會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷。柱外空間任一點(diǎn)的電位等于線電荷和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電位的迭加。顯然，柱面上感應(yīng)電荷在離線電荷近的一側(cè)多，離線電荷遠(yuǎn)的一側(cè)少，且其分布具有對(duì)稱性。假設(shè)在與圓柱軸線的距離為 ，且平行于軸線方向上放置一條鏡像線電荷，密度為 ，可由邊界條件確定之。 圓柱外空間一點(diǎn)電位為 由于圓柱接地，圓柱面上電位為零，設(shè)圖中的 ，則,,,,,,上式對(duì)任意
22、值均成立，在上式兩端對(duì) 求導(dǎo)可得 比較等式兩端相應(yīng) 項(xiàng)的系數(shù)，可得 聯(lián)解以上兩式可得 后一組解不合理，應(yīng)舍去。,,,,,,,,圓柱外任一點(diǎn)的電位為 由 時(shí)，可求得 圓柱面上的感應(yīng)電荷密度為 圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)面電荷為,,,,,,5.4 分離變量法,2. 步驟：,（1）由給定邊界條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出該坐標(biāo)系的拉氏（泊松）方程的表示式。,1. 定義：將一個(gè)三維偏微分方程通過(guò)變量分離簡(jiǎn)化為三個(gè)獨(dú)立的常微分方程。,把待求的位函數(shù)用分離變量法表示出來(lái)； 并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程），分解出三個(gè)常微分方程；分別寫(xiě)出其通解。,用給定邊界條件以及通解中正交函數(shù)的正交性確定通
23、解中的待定常數(shù)。,,特 解,5.4.2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法：,、分離變量：,令,,并代入拉式方程整理得:,、位函數(shù) 的拉氏方程：,三個(gè)常微分方程：,稱為分離常數(shù)。,通解：,,則,為待定系數(shù)。,則,或,則,同理， 的通解亦可根據(jù) 的取值不同，從而得到類(lèi)似 的通解。,故,其通解是所以可能解的的線性組合。（疊加原理）,例：一長(zhǎng)直金屬槽的長(zhǎng)度方向平行于z軸，其橫截面如圖所示，其側(cè)壁與底面電位均為，而頂蓋電位,,求槽內(nèi)電位 的解。,解：,由題意， 沿z方向是沒(méi)有變化的，而槽的邊界是與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)面平行的。,、選直角坐標(biāo)系：如圖所示。,、拉氏方程：,、邊界條件：,條件,邊界,、用分離變量法分離出兩個(gè)常微分方程：,,,,、求通解：,,、特解：,（結(jié)合具體邊界條件）,分析：,通解:,特解:,,即,故,,,,,本征值,,,由,則,故,,故,,則,即,,即,因 已是三角函數(shù),則,5.4.3 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法：,、拉氏方程的展開(kāi)式：,令,、分離變量法：,
電磁場(chǎng)與電磁波課件第5章靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題.ppt
