高三階段性測試 數(shù)學試卷(理科)

2   ) = （ ） 高三上學期階段性測試 數(shù)學（理科） 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的. 1.設集合 A = {x | x 2 - x - 6 £ 0}， B = {x | x ³ 2} ，則集合 A Ç B = （ ） 3] 2] 3] 3] A． [-2，  B． [-2，  C． (0，  D． [2， 2.在平面直角坐標系 xOy 中，角 a 的終邊經(jīng)過點 P(3,4) ，則 sin(a - 2017p 5         B． - A． - 4 3         3 5      C． 5 D． 4 5 1 -  1 4.已知點 (m,8 )在冪函數(shù) f (x ) = (m -1)xn 的圖象上，設 a = f ((  ) 2 ) ，b = f (ln p )，c = f (2   2 ) ，則 a, b, c 5.   ò   (  1 - x 2 + sin x)dx = （  ） 3.已知{a } 是公差為 2 的等差數(shù)列， S 為{a } 的前 n 項和，若 S = 3S ，則 a = （ ） n n n 6 3 9 A．24 B．22 C．20 D．18 1 3 的大小關系為（ ） A． a < c < b B． a < b < c C． b < c < a D． b < a < c 1 -1 4         B． 2       C． p 2  + 2 A． p p                     p D． 1 + 2x   sin (cos x )的大致圖象為（ ） 6.函數(shù) f (x ) = 1 - 2x A． B． 7.已知實數(shù) x, y 滿足 í x - y £ 0   ，且 z = x + y 的最大值為 6，則實數(shù) k 的值為（ ） ï0 £ y £ k 3  BC ，則 AM  AN = （ ） C. D. ì x + 2 y ³ 0 ï î A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8.《張丘建算經(jīng)》中載有如下敘述:“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里，問末日行幾何.”其 大意為:“現(xiàn)有一匹馬行走速度越來越慢，每天行走的距離是前一天的一半，連續(xù)行走 7 天，共走了 700 里， 問最后一天行走的距離是多少?”根據(jù)以上敘述，則問題的答案大約為( )里(四舍五入，只取整數(shù)). A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 9.已知在等邊三角形 ABC 中， BC = 3 ， BN = 2BM = 2 A.  4         B.   38 9 C. 5 D. 13 2 10.已知正項等比數(shù)列{   a n + 2 } ，第 1 項與第 9 項的等比中項為 (  )5 ，則 a  = （ ） 8 7 n 5 85         B．  86 85        D．  86 A． 75           75         76          76 C． 11.已知 f (x )是定義在 R 上的單調(diào)函數(shù)，滿足 f éë f (x )- ex ùû = 1，且 f (a ) > f (b ) > e .若 log b + log a = a b 10 3 ，則 a 與 b 的關系為（ ） A． a = b3 B． b = a3 C． b = a2 D． a = b2 12.設函數(shù) f (x) = ( x 2 - 3)e x ，若函數(shù)G( x) = f 2( x) - af ( x) + 16 e6 是（ ）  有 6 個不同的零點，則實數(shù)a 的取值范圍 e3   3e3  ) e3  3e3  ) e3  , +¥) 3e3  , +¥) A． ( 8 , 26 B． ( 4 , 26 C. ( 8 D． ( 26 第Ⅱ卷 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13.已知向量 a = (-1, x )， b = (x + 2, x )，若 | a + b |=| a - b | ，則 x = ． 14.已知函數(shù) f ( x) = 2sin( wx + j) (w > 0, - p 2 < j < 0) 的圖象如圖所示，則j =  ． 15.已知函數(shù) f (x ) = sin p x (0 < x < 1)，若 a ¹ b ，且 f (a ) = f (b ) ，則  4 1 a + b 的最小值為  ． 16.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排一列: (1,1)(1,2 )(2,1) (1,3) (2,2 )(3,1) (1,4 )(2,3 )(3,2 )(4,1), ，設第 2017 個整數(shù)對為 (a, b ).若在從 a 到 b 的所有整數(shù)中(含 a, b )中任取 2 個數(shù)，則這兩個數(shù)之和的取值個數(shù) 為 ． 三、解答題 （解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .） 17.在 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c ，且 b cos A = (2c - a)cos B . (Ⅰ)求 B ； (Ⅱ)若 b = 13 ， ABC 的面積為 3 ，求 ABC 的周長. 18.設等差數(shù)列{a } 的前 n 項和為 S ，首項 a = 1 ，且 n n 1 (Ⅰ)求 S ； n S 2018 = 2018 S 2017 + 1 . 2017 (Ⅱ)求數(shù)列{ 1 S S n  n+1  }的前 n 項和 T . n A  + cos2 w x,sin w x) ，其中 A ¹ 0,w > 0 .函數(shù) f (x ) = a b 圖象 2  ，且過點 (0,   ) . 19.已知向量 a = ( A, 3 A cos w x) ， b = ( 1 的相鄰兩對稱軸之間的距離是 p 2 3 (Ⅰ)求函數(shù) f (x )的解析式； (Ⅱ)若 f (x )+ t > 0 對任意 x Î[ p , p ] 恒成立，求 t 的取值范圍. 12 2 20.已知函數(shù) f (x ) = (Ⅰ)求 a, b 的值； -3x + a 3x+1 + b 為定義在 R 上的奇函數(shù). 22.已知曲線 f (x ) = axex (a > 0)在點 (0,0 )處的切線與曲線 g (x )  = -( x - 2)  也相切. g ( x +   )  (Ⅱ)設函數(shù) F (x ) = - f (x )                                     5 2 (Ⅱ)若不等式 f (t 2 - 2t ) < f (2t 2 - k ) 對任意 t Î[1,2 ]恒成立，求 k 的取值范圍. 21.近幾年，電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展也帶動了快遞業(yè)的高速發(fā)展.某快遞配送站每天至少要完成 1800 件包裹的 配送任務，該配送站有 8 名新手快遞員和 4 名老快遞員，但每天最多安排 10 人進行配送.已知每個新手快 遞員每天可配送 240 件包裹，日工資 320 元；每個老快遞員每天可配送 300 件包裹，日工資 520 元. (Ⅰ)求該配送站每天需支付快遞員的總工資最小值； (Ⅱ)該配送站規(guī)定:新手快遞員某個月被評為“優(yōu)秀”，則其下個月的日工資比這個月提高 12%.那么新手快 遞員至少連續(xù)幾個月被評為“優(yōu)秀”，日工資會超過老快遞員? (參考數(shù)據(jù): lg1.12 » 0.05 ， lg13 » 1.11 ， lg 2 » 0.30 .) 1 4 (Ⅰ)求實數(shù) a 的值； x + x ，若 x ¹ x 且 F ( x ) = F ( x ) < 0 ，證明: 1 2 < -1 . 1 2 1 2 4 3          15.  9 試卷答案 一、選擇題 1-5: DBCAB 6-10: BDCDC 11、12：AA 二、填空題 13.-1 或 2 14. - p  16. 125 三、解答題 17.【解析】(Ⅰ)由 b cos A = (2c - a)cos B ，得 2c cos B = b cos A + a cos B . 由正弦定理可得 2sin C cos B = sin B cos A + sin A cos B = sin( A + B) = sin C . 2  .因為  0 < B < p  ，所以 B = 因為 sin C ¹ 0 ，所以 cos B = 1 p 3 . 1 (Ⅱ)因為 S = ac sin B = 3 ，所以 ac = 4 . 2 又13 = a 2 + c2 - 2ac cos B = a 2 + c 2 - ac ，所以 a 2 + c2 = 17 ， 所以 a = 1,c = 4 或 a = 4, c = 1 . 則 ABC 的周長為 5 + 13 . n 2   d na +  n(n - 1) 18.【解析】(Ⅰ)設{a } 的公差為 d ，因為 Sn = n 1 d n      = a1 + (n - 1) 2 ， 所以{  S n } 為一個等差數(shù)列，所以 2018 -  S S n 2018 S  2017 = 2017 d 2 = 1 ，所以 d = 2 ， 故 S n = 1 + (n - 1) = n ，所以 S n  n  = n2 . SS   = (Ⅱ)因為 1 n  n+1 1 n(n + 1) = 1 n - 1 n +1 ， 所以  T  = (1-   ) + (   -   ) +   + (    1 n + 1) = 1 - n + 1  =  n + 1 2 2 3 n - 1 n n A  + cos2 w x) +   3 A cos w x sin w x 1 1 1 1 1 1 1 n n 19.【解析】(Ⅰ) f ( x) = a b = A( 1  - ) + ( -  ． 2   A2w x = 1 + A ´ = 1 + A cos2 w x + 3 1 + cos 2w x 2    + 3 2 A sin 2w x 2  + = 1 + A A          3                    p   A 2 cos 2w x + 2 A sin 2w x = A sin(2w x + 6 ) + 2 + 1 ． 2w  = p ，∴ w = 1 . 又函數(shù)  f (x )的圖象過點 (0,   ) ，即 x = 0 時， y = 由題意得 T = p ，∴ 2p 3 3 2 2 ， 6  + 即 A sin p A    3         1 2 + 1 = 2 ，解得 A = 2 ， 即 f ( x) =  1 (Ⅱ) f ( x) + t > 0 對任意 x Î[  p   p , ] 恒成立，即 -t < f (x ) 對任意 x Î[ p 5 2 sin(2 x + 6 ) + 4 ． p p , ] 恒成立， 12 2 12 2 即求 f (x )在 [ p , p ] 上的最小值． 12 2 12  £ x £ ∵ p p    p 2 ，∴ 6 £ 2 x £ p ，∴ p 3 £ 2 x + p 6 £ 7p 6 ， ∴  - £ sin(2 x + ) £ 1 ，∴1 £ f (x ) £ 3- x+1 + b  +  -3x + a 3x+1 + b  = 0 ， 1 p 7 2 6 4 ， ∴ -t < 1 ，∴ t > -1 ，即 t 的取值范圍是 (-1,+¥) ． 20.【解析】(Ⅰ)因為 f (x )是奇函數(shù)，所以 f (- x )+ f (x ) = 0 ，所以 -3- x + a 化簡得 (3a - b)(3x + 3- x ) + 2ab - 6 = 0 ， î 2ab - 6 = 0 ì3a - b = 0 要使上式對任意的 x 成立，則 í  ， f (x )的定義域是 R ，所以 í îb = -3                      îb = -3 ì 解得 ía = 1 îb = 3 ìa = -1 ìa = -1 或 í ．因為  (舍去).所以 a = 1,b = 3 . (Ⅱ) f (x ) =  -3x + 1 1 3 x+1 + 3 = 3 (-1 + 2 3 x + 1 ) ， 3  (3x1 + 1)(3x2 + 1) ) ． 1   2      2     2     3x2 - 3x1 3  3x1 + 1 3x2 + 1 ) 對任意 x , x Î R, x < x 1 2 1  2 ，有 f ( x ) - f (x ) = 1 2 ( - = ( 因為 x < x ，所以 3x2 - 3x1 > 0 ，所以 f ( x ) > f ( x ) ， 1 2 1 2 因此 f (x ) 在 R 上遞減. t 因為 f ( 2 - 2t )< f (2t 2 - k )，所以 t 2 - 2t > 2t 2 - k ， 即 t 2 + 2t - k < 0 對任意 t Î[1,2] 恒成立，即 (t 2 + 2t )  max < k . 因為 h (t ) = t 2 + 2t = (t + 1)2 - 1 在 t Î[1,2] 上為增函數(shù)，所以 h (t ) = h (2) = 8 ， max ïî x, y Î N           ï 解得 k > 8 ，所以 k 的取值范圍為 (8, +¥) ． 21.【解析】(Ⅰ)設安排新手快遞員 x 人，老快遞員 y 人， ì x + y £ 10 ì x + y £ 10 ï240x + 300 y ³ 1800 ï4 x + 5 y ³ 30 ï ï 則有 í0 £ x £ 8 ，即 í0 £ x £ 8 ， ï0 £ y £ 4 ï0 £ y £ 4 ï ïî x, y Î N 該配送站每天需支付快遞員總工資為 z = 320 x + 520 y . 作出可行域如圖所示. 作直線 l¢ :320 x + 520 y = 0 ，平移可得到一組與 l¢ 平行的直線 l¢ :320 x + 520 y = z . 由題設 x, y 是可行域內(nèi)的整點的橫、縱坐標. 在可行域內(nèi)的整點中，點 (8,0 )使 z 取最小值，即當 l 過點 (8,0 )時， z 最小， 即 z min= 8 ´ 320 = 2560 (元). 即該配送站每天需支付快遞員的總工資最小值為 2560 元. (Ⅱ)設新手快遞員連續(xù) n 個月被評為“優(yōu)秀”，日工資會超過老員工. 則由題意可得 320 ´1.12n > 520 . 320  = 轉(zhuǎn)化得1.12n > 520 13 8 ，兩邊求對數(shù)可得 n lg1.12 > lg13 - 3lg 2 ， 所以 n > lg13 - 3lg 2 » 1.11 - 3 ´ 0.30 = 4.2 ，又因為 n Î N * ，所以 n 最小為 5. lg1.12 0.05 即新手快遞員至少連續(xù) 5 個月被評為“優(yōu)秀”，日工資會超過老快遞員. 22.【解析】(Ⅰ) ∵ f ¢ (x ) = aex (1 + x ) ，當 x = 0 時， f ¢ (0) = a, f (0) = 0 ，故 f (x )在 (0,0 )處的切線 方程是 y = ax . ì y = ax ï 聯(lián)立 í 1 ïî y = -( x - 4 )  1 ，消去 y 得 ax = -( x - 2                      4  )2 ， (Ⅱ)由(Ⅰ)知 F (x ) =      ，由 F ( x ) = F ( x ）< 0 ，則 x  < 0, x  ¹ -1, x  < 0, x  ¹ -1, x  ¹ x  ． ( x + 1)2 ∴ = 0 ，∴ a = 0 或 1，故 a = 1 ． xe x 1 2 1 1 2 2 1 2 又 F ¢( x) = ( x + 1)e x ( x + 1)2 - xe x 2( x + 1)  e x ( x + 1)2 ( x + 1)4          = ( x + 1)3  ， - 當 x Î (-¥， 1) 時， F (x ) 是減函數(shù)；當 x Î (-1,+¥) 時， F (x ) 是增函數(shù). m2em+1   m + 1  e2m + 1) ， 令 m > 0 ， F (-1 + m)- F (-1 - m) = (m - 1)em-1 - (-m - 1)e-m-1 = m + 1 ( m - 1 m2 m2 m + 1  e2m + 1(m > 0) ， (m + 1)2      = 再令 j (m) = m - 1 則 j ¢(m) = 2e2m - 4e2m (m + 1) - 2e2m  2m2e2m (m + 1)2 > 0 ， m 2e2m  > 0 ， m2em+1   m + 1  e2m + 1) > 0 恒成立， ∴ j (m) > j (0) = 0 ．又 m + 1 當 m > 0 時， F (-1 + m) - F (-1 - m) = m + 1 ( m - 1 即 F (-1 + m) > F (-1 - m) 恒成立． 令 m = -1 - x > 0 ，即 x < -1，有 F (-1 + (-1 - x )) > F (-1 - (-1 - x )) ， 1 1 1 1 即 F (-2 - x ) > F (x ) = F (x 1 1 2 )． ∵ x < -1，∴ -2 - x > -1 .又 F ( x ) = F ( x ) ，必有 x > -1 ． 1 1 1 2 2 又當 x Î (-1, +¥)時， F (x ) 是增函數(shù)， ∴- -2 - x > x ， 1 2 x + x 即 1 2 < -1 ． 2