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第2章測(cè)試題
一.選擇題(共10小題)
1.(3分)如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,則∠ACF的度數(shù)為( )
A.48° B.36° C.30° D.24°
2.(3分)如圖,△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,則△BDC的周長(zhǎng)是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
3.(3分)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分線DE交BC于D,交AB于點(diǎn)E.當(dāng)∠B=30°時(shí),圖中不一定相等的線段有( )
A.AC=AE=BE B.AD=BD C.AC=BD D.CD=DE
4.(3分)等腰三角形ABC中,一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于G,已知AB=10,△GBC的周長(zhǎng)為17,則底BC為( )
A.5 B.7 C.10 D.9
5.(3分)若等腰三角形中有兩邊長(zhǎng)分別為2和5,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為( )
A.9 B.12 C.7或9 D.9或12
6.(3分)如圖,△ABC、△ADE中,C、D兩點(diǎn)分別在AE、AB上,BC與DE相交于F點(diǎn).若BD=CD=CE,∠ADC+∠ACD=114°,則∠DFC的度數(shù)為何?( )
A.114 B.123 C.132 D.147
7.(3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D,則∠D的度數(shù)為( )
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
8.(3分)已知,如圖,在△ABC中,OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,過(guò)O作DE∥BC,分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,若DE=8,則線段BD+CE的長(zhǎng)為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
9.(3分)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn),AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,則BC的長(zhǎng)度是( )
A.6 B.8 C.9 D.10
10.(3分)如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分線.若在邊AB上截取BE=BC,連接DE,則圖中等腰三角形共有( )
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
二.填空題(共8小題)
11.(3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上,EP⊥BC于點(diǎn)P,交AB于點(diǎn)F,若AF=2,BF=3,則CE的長(zhǎng)度為 .
12.(3分)已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為 .
13.(3分)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°,則頂角的度數(shù)是 .
14.(3分)如圖,△ABC中,∠A=90°,DE是BC的垂直平分線,AD=DE,則∠C的度數(shù)是 °.
15.(3分)如圖,銳角三角形ABC中,直線PL為BC的垂直平分線,射線BM為∠ABC的平分線,PL與BM相交于P點(diǎn).若∠PBC=30°,∠ACP=20°,則∠A的度數(shù)為 °.
16.(3分)如圖所示,在△ABC中,DE是AC的中垂線,AE=3cm,△ABD的周長(zhǎng)為13cm,則△ABC的周長(zhǎng)是 cm.
17.(3分)如圖,在△ABC中,AB=1.8,BC=3.9,∠B=60°,將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE,當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí),則CD的長(zhǎng)為 .
18.(3分)如圖,直線a∥b,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)A在直線a上,邊BC在直線b上,把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′(如圖①);繼續(xù)以上的平移得到圖②,再繼續(xù)以上的平移得到圖③,…;請(qǐng)問(wèn)在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是 .
三.解答題(共6小題)
19.如圖,△ABC中BA=BC,點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DF⊥AC于F交BC于E,
求證:△DBE是等腰三角形.
20.如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且DE∥AB,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求∠F的度數(shù);
(2)若CD=2,求DF的長(zhǎng).
21.如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點(diǎn)E,EH⊥AB,垂足是H.在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接ME.求證:ME⊥BC.
22.如圖,在△ABC中,DE,F(xiàn)G分別是AB,AC的垂直平分線,連接AE,AF,已知∠BAC=80°,請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí),確定∠EAF的度數(shù).
23.在△ABC中,AB邊的垂直平分線l1交BC于D,AC邊的垂直平分線l2交BC于E,l1與l2相交于點(diǎn)O.△ADE的周長(zhǎng)為6cm.
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)分別連結(jié)OA、OB、OC,若△OBC的周長(zhǎng)為16cm,求OA的長(zhǎng).
24.已知如圖1:△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F.
①圖中有幾個(gè)等腰三角形?請(qǐng)說(shuō)明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.
②若AB≠AC,其他條件不變,如圖2,圖中還有等腰三角形嗎?如果有,請(qǐng)分別指出它們.另第①問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
③若△ABC中,∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O,過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E,交AC于F.如圖3,這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形?EF與BE、CF間的關(guān)系如何?為什么?
參考答案:
一.選擇題(共10小題)
1.(3分)如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,則∠ACF的度數(shù)為( )
A.48° B.36° C.30° D.24°
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DBC=∠ABD=24°,然后再計(jì)算出∠ACB的度數(shù),再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BF=CF,進(jìn)而可得∠FCB=24°,然后可算出∠ACF的度數(shù).
【解答】解:∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABD=24°,
∵∠A=60°,
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°,
∵BC的中垂線交BC于點(diǎn)E,
∴BF=CF,
∴∠FCB=24°,
∴∠ACF=72°﹣24°=48°,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì),以及三角形內(nèi)角和定理,關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn),到線段兩端點(diǎn)的距離相等.
2.(3分)如圖,△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,則△BDC的周長(zhǎng)是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【分析】由ED是AB的垂直平分線,可得AD=BD,又由△BDC的周長(zhǎng)=DB+BC+CD,即可得△BDC的周長(zhǎng)=AD+BC+CD=AC+BC.
【解答】解:∵ED是AB的垂直平分線,
∴AD=BD,
∵△BDC的周長(zhǎng)=DB+BC+CD,
∴△BDC的周長(zhǎng)=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),三角形周長(zhǎng)的計(jì)算,掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.
3.(3分)如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分線DE交BC于D,交AB于點(diǎn)E.當(dāng)∠B=30°時(shí),圖中不一定相等的線段有( )
A.AC=AE=BE B.AD=BD C.AC=BD D.CD=DE
【分析】分別根據(jù)線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)對(duì)四個(gè)答案進(jìn)行逐一判斷即可.
【解答】解:∵∠B=30°,∠C=90°,
∴∠BAC=60°,AC=,
∵DE是AB的垂直平分線,
∴AD=BD,AE=BE=AB,
∴∠DAB=30°,AC=AE=BE,故A、B正確;
∴∠CAD=30°,
∴AD是∠BAC的平分線
∵CD⊥AC,DE⊥AB,
∴CD=DE,故D正確;
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì),涉及面較廣,難度適中.
4.(3分)等腰三角形ABC中,一腰AB的垂直平分線交另一腰AC于G,已知AB=10,△GBC的周長(zhǎng)為17,則底BC為( )
A.5 B.7 C.10 D.9
【分析】根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,得GB=GA,即△GBC的周長(zhǎng)=AC+BC,從而就求得了BC的長(zhǎng).
【解答】解:設(shè)AB的中點(diǎn)為D,
∵DG為AB的垂直平分線
∴GA=GB (垂直平分線上一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等),
∴三角形GBC的周長(zhǎng)=GB+BC+GC=GA+GC+BC=AC+BC=17,
又∵三角形ABC是等腰三角形,且AB=AC,
∴AB+BC=17,
∴BC=17﹣AB=17﹣10=7.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì);進(jìn)行有效的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵.
5.(3分)若等腰三角形中有兩邊長(zhǎng)分別為2和5,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為( )
A.9 B.12 C.7或9 D.9或12
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為5和2,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)行討論,還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.
【解答】解:當(dāng)腰為5時(shí),根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況成立,周長(zhǎng)=5+5+2=12;
當(dāng)腰長(zhǎng)為2時(shí),根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立;
所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是12.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系;已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進(jìn)行討論,還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答,這點(diǎn)非常重要,也是解題的關(guān)鍵.
6.(3分)如圖,△ABC、△ADE中,C、D兩點(diǎn)分別在AE、AB上,BC與DE相交于F點(diǎn).若BD=CD=CE,∠ADC+∠ACD=114°,則∠DFC的度數(shù)為何?( )
A.114 B.123 C.132 D.147
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠DCB,∠E=∠CDE,再利用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行分析解答即可.
【解答】解:∵BD=CD=CE,
∴∠B=∠DCB,∠E=∠CDE,
∵∠ADC+∠ACD=114°,
∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°,
∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°,
∴∠DCB+∠CDE=57°,
∴∠DFC=180°﹣57°=123°,
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和分析解答.
7.(3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D,則∠D的度數(shù)為( )
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2,∠3=∠4,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∠1=∠3+∠D,則2∠1=2∠3+∠A,利用等式的性質(zhì)得到∠D=∠A,然后把∠A的度數(shù)代入計(jì)算即可.
【解答】解:∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點(diǎn)D,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ACE=∠A+∠ABC,
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,
∴2∠1=2∠3+∠A,
∵∠1=∠3+∠D,
∴∠D=∠A=×30°=15°.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和三角形外角性質(zhì)進(jìn)行分析.
8.(3分)已知,如圖,在△ABC中,OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,過(guò)O作DE∥BC,分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,若DE=8,則線段BD+CE的長(zhǎng)為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì),可得∠DBF與∠FBC的關(guān)系,∠ECF與∠FCB的關(guān)系,根據(jù)兩直線平行,可得∠DFB與∠FBC的關(guān)系,∠EFC與∠FCB的關(guān)系,根據(jù)等腰三角形的判定,可得BD與DF的關(guān)系,EF與EC的關(guān)系,可得答案.
【解答】解:OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,
∴∠DBF=∠FBC,∠ECF=∠FCB.
∵DE∥BC,
∴∠FBC=∠DFB,∠EFC=∠FCB.
∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF.
∴DB=DF,EF=EC,
DE=DF+EF=DB+EC=8,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)平行線段性質(zhì)的理解和掌握,此題關(guān)鍵是求證DB=DO,OE=EC,難度不大,是一道基礎(chǔ)題.
9.(3分)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn),AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,則BC的長(zhǎng)度是( )
A.6 B.8 C.9 D.10
【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=6,DE=2,進(jìn)而得出△BEM為等邊三角形,△EMD為等邊三角形,從而得出BN的長(zhǎng),進(jìn)而求出答案.
【解答】解:延長(zhǎng)ED交BC于M,延長(zhǎng)AD交BC于N,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=CN,
∵∠EBC=∠E=60°,
∴△BEM為等邊三角形,
∴BE=EM
∵BE=6,DE=2,
∴DM=EM﹣DE═6﹣2=4,
∵△BEM為等邊三角形,
∴∠EMB=60°,
∵AN⊥BC,
∴∠DNM=90°,
∴∠NDM=30°,
∴NM=2,
∴BN=4,
∴BC=2BN=8,
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì),能求出MN的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
10.(3分)如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分線.若在邊AB上截取BE=BC,連接DE,則圖中等腰三角形共有( )
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
【分析】根據(jù)已知條件分別求出圖中三角形的內(nèi)角度數(shù),再根據(jù)等腰三角形的判定即可找出圖中的等腰三角形.
【解答】解:∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形;
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD是△ABC的角平分線,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,
∴∠A=∠ABD=36°,
∴BD=AD,
∴△ABD是等腰三角形;
在△BCD中,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°,
∴∠C=∠BDC=72°,
∴BD=BC,
∴△BCD是等腰三角形;
∵BE=BC,
∴BD=BE,
∴△BDE是等腰三角形;
∴∠BED=(180°﹣36°)÷2=72°,
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°,
∴∠A=∠ADE,
∴DE=AE,
∴△ADE是等腰三角形;
∴圖中的等腰三角形有5個(gè).
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定,用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形的角平分線定義等,解題時(shí)要找出所有的等腰三角形,不要遺漏.
二.填空題(共8小題)
11.(3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上,EP⊥BC于點(diǎn)P,交AB于點(diǎn)F,若AF=2,BF=3,則CE的長(zhǎng)度為 7 .
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠C,再根據(jù)EP⊥BC,得出∠C+∠E=90°,∠B+∠BFP=90°,從而得出∠D=∠BFP,再根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠E=∠AFE,最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出答案.
【解答】證明:在△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵EP⊥BC,
∴∠C+∠E=90°,∠B+∠BFP=90°,
∴∠E=∠BFP,
又∵∠BFP=∠AFE,
∴∠E=∠AFE,
∴AF=AE,
∴△AEF是等腰三角形.
又∵AF=2,BF=3,
∴CA=AB=5,AE=2,
∴CE=7.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是證明∠E=∠AFE,注意等邊對(duì)等角,以及等角對(duì)等邊的使用.
12.(3分)已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為 120°或20° .
【分析】設(shè)兩個(gè)角分別是x,4x,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分情況進(jìn)行分析,從而可求得頂角的度數(shù).
【解答】解:設(shè)兩個(gè)角分別是x,4x
①當(dāng)x是底角時(shí),根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,得x+x+4x=180°,解得,x=30°,4x=120°,即底角為30°,頂角為120°;
②當(dāng)x是頂角時(shí),則x+4x+4x=180°,解得,x=20°,從而得到頂角為20°,底角為80°;
所以該三角形的頂角為120°或20°.
故答案為:120°或20°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì);若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù),做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論,這是十分重要的,也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.已知中若有比出現(xiàn),往往根據(jù)比值設(shè)出各部分,利用部分和列式求解.
13.(3分)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°,則頂角的度數(shù)是 110°或70° .
【分析】本題要分情況討論.當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種情況.
【解答】解:此題要分情況討論:當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí),腰上的高在外部.
根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,即可求得頂角是90°+20°=110°;
當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí),腰上的高在其內(nèi)部,
故頂角是90°﹣20°=70°.
故答案為:110°或70°.
【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì),注意此類題的兩種情況.其中考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余;三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
14.(3分)如圖,△ABC中,∠A=90°,DE是BC的垂直平分線,AD=DE,則∠C的度數(shù)是 30 °.
【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠ABD=∠DBE,根據(jù)線段垂直平分線求出CD=BD,推出∠C=∠DBE=∠ABD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可.
【解答】解:∵△ABC中,∠A=90°,DE⊥BC,AD=DE,
∴∠ABD=∠DBE,
∵DE是BC的垂直平分線,
∴CD=BD,
∴∠C=∠DBE,
∵∠A=90°,
∴3∠C=90°,
∴∠C=30°,
故答案為:30.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì),角平分線性質(zhì),等腰三角形性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,注意:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
15.(3分)如圖,銳角三角形ABC中,直線PL為BC的垂直平分線,射線BM為∠ABC的平分線,PL與BM相交于P點(diǎn).若∠PBC=30°,∠ACP=20°,則∠A的度數(shù)為 70 °.
【分析】根據(jù)角平分線得出∠ABC=60°,再根據(jù)線段垂直平分線得出∠PCB=30°,利用三角形的內(nèi)角和解答即可.
【解答】解:∵射線BM為∠ABC的平分線,∠PBC=30°,
∴∠ABC=60°,
∵直線PL為BC的垂直平分線,
∴∠PCB=30°,
∴∠A的度數(shù)=180°﹣60°﹣30°﹣20°=70°,
故答案為:70.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查線段垂直平分線性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)角平分線得出∠ABC=60°,再根據(jù)線段垂直平分線得出∠PCB=30°進(jìn)行分析.
16.(3分)如圖所示,在△ABC中,DE是AC的中垂線,AE=3cm,△ABD的周長(zhǎng)為13cm,則△ABC的周長(zhǎng)是 19 cm.
【分析】由已知條件,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到線段相等,進(jìn)行線段的等量代換后可得到答案.
【解答】解:∵△ABC中,DE是AC的中垂線,
∴AD=CD,AE=CE=AC=3cm,
∴△ABD得周長(zhǎng)=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①
則△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=AB+BC+6 ②
把②代入①得△ABC的周長(zhǎng)=13+6=19cm
故答案為:19.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì);解答此題時(shí)要注意利用垂直平分線的性質(zhì)找出題中的等量關(guān)系,進(jìn)行等量代換,然后求解.
17.(3分)如圖,在△ABC中,AB=1.8,BC=3.9,∠B=60°,將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE,當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí),則CD的長(zhǎng)為 2.1 .
【分析】由將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE,當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上,可得AD=AB,又由∠B=60°,可證得△ABD是等邊三角形,繼而可得BD=AB=2,則可求得答案.
【解答】解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:AD=AB,
∵∠B=60°,
∴△ABD是等邊三角形,
∴BD=AB,
∵AB=1.8,BC=3.9,
∴CD=BC﹣BD=3.9﹣1.8=2.1.
故答案為:2.1.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單,注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
18.(3分)如圖,直線a∥b,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)A在直線a上,邊BC在直線b上,把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′(如圖①);繼續(xù)以上的平移得到圖②,再繼續(xù)以上的平移得到圖③,…;請(qǐng)問(wèn)在第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是 400 .
【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形,又觀察圖可得,第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè),小等邊三角形有2n個(gè),據(jù)此求出第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù).
【解答】解:如圖①
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC,
∵A′B′∥AB,BB′=B′C=BC,
∴B′O=AB,CO=AC,
∴△B′OC是等邊三角形,同理陰影的三角形都是等邊三角形.
又觀察圖可得,第1個(gè)圖形中大等邊三角形有2個(gè),小等邊三角形有2個(gè),
第2個(gè)圖形中大等邊三角形有4個(gè),小等邊三角形有4個(gè),
第3個(gè)圖形中大等邊三角形有6個(gè),小等邊三角形有6個(gè),…
依次可得第n個(gè)圖形中大等邊三角形有2n個(gè),小等邊三角形有2n個(gè).
故第100個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)是:2×100+2×100=400.
故答案為:400.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律.
三.解答題(共6小題)
19.如圖,△ABC中BA=BC,點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DF⊥AC于F交BC于E,
求證:△DBE是等腰三角形.
【分析】首先根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等得到∠A=∠C,再根據(jù)等角的余角相等得∠FEC=∠D,同時(shí)結(jié)合對(duì)頂角相等即可證明△DBE是等腰三角形.
【解答】證明:在△ABC中,BA=BC,
∵BA=BC,
∴∠A=∠C,
∵DF⊥AC,
∴∠C+∠FEC=90°,
∠A+∠D=90°,
∴∠FEC=∠D,
∵∠FEC=∠BED,
∴∠BED=∠D,
∴BD=BE,
即△DBE是等腰三角形.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的基本性質(zhì)及綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)來(lái)判定三角形是否為等腰三角形.
20.如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且DE∥AB,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求∠F的度數(shù);
(2)若CD=2,求DF的長(zhǎng).
【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解;
(2)易證△EDC是等邊三角形,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解.
【解答】解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=60°,
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°,
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°;
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
∴△EDC是等邊三角形.
∴ED=DC=2,
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì),以及直角三角形的性質(zhì),30度的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
21.如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點(diǎn)E,EH⊥AB,垂足是H.在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接ME.求證:ME⊥BC.
【分析】根據(jù)EH⊥AB于H,得到△BEH是等腰直角三角形,然后求出HE=BH,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE,然后求出HE=HM,從而得到△HEM是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.
【解答】解:∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°,
∵EH⊥AB于H,
∴△BEH是等腰直角三角形,
∴HE=BH,∠BEH=45°,
∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,
∴DE=HE,
∴DE=BH=HE,
∵BM=2DE,
∴HE=HM,
∴△HEM是等腰直角三角形,
∴∠MEH=45°,
∴∠BEM=45°+45°=90°,
∴ME⊥BC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì),角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)并證明出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.
22.如圖,在△ABC中,DE,F(xiàn)G分別是AB,AC的垂直平分線,連接AE,AF,已知∠BAC=80°,請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí),確定∠EAF的度數(shù).
【分析】在△ABC中,利用三角形內(nèi)角定理易求∠B+∠C,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易求∠BAE=∠B,同理可得∠CAF=∠C,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理進(jìn)而可得∠BAE+∠CAF﹣∠BAC=∠EAF.
【解答】解:在△ABC中,∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=100°,
∵DE是AB的垂直平分線,
∴EB=EA,
∴∠BAE=∠B,
同理可得∠CAF=∠C,
∴∠EAF=∠BAE+∠CAF﹣∠BAC=∠B+∠C﹣∠BAC=20°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是先求出∠B+∠C.
23.在△ABC中,AB邊的垂直平分線l1交BC于D,AC邊的垂直平分線l2交BC于E,l1與l2相交于點(diǎn)O.△ADE的周長(zhǎng)為6cm.
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)分別連結(jié)OA、OB、OC,若△OBC的周長(zhǎng)為16cm,求OA的長(zhǎng).
【分析】(1)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD,AE=CE,再根據(jù)AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出結(jié)論;
(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA=OC=OB,再由∵△OBC的周長(zhǎng)為16cm求出OC的長(zhǎng),進(jìn)而得出結(jié)論.
【解答】解:(1)∵DF、EG分別是線段AB、AC的垂直平分線,
∴AD=BD,AE=CE,
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC,
∵△ADE的周長(zhǎng)為6cm,即AD+DE+AE=6cm,
∴BC=6cm;
(2)∵AB邊的垂直平分線l1交BC于D,AC邊的垂直平分線l2交BC于E,
∴OA=OC=OB,
∵△OBC的周長(zhǎng)為16cm,即OC+OB+BC=16,
∴OC+OB=16﹣6=10,
∴OC=5,
∴OA=OC=OB=5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì),即線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.
24.已知如圖1:△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F.
①圖中有幾個(gè)等腰三角形?請(qǐng)說(shuō)明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.
②若AB≠AC,其他條件不變,如圖2,圖中還有等腰三角形嗎?如果有,請(qǐng)分別指出它們.另第①問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
③若△ABC中,∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O,過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E,交AC于F.如圖3,這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形?EF與BE、CF間的關(guān)系如何?為什么?
【分析】(1)根據(jù)EF∥BC,∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn),可得∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,再加上題目中給出的AB=AC,共5個(gè)等腰三角形;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.
(2)根據(jù)EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn),還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形;利用幾個(gè)等腰三角形的性質(zhì)即可得出EF與BE,CF的關(guān)系.
(3)EO∥BC和OB,OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線,還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形.
【解答】解:(1)有5個(gè)等腰三角形,EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系是:EF=BE+CF=2BE=2CF.理由如下:
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
又∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn),
∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∴∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,
∴OE=BE,OF=CF,
∴EF=OE+OF=BE+CF.
又AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC,
∴EF=BE+CF=2BE=2CF;
(2)有2個(gè)等腰三角形分別是:等腰△OBE和等腰△OCF;
第一問(wèn)中的EF與BE,CF的關(guān)系是:EF=BE+CF.
(3)有,還是有2個(gè)等腰三角形,△EBO,△OCF,EF=BE﹣CF,理由如下:
∵EO∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠OCG(G是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn))
又∵OB,OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線
∴∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCD,
∴∠EOB=∠EBO,
∴BE=OE,
∠FCO=∠FOC,
∴CF=FO,
又∵EO=EF+FO,
∴EF=BE﹣CF.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握,此題難度并不大,但是步驟繁瑣,屬于中檔題,還有第(1)中容易忽略△ABC也是等腰三角形,因此這又是一道易錯(cuò)題.要求學(xué)生在證明此題時(shí)一定要仔細(xì),認(rèn)真.