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1、專題一 集合、常用邏輯用語、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式
第1節(jié) 集合、常用邏輯用語
自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引
真題感悟
1．(2012·浙江)設(shè)集合A＝{x1＜x＜4}，集合B＝{xx2－2x－3≤0}，則A∩(?RB)＝
A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
解析 首先用區(qū)間表示出集合B，再用數(shù)軸求A∩(?RB)．解x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴B＝[－1,3]，則?RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A∩(?RB)＝(3,4)．
答案 B
2．(2012·福建)下列命題中，真命題是
A．?x0∈R
2、，≤0
B．?x∈R,2x＞x2
C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是＝－1
D．a(chǎn)＞1，b＞1是ab＞1的充分條件
解析 應(yīng)用量詞和充要條件知識(shí)解決．
對(duì)于?x∈R，都有ex＞0，故選項(xiàng)A是假命題；當(dāng)x＝2時(shí)，2x＝x2，故選項(xiàng)B是假命題；當(dāng)＝－1時(shí)，有a＋b＝0，但當(dāng)a＋b＝0時(shí)，如a＝0，b＝0時(shí)，無意義，故選項(xiàng)C是假命題；當(dāng)a＞1，b＞1時(shí)，必有ab＞1，但當(dāng)ab＞1時(shí)，未必有a＞1，b＞1，如當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，ab＞1，但a不大于1，b不大于1，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分條件，選項(xiàng)D是真命題．
答案 D
考題分析
高考對(duì)集合的考查主要集中在集合的運(yùn)算與集合間關(guān)系
3、的判定與應(yīng)用，常用邏輯用語考查知識(shí)面十分廣泛，可以涵蓋函數(shù)、立體幾何、不等式、向量、三角函數(shù)等內(nèi)容．考查的形式多為選擇題，難度不大，但需掌握基本知識(shí)與方法．
網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建
高頻考點(diǎn)突破
考點(diǎn)一：集合的概念與運(yùn)算
【例1】(1)(2012·朝陽二模)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A?B，則a等于
A．1 B．0 C．－2 D．－3
(2)(2012·西城二模)已知集合A＝{xlog2x＜1}，B＝{x0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B＝B，則c的取值范圍是
A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞)
4、
(3)(2012·宜春模擬)設(shè)全集U＝R，A＝{x2x(x－2)＜1}，B＝{xy＝ln(1－x)}，則圖中陰影部分表示的集合為
A．{xx≥1} B．{x1≤x＜2}
C．{x0＜x≤1} D．{xx≤1}
[審題導(dǎo)引] (1)利用子集的定義求解；
(2)解出A，然后借助于數(shù)軸解決；
(3)觀察圖形，求得陰影部分表示的集合，解出A，B并求解．
[規(guī)范解答] (1)∵A?B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.
(2)解不等式log2x＜1，得0＜x＜2，
∴A＝{x0＜x＜2}．
∵A∪B＝B，∴A?B，∴c≥2.
(3)解不等式2x(x－2)＜1＝20得0
5、＜x＜2，
∴A＝{x0＜x＜2}．
又易知B＝{xx＜1}，圖中陰影部分表示的集合為A∩(?UB)＝{x0＜x＜2}∩{xx≥1}＝{x1≤x＜2}．
[答案] (1)C (2)D (3)B
【規(guī)律總結(jié)】
解答集合間的關(guān)系判定與運(yùn)算問題的一般思路
(1)正確理解各個(gè)集合的含義，認(rèn)清集合元素的屬性、代表的意義．
(2)根據(jù)集合中元素的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合．
(3)在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．
一般規(guī)律為：
①若給定的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；
②若給定的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；
③若給定的集合是抽象集合，用Venn圖求解．
[
6、易錯(cuò)提示] (1)準(zhǔn)確理解集合中代表元素的屬性，以求解有關(guān)不等式(如例1中的第(3)題，集合B表示函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域)．
(2)在借助于數(shù)軸進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)，要標(biāo)清實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)，避免漏解或增解(如例1中的第(2)題)．
【變式訓(xùn)練】
1．(2012·三明模擬)已知集合M＝{m，－3}，N＝{x2x2＋7x＋3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠?，則m等于
A．－1 B．－2 C．－2或－1 D．－
解析 由2x2＋7x＋3＜0，得－3＜x＜－，
又x∈Z，∴N＝{－2，－1}，
又M∩N≠?，∴m＝－2或－1.
答案 C
2．(20
7、12·海淀二模)設(shè)全集為R，集合M＝，N＝，則集合可表示為
A．M∪N B．M∩N
C．(?RM)∩N D．M∩(?RN)
解析 根據(jù)橢圓的有界性知M＝{x－2≤x≤2}，解不等式≤0，得N＝{x－1＜x≤3}．
由圓的定義可得
＝{x－2≤x≤－1}，
即＝M∩(?RN)．
答案 D
考點(diǎn)二：命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞
【例2】(1)(2012·濰坊模擬)命題：“若x2＜1，則－1＜x＜1”的逆否命題是
A．若x2≥1，則x≥1，或x≤－1
B．若－1＜x＜1，則x2＜1
C．若x＞1，或x＜－1，則x2＞1
D．若x≥1，或x≤－1，則x2≥
8、1
(2)若p是真命題，q是假命題，則
A．p∧q是真命題 B．p∨q是假命題
C．p是真命題 D．q是真命題
[審題導(dǎo)引] (1)按照四種命題的定義即可解決；(2)由復(fù)合命題的真值表判定．
[規(guī)范解答] (1)∵“－1＜x＜1”的否定是x≥1，
或x≤－1.
又由逆否命題的定義，
∴原命題的逆否命題為：若x≥1，或x≤－1，則x2≥1.
(2)由條件知，p是假命題，q是真命題，故選D.
[答案] (1)D (2)D
【規(guī)律總結(jié)】
命題真假的判定方法
(1)一般命題p的真假由涉及到的相關(guān)交匯知識(shí)辨別．
(2)四種命題的真
9、假的判斷根據(jù)：一個(gè)命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個(gè)命題的真假無必然聯(lián)系．
(3)形如p或q、p且q、p命題的真假根據(jù)真值表判定．
【變式訓(xùn)練】
3．(2012·衡水模擬)命題A：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不經(jīng)過第四象限．那么命題A的逆命題、否命題、逆否命題這三個(gè)命題中假命題的個(gè)數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 易知命題A是真命題，其逆否命題也是真命題，A的逆命題與否命題都是假命題．
答案 C
4．(2012·石家莊模擬)有下列命題：
p：函數(shù)f(x)＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
q：已知向量a＝(λ
10、，1)，b＝(－1，λ2)，c＝(－1,1)，則(a＋b)∥c的充要條件是λ＝－1；
r：若(a＞1)，則a＝e.
其中所有的真命題是
A．r B．p，q C．q，r D．p，r
解析 ∵f(x)＝sin4x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，
∴T＝π，故p是真命題；
∵a＋b＝(λ－1，λ2＋1)，(a＋b)∥c，
則λ2＋λ＝0，即λ＝－1或λ＝0，
故q是假命題；
dx＝ln x＝ln a＝1，
∴a＝e，故r是真命題．
答案 D
考點(diǎn)三：量詞、含有量詞的命題的否定
【例3】下列命題中是假命題的是
11、
A．?x∈，x＞sin x
B．?x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
C．?x∈R, 3x＞0
D．?x0∈R，lg x0＝0
[審題導(dǎo)引] 對(duì)全稱命題與特稱命題真假的判定，要結(jié)合具體的知識(shí)進(jìn)行，要特別注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．
[規(guī)范解答] ?x∈，設(shè)單位圓與角x的終邊交于點(diǎn)P(m，n)，與m軸正半軸交于點(diǎn)A(1,0)，作PM⊥m軸于M，由正弦函數(shù)的定義，知MP＝sin x，的長(zhǎng)l＝x，由S扇形OAP＞S△OAP?x＞sin x，故?x∈，x＞sin x，即選項(xiàng)A是真命題；sin x＋cos x＝sin≤，
所以不存在x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2，故選項(xiàng)B是假命題
12、．故選B.(事實(shí)上，由指數(shù)函數(shù)的值域?x∈R,3x＞0是真命題；取x0＝1，lg x0＝lg 1＝0，故?x0∈R，lg x0＝0是真命題．)
[答案] B
【規(guī)律總結(jié)】
全稱命題與特稱命題的判斷方法
對(duì)于特稱命題的判斷，只要能找到符合要求的元素使命題成立，即可判斷該命題成立；對(duì)于全稱命題的判斷，必須對(duì)任意元素證明這個(gè)命題為真，也就是證明一個(gè)一般性的命題成立時(shí)，方可證明該命題成立，而只要找到一個(gè)特殊元素使命題為假，即可判斷該命題不成立．
[易錯(cuò)提示] 注意對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、方程等知識(shí)在解題中的應(yīng)用，在判斷由這些知識(shí)組成的全稱或者特稱命題時(shí)，要特別注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義
13、域、指數(shù)函數(shù)的值域、三角函數(shù)的定義域和周期性、不等式成立的條件等．
【變式訓(xùn)練】
5．(2012·朝陽二模)若命題p：?x∈R，＞0，則其否定是_______________．
解析 ∵不等式＞0的隱含條件為＞0且x2＋x＋1≠0，
∴綈p：?x∈R，＜0，或x2＋x＋1＝0.
答案 綈p：?x∈R，＜0，或x2＋x＋1＝0
6．命題p1：?x∈(0，＋∞)，x＜x；p2：?x∈(0,1)，＞；p3：?x∈(0，＋∞)，x＞；p4：?x∈，x＜，其中的真命題是
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
解析 取x＝，則＝1，＝log32＜1，p2正確
14、；當(dāng)x∈時(shí)，x＜1，而＞1，p4正確．
答案 D
考點(diǎn)四：充分必要條件
【例4】(1)(2012·黃岡模擬)已知條件p：x≤1，條件q：＜1，則綈p是q的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
(2)(2012·豐臺(tái)二模)已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A．(0,9) B．(0,3) C．(0,9] D．(0,3]
[審題導(dǎo)引] (1)求出綈p與q中x的范圍后，再判斷；
(2)先解p與q中的不等式，然后利用數(shù)軸求解．
[規(guī)范解
15、答] (1)p：x＞1，又易知q：x＜0或x＞1，
∴p是q的充分不必要條件．
(2)解不等式≤2得p：－2≤x≤10，
又x2－2x＋1－m2＝[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0，
且m＞0，
∴q：1－m≤x≤1＋m.
∵p是q的充分不必要條件，
∴q是p的充分不必要條件．
由圖得或
∴0＜m≤3.
[答案] (1)A (2)D
【規(guī)律總結(jié)】
充分必要條件的判定方法
(1)充要關(guān)系的判斷就是在兩個(gè)條件之間互推，當(dāng)問題為A是B的什么條件時(shí)，如果A?B，反之不成立的話，則A是B的充分不必要條件(B是A的必要不充分條件)；如果B?A，反之不成立的話
16、，則A是B的必要不充分條件(B是A的充分不必要條件)；若A?B，則A，B互為充要條件．
(2)充要關(guān)系可以從集合的觀點(diǎn)理解，即若滿足命題p的集合為M，滿足命題q的集合為N，則M是N的真子集等價(jià)于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價(jià)于p是q的必要不充分條件，M＝N等價(jià)于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關(guān)系等價(jià)于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件
[易錯(cuò)提示] 充分必要條件的判斷應(yīng)注意問題的設(shè)問方式，我們知道：①A是B的充分不必要條件是指：A?B且BA；②A的充分不必要條件是B是指：B?A且AB.在解題中一定要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤．
【變式訓(xùn)練】
7．(2012·
17、咸陽二模)下面四個(gè)條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是
A．a(chǎn)＞b＋1 B．a(chǎn)＞b－1
C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3
解析 ∵a＞b＋1＞b，∴a＞b＋1是a＞b的充分條件，
但當(dāng)a＞b時(shí)不能推出a＞b＋1，故選A.
答案 A
8．(2012·成都模擬)已知p：|x－10|＋|9－x|≥a的解集為R，q：＜1，則綈p是q的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析 ∵|x－10|＋|9－x|≥1，
且|x－10|＋|9－x|≥a的解集為R，
∴p：a≤1，則p：a＞1；
解不等式＜1
18、，得q：a＜0或a＞1，
∴p是q的充分不必要條件．
答案 A
名師押題高考
【押題1】設(shè)全集U＝R，集合A＝，B＝{x∈Zx2≤9}，則圖中陰影部分表示的集合為
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x0≤x＜3} D．{x0≤x≤3}
解析 圖中陰影表示的是A∩B，化簡(jiǎn)集合：A＝＝＝{x∈Z0≤x＜3}＝{0,1,2}，B＝{x∈Z－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}，故選B.
答案 B
[押題依據(jù)] 高考對(duì)集合的考查集中在三個(gè)方面：集合的表示方法，元素的性質(zhì)特征與集合的運(yùn)算．本題與不
19、等式的解法交匯命題、綜合性較強(qiáng)．重點(diǎn)考查集合的運(yùn)算，難度不大，但重點(diǎn)突出，立意新穎，故押此題．
【押題2】已知命題p1：當(dāng)x，y∈R時(shí)，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0. p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R內(nèi)為減函數(shù)，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命題是
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析 解法一 p1是真命題，事實(shí)上：(充分性)若xy≥0，則x，y至少有一個(gè)為0或兩者同號(hào)，∴|x＋y|＝|x|＋|y|一定成立．
(必要性)若|x＋y|＝|x|＋|y|，兩
20、邊平方，得x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，∴xy＝|xy|.∴xy≥0.故p1為真．
而對(duì)于p2：y′＝2xln 2－ln 2＝ln 2，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，2x≥，又ln 2＞0，∴y′≥0，函數(shù)單調(diào)遞增；
同理得當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故p2是假命題．
由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故選C.
解法二 p1是真命題，同解法一．對(duì)p2的真假可以取特殊值來判斷，如取x1＝1＜x2＝2，得y1＝＜y2＝；取x3＝－1＞x4＝－2，得y3＝＜y4＝，即可得到p2是假命題，由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故選C.
解法三 p1是真命題，同解法一．對(duì)p2：由于y＝2x＋2－x≥2＝2(等號(hào)在x＝0時(shí)取得)，故函數(shù)在R上有最小值2，故這個(gè)函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù)，p2是假命題，由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故選C.
答案 C
[押題依據(jù)] 常用邏輯用語重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是高考考查的熱點(diǎn)，本題綜合考查了命題的真假判斷，充分必要條件及邏輯聯(lián)結(jié)詞，題目難度適中，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，重點(diǎn)知識(shí)的考查，故押此題．
專題一 第1講 集合、常用邏輯用語
