北師大版八年級數(shù)學下冊 線段的垂直平分線 教案

線段的垂直平分線 【預習提示】 1．線段垂直平分線的定義是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．線段垂直平分線的性質(zhì)定理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．線段垂直平分線的判定定理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線需＿＿＿＿步完成。 【教學目標】 一、知識目標： 1．能夠證明線段垂直平分線性質(zhì)定理。 2．能夠利用尺規(guī)作圖作已知線段的垂直平分線。 二、能力目標： 1．經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力。 2．體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神。 3．培養(yǎng)學生探究精神，參與意識，形成合作交流的課堂氛圍。 三、情感目標： 1．能積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲。 2．在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。 【教學重點】 1. 能夠證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，判定定理 2．能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線 【教學難點】 寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題。 【教學過程】 一、創(chuàng)設情景，引入新課 如圖 A，B 表示兩個倉庫，要 A，B 一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相 等，碼頭應建在什么位置？ A  .  .  B 師：我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到線段垂直平分線的性定理，大家知道這是不夠的，下面 請同學們通過小組交流，利用已學過的公理定理進行證明。 問題 1：要證“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等?！笨删€段垂直平分線上的 點有無數(shù)多個，需一個一個依次證明嗎？ （通過小組合作交流完成） 師生共析：已知：如圖，直線 MN⊥AB 于點 C， 且 AC=BC，點 P 是 MN 上的點 求證：PA=PB 分析：要想證明 PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的 兩個三角形全等。 證明：∵MN⊥AB ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC PC=PC ∴△PCA≌△PCB（SAS） ∴PA=PB（全等三角形的對應邊相等） 板書： 定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。 二、想一想： 問題 2：你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？（小組交流） 點評：因為這個命題不是“如果……那么……”的形式，因此學生說出或?qū)懗鏊哪婷} 可能會一定困難，應引導學生分析它的條件和結論。 問題 3：你能說出這個逆命題的條件和結論？ 師：當我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假，如果真，則需證明它；如果假，則需用 反例說明，請同學們小組交流完成。 已知：線段 AB，點 P 是平面內(nèi)一點，且 PA=PB 求證：P 點在 AB 的垂直平分線上 證明：過點 P 作已知線段 AB 的垂線 PC ∵PA=PB PC=PC ∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL） ∴AC=BC 即 P 點在 AB 的垂直平分線上 （此題證法較多合理即可） 板書：定理：到一條線段兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 師：我們曾用折紙的方法折出過線段的垂直平分線，現(xiàn)在我們學習了線段垂直平分線的性 質(zhì)定理和判定定理，能否用尺規(guī)作圖的方法作出線段的垂直平分線呢？ 下面我們一起來寫出已知、求作、作法，體會作法中的每一步的依據(jù)。 師生共析： 已知：線段 AB 求作：線段 AB 的垂直平分線 作法： 1．分別以點 A 和點 B 為圓心，以大于 1/2AB 的長為半徑作弧，兩弧相交于 C 和 D； 2．作直線 CD 直線 CD 就是線段 AB 的垂直平分線。 師：根據(jù)上面作法中的步驟，請你說明 CD 為什么是 AB 的垂直平分線嗎？小組交流。 生：以作法的第一步可知 AC=BC，AD=BD ∵點 C、D 都在 AB 垂直平分線上 ∴CD 就是線段 AB 的垂直平分線 拓展延伸：我們曾用刻度尺找線段的中點，當我們學習了線段垂直平分線的作法時，一旦 垂直平分線作出，線段與線段垂直平分線的交點就是線段 AB 的中點，所以我們也用這種方法 作線段的中點。 三、暢談收獲 本節(jié)課我們先推理證明了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，并學會用尺規(guī)用線段 的垂直平分線。 鞏固提高練習題 （1）填空題 1. △ABC 中，AB=BC=28cm，D 為 AB 的中點，DE⊥AB 交 BC 于 E，若△EAC 的周長為 36cm， 則 AC=______。 2. △ABC 中，如果 AB=AC，AB 的垂直平分線交 BC 于邊的延長線于 M，交 AB 邊在 N 點， 且∠CAB=42°，則∠NMB 的度數(shù)為______。 3. “全等三角形的面積相等”的逆命題為________________________； 它是一個_______命題（填真或假）。 （2）解答題 B 1. 已知：如圖，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°， BD 平分∠ABC 交 AC 于 D 求證：點 D 在 AB 的垂直平分線上。 C D A 2．某公司在公路上建一個土特產(chǎn)收購站 P，這個收購站應滿足到 A、B 兩個鎮(zhèn)的距離相等。 （如圖）你認為這個收購站應建在公路的什么位置？用尺規(guī)作出點 P 的位置，并加以說明 A B N M