2013年全國高考數(shù)學第二輪復習 專題一 常以客觀題形式考查的幾個問題第3講 不等式、線性規(guī)劃 理

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1、專題一　常以客觀題形式考查的幾個問題第3講　不等式、線性規(guī)劃 真題試做 1．(2012·重慶高考，理2)不等式≤0的解集為(　　)． A．　　　　　　　　　　　B． C．∪[1，＋∞)　　　　D．∪[1，＋∞) 2．(2012·大綱全國高考，理9)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，則(　　)． A．x＜y＜z 　　　　 B．z＜x＜y C．z＜y＜x 　　　　 D．y＜z＜x 3．(2012·四川高考，理9)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶

2、乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是(　　)． A．1 800元 　　　　 B．2 400元 C．2 800元 　　　　 D．3 100元 4．(2012·重慶高考，理10)設平面點集A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為(　　)． A．π 　　　　 B．π 　　　　 C．π 　　　　 D． 5．(2012·浙江高考，理17)設a∈R，若x＞0時均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，則a＝_

3、_________. 考向分析 通過高考試卷可分析出：在不等式中，主要熱點是線性規(guī)劃知識、均值不等式及解不等式等，單純對不等式性質(zhì)的考查并不多．解不等式主要涉及一元二次不等式、簡單的分式不等式、對數(shù)和指數(shù)不等式等，并且以一元二次不等式為主，重在考查等價轉化能力和基本的解不等式的方法．均值不等式的考查重在對代數(shù)式的轉化過程及適用條件，等號成立條件的檢驗，常用來求最值或求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍．線性規(guī)劃問題是高考的一個必考內(nèi)容，主要還是強調(diào)用數(shù)形結合的方法來尋求最優(yōu)解的過程，體現(xiàn)了數(shù)學知識的實際綜合應用．不等式知識的考查以選擇題、填空題為主，也蘊含在解答題中，題目難度為中低檔，但考查很廣泛

4、，需引起重視． 熱點例析 熱點一　不等式的性質(zhì)及應用 【例１】(1)設0＜a＜b，則下列不等式中正確的是(　　)． A．a(chǎn)＜b＜＜　　　　　B．a(chǎn)＜＜＜b C．a(chǎn)＜＜b＜　　　　　D．＜a＜＜b (2)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品(　　)． A．60件 　　　 B．80件 　　　 C．100件 　　　 D．120件 規(guī)律方法　(1)弄清每一個不等式性質(zhì)的條件和結論，注意條件的變化對結論的影響． (2)判斷不等式是否

5、成立時，常利用不等式的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等知識以及特殊值法． (3)應用基本不等式求最值時一定要注意基本不等式成立的條件，必要時需要對相關的式子進行變形、構造常數(shù)等以符合基本不等式應用的條件，此外還要特別注意等號成立的條件，以確保能否真正取得相應的最值． 變式訓練1　已知log2 a＋log2 b≥1，則3a＋9b的最小值為__________． 熱點二　不等式的解法 【例２】已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}． (1)求a，b； (2)解不等式(c為常數(shù))． 規(guī)律方法　(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化為一般形式ax2＋bx＋c＞0(

6、a＞0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集． (2)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是利用相關知識轉化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解． (3)解含“f ”的不等式，首先要確定f(x)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性進行轉化、求解． (4)解含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當分類，關鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因，確定好分類標準，層次清晰地求解． 變式訓練2　已知f(x)＝則f(x)＞－1的解集為(　　)． A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)

7、 C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 熱點三　線性規(guī)劃問題 【例３】(1)在直角坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為，則t的值為(　　)． A．－或 　　　　 B．－5或1 C．1 　　　　　　　　 D． (2)已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則的最大值為(　　)． A．4 　　　 B．3 　　　 C．4 　　　 D．3 規(guī)律方法　1．線性規(guī)劃問題的三種題型 一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是知最優(yōu)解或可行域確定參數(shù)的值或取值范圍． 2．解答線性規(guī)劃問題的步驟及應注意的問題

8、 解決線性規(guī)劃問題，首先要作出可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決． 變式訓練3　不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則k＝__________. 思想滲透 1．分類討論思想的含義 分類討論思想就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，首先把研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答．實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的解題策略． 2．本部分內(nèi)容中分類討論常見題型 (1)由數(shù)學運算要求引起的分類討論； (

9、2)由參數(shù)的變化引起的分類討論． 3．常見誤區(qū) 利用均值不等式求最值容易忘記等號成立的條件． 【典型例題】設不等式組表示的平面區(qū)域為D.若指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是(　　)． A．(1,3] 　　　 B．[2,3] 　　　 C．(1,2] 　　　 D．[3，＋∞) 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域D，如圖中陰影部分所示． 由得交點A(2,9)． 對于y＝ax的圖象，當0＜a＜1時，沒有點在區(qū)域D上． 當a＞1時，y＝ax的圖象恰好經(jīng)過A點時，由a2＝9，得a＝3. 由題意知，需滿足a2≤9，解得1＜a≤3. 答案：A 1．不等式|x

10、－5|＋|x＋3|≥10的解集是(　　)． A．[－5,7] 　　　　　　　　　　　 B．[－4,6] C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) 　　　　D．(－∞，－4]∪[6，＋∞) 2．設x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為12，則＋的最小值為(　　)． A． 　　　　 B． 　　　　 C． 　　　　 D．4 3．某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需運往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次．派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配

11、1名工人，運送一次可得利潤350元．該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z＝(　　)． A．4 650元 　　　 B．4 700元 C．4 900元 　　　 D．5 000元 4．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，則a的取值范圍是(　　)． A．(－∞，－1] 　　　　 B．[1，＋∞) C．[－1,1] 　　　　 D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 5．設x，y為實數(shù)，若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是__________． 6．已知函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋cx＋d(a，c，d∈R)滿足f(0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′

12、(x)≥0在R上恒成立． (1)求a，c，d的值； (2)若h(x)＝x2－bx＋－，解不等式f ′(x)＋h(x)＜0. 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．A　2．D　3．C　4．D　5． 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】(1)B　解析：由a＝＜＜＝b，排除A，D， 又＜＝b，排除C，選B. (2)B　解析：由題意得平均每件產(chǎn)品生產(chǎn)準備費用為元． 倉儲費用為元，得費用和為＋≥2＝20(元)． 當＝時，即x＝80時等號成立． 【變式訓練1】18 【例2】解：(1)由題意知1，b為方程ax2－3x＋2＝0的兩根，即解得 (2)不等式等價于(x－c)

13、(x－2)＞0，當c＞2時，解集為{x|x＞c或x＜2}，當c＜2時，解集為{x|x＞2或x＜c}，當c＝2時，解集為{x|x≠2，x∈R}． 【變式訓練2】B 【例3】(1)C 解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 由解得交點B(t，t＋2)． 在y＝x＋2中，令x＝0，得y＝2，即直線y＝x＋2與y軸的交點為C(0,2)． 由平面區(qū)域的面積S＝＝，得t2＋4t－5＝0，解得t＝1或t＝－5(不合題意，舍去)，故選C. (2)C　解析：z＝＝(x，y)·(，1)＝x＋y. 由畫出可行域， 如圖中陰影部分所示． 作直線l0：y＝－x，平移直線l0至l1

14、位置時，z取得最大值，此時l1過點(，2)，故zmax＝×＋2＝4. 【變式訓練3】0或－ 創(chuàng)新模擬·預測演練 1．D　2．A　3．C　4．C　5． 6．解：(1)∵f(0)＝0，∴d＝0. ∵f′(x)＝ax2－x＋c，f′(1)＝0， ∴a＋c＝. ∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－x＋c≥0恒成立， ∴ax2－x＋－a≥0恒成立． 顯然當a＝0時，上式不恒成立，∴a≠0. ∴ 即 即解得a＝，c＝. ∴a，c，d的值分別為，，0. (2)∵a＝c＝， ∴f′(x)＝x2－x＋. f′(x)＋h(x)＜0， 即x2－x＋＋x2－bx＋－＜0，即x2－x＋＜0， 即(x－b)＜0， 當b＞時，解集為； 當b＜時，解集為； 當b＝時，解集為?.