（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章第3課時 圓的方程課時闖關(guān)（含解析）

（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章第3課時 圓的方程課時闖關(guān)（含解析） 一、選擇題 1．(2011·高考四川卷)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 解析：選D.圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)為，即. 2．已知圓的方程為x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么下列直線中經(jīng)過圓心的直線的方程為(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0 解析：選C.(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圓心為(1，－3)，而(1，－3)滿足2x＋y＋1＝0.∴直線2x＋y＋1＝0過圓心． 3．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D. (x－2)2＋(y－2)2＝1 解析：選B.∵圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1， ∴圓C1是以(－1,1)為圓心，1為半徑的圓． 又∵點(－1,1)關(guān)于直線x－y－1＝0的對稱點為(2，－2)， ∴圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1，故選B. 4．方程|x|－1＝所表示的曲線是(　　) A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓 解析：選D.原方程即 即或 故原方程表示兩個半圓． 5．一束光線從點A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是(　　) A．4 B．5 C．3－1 D．2 解析：選A.圓C的圓心C的坐標(biāo)為(2,3)，半徑r＝1.點A(－1,1)關(guān)于x軸的對稱點A′的坐標(biāo)為(－1，－1)．因A′在反射線上，所以最短距離為|A′C|－r，即－1＝4. 二、填空題 6．(2012·泉州質(zhì)檢)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________． 解析：直線x－y＋1＝0與x軸的交點為(－1,0)，即圓C的圓心坐標(biāo)為(－1,0)．又圓C與直線x＋y＋3＝0相切， ∴圓C的半徑為r＝＝. ∴圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝2 7．如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0.那么當(dāng)圓面積最大時，圓心為________． 解析：將方程配方，得(x＋)2＋(y＋1)2＝－k2＋1. ∴r2＝1－k2>0，rmax＝1，此時k＝0. ∴圓心為(0，－1)． 答案：(0，－1) 8．若實數(shù)x、y滿足(x－2)2＋y2＝3，則的最大值為________． 解析：＝，即連結(jié)圓上一點與坐標(biāo)原點的直線的斜率，因此的最值即為過原點的直線與圓相切時該直線的斜率． 設(shè)＝k，則kx－y＝0.由＝，得k＝±， 故()max＝. 答案： 三、解答題 9．根據(jù)下列條件求圓的方程： (1)經(jīng)過坐標(biāo)原點和點P(1,1)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上； (2)與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0 上，且直線y＝x 截圓所得弦長為2. 解：(1)顯然，所求圓的圓心在OP的垂直平分線上，OP的垂直平分線方程為＝， 即x＋y－1＝0. 解方程組，得圓心C的坐標(biāo)為(4，－3)． 又圓的半徑r＝|OC|＝5， 所以所求圓的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (2)因圓與y軸相切，且圓心在直線x－3y＝0上， 故設(shè)圓方程為(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2， 又因為直線y＝x截圓得弦長為2， 所以2＋()2＝9b2，解得b＝±1. 故所求圓方程為：(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與直線y＝x相切于坐標(biāo)原點O. (1)求圓C的方程； (2)試探求C上是否存在異于原點的點Q，使Q到定點F(4,0)的距離等于線段OF的長．若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)設(shè)圓C的圓心為C(a，b)，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝8， ∵直線y＝x與圓C相切于原點O. ∴O點在圓C上， 且OC垂直于直線y＝x， 于是有?或. 由于點C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0. ∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)假設(shè)存在點Q符合要求，設(shè)Q(x，y)， 則有 解之得x＝或x＝0(舍去)． 所以存在點Q(，)，使Q到定點F(4,0)的距離等于線段OF的長． 一、選擇題 1．(2012·福州調(diào)研)若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選D.圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為(a，－b)，則a<0，b>0.直線y＝－x－，k＝－>0，－>0，直線不經(jīng)過第四象限，故選D. 2．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：選B.設(shè)P(x，y)，由題意知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圓的面積為4π，故選B. 二、填空題 3．圓心在原點且圓周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分的圓的方程為________． 解析：如圖，因為圓周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分，所以∠AOB＝120°.而圓心到直線3x＋4y＋15＝0的距離d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圓的方程為x2＋y2＝36. 答案：x2＋y2＝36 4．已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則x2＋y2的最大值為________． 解析：x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．又圓心到原點的距離為2，圓的半徑為， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4. 答案：7＋4 三、解答題 5．設(shè)圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1.在滿足條件①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y＝0的距離最小的圓的方程． 解：設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r， 則點P到x軸y軸的距離分別為|b|、|a|. 由題設(shè)條件知圓P截x軸所得的劣弧所對的圓心角為90°，圓P截x軸所得的弦長為r，故r2＝2b2. 又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2＝a2＋1， 從而得2b2＝a2＋1. 點P到直線x－2y＝0的距離為d＝， ∴5d2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4ab ＝2a2＋2b2－4ab＋1＝2(a－b)2＋1≥1， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，此時，5d2＝1, d取得最小值． 由a＝b及2b2＝a2＋1得或，進(jìn)而得r2＝2. 所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2. 6．某景區(qū)內(nèi)有A、B兩個景點在一條小路(直道)的同側(cè)，分別距小路 km和2 km，且A、B兩景點間的距離為2 km，今欲在小路上設(shè)一觀景臺，使兩景點同時進(jìn)入視線并有最佳觀賞和拍攝效果，則觀景臺應(yīng)設(shè)在何處？ 解：以小路為x軸，過B垂直于小路的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依據(jù)題意，觀景臺應(yīng)是AB的垂直平分線與x軸的交點，設(shè)為M(a,0)，則A(－，)，B(0,2)． 依據(jù)題意|MA|＝|MB|， ∴＝， ∴a＝. 因此，觀景臺應(yīng)在景點B在小路投影右側(cè) km處．