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1、課時提升作業(yè)(六) 第二章 第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性
一、選擇題
1.(2013·九江模擬)在下列函數(shù)中,圖像關(guān)于原點對稱的是( )
(A)y=xsinx (B)y=
(C)y=xlnx (D)y=x3+sinx
2.(2013·西安模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若對任意給定的不等實數(shù)x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,則不等式f(1-x)<0的解集為
( )
(A)(1,+∞) (B)(0,+∞)
(C)(-∞,0) (D)(-∞,1)
3.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)
2、,則下列結(jié)論恒成立的是
( )
(A)f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)
(B)f(x)-|g(x)|是奇函數(shù)
(C)|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)
(D)|f(x)|-g(x)是奇函數(shù)
4.已知f(x)是周期為2的奇函數(shù),當0
3、·吉安模擬)已知函數(shù)f(x)=,則該函數(shù)是( )
(A)偶函數(shù),且單調(diào)遞增 (B)偶函數(shù),且單調(diào)遞減
(C)奇函數(shù),且單調(diào)遞增 (D)奇函數(shù),且單調(diào)遞減
7.若偶函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是遞減的,則不等式f(-1)0
(C)是遞減
4、的,且f(x)<0
(D)是遞減的,且f(x)>0
9.(2013·咸陽模擬)函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),滿足f(3+x)=f(3-x),當x∈(0,3)時,f(x)=2x,則當x∈(-6,-3)時,f(x)等于( )
(A)2x+6 (B)-2x-6 (C)2x-6 (D)-2x+6
10.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且f(x)在(0,+∞)上是增加的或減少的,則滿足f(x)=f()的所有x之和為( )
(A)-3 (B)3 (C)-8 (D)8
二、填空題
11.函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a= .
12.函
5、數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)=,若f(1)=-5,則f(f(5))
= .
13.(2012·上海高考)已知y=f(x)是奇函數(shù),若g(x)=f(x)+2,且g(1)=1,則g(-1)= .
14.(能力挑戰(zhàn)題)函數(shù)y=f(x)(x∈R)有下列命題:
①在同一坐標系中,y=f(x+1)與y=f(-x+1)的圖像關(guān)于直線x=1對稱;
②若f(2-x)=f(x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱;
③若f(x-1)=f(x+1),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且2是一個周期;
④若f(2-x)=-f(x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于(1,0)對
6、稱,其中正確命題的序號是 .
三、解答題
15.已知函數(shù)f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.
(1)求實數(shù)a的取值范圍.
(2)設(shè)g(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當x<0時,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
答案解析
1.【解析】選D.對于A,B,函數(shù)是偶函數(shù),
對于C,函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),
對于D,函數(shù)是奇函數(shù),因而圖像關(guān)于原點對稱.
2.【解析】選D.由題意知,函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)且f(0)=0,從而f(1-x)<0可轉(zhuǎn)化為1-x>0,
∴x<1.
3.【解析】選A.∵g(x)是R上的奇函數(shù),∴|g(
7、x)|是R上的偶函數(shù),從而f(x)+|g(x)|是偶函數(shù).
4.【解析】選A.a=f()=f(-)=-f()=-lg=lg,
b=f()=f(-)=-f()=-lg=lg2,
c=f()=f()=lg,
∵2>>,∴l(xiāng)g2>lg>lg,
∴b>a>c.
5.【解析】選A.因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以當x≥0時,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故選A.
6.【解析】選C.當x>0時,-x<0,則f(-x)=2-x-1=-(1-2-x)=-f(x);當x<0時,-x>0,
8、則f(-x)=1-2x=-(2x-1)=-f(x);當x=0時,f(x)=0.綜上知f(-x)=-f(x),函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且f(x)是增函數(shù),故選C.
7.【解析】選D.由題意知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增加的,且f(-1)=f(1).由f(-1)1,∴010.
8.【思路點撥】根據(jù)f(x)是周期為2的偶函數(shù),把x∈(1,2)轉(zhuǎn)化到2-x∈(0,1)上,再利用f(2-x)=f(x)求解.
【解析】選D.由題意得當x∈(1,2)時,0<2-x<1,0
9、o(x-1)>lo1=0,則可知當f(x)在(1,2)上是遞減的.
9.【解析】選D.由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)知
f(3+x)=-f(x-3),
∴f(x+6)=-f(x).
設(shè)x∈(-6,-3),則x+6∈(0,3),
∴f(x+6)=-f(x)=2x+6,
∴f(x)=-2x+6.
10.【解析】選C.因為f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),f(x)在(0,+∞)上是增加的或減少的,由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若f(x)=f(),只有兩種情況:①x=;②x+=0,
由①知x2+3x-3=0,故兩根之和為x1+x2=-3,
由②知x2+5x+3=0,故其兩根之和為x3+x4=-5.
因此滿足條件
10、的所有x之和為-8.
11.【解析】由題意知,g(x)=(x+1)(x+a)為偶函數(shù),
∴a=-1.
答案:-1
12.【解析】∵f(x+2)=,
∴f(x+4)==f(x),
∴f(5)=f(1)=-5,
∴f(f(5))=f(-5)=f(3)==-.
答案:-
13.【思路點撥】先根據(jù)g(1)求f(1),從而f(-1)可求,再求g(-1).
【解析】由g(x)=f(x)+2,且g(1)=1,
得f(1)=g(1)-2=-1.
∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-1)=-f(1)=1,
∴g(-1)=f(-1)+2=1+2=3.
答案:3
14.【解析】對于①,y=f(
11、x+1)的圖像由y=f(x)的圖像向左平移1個單位得到,y=f(-x+1)的圖像,由y=f(-x)的圖像向右平移1個單位得到,而y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于y軸對稱,從而y=f(x+1)與y=f(-x+1)的圖像關(guān)于直線x=0對稱,故①錯;
對于②,由f(2-x)=f(x)將x換為x+1可得f(1-x)=f(1+x),從而②正確;
對于③,由f(x-1)=f(x+1)將x換為x+1可得,f(x+2)=f(x),從而③正確.
對于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),從而④正確.
答案:②③④
【誤區(qū)警示】解答本題時,易誤以為①正確,出錯的原因是混淆了
12、兩個函數(shù)y=f(x+1)與y=f(-x+1)的圖像關(guān)系與一個函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(-x+1)時圖像的對稱關(guān)系.
【變式備選】設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),且f(x+2)=-f(x),下面關(guān)于f(x)的判定:其中正確命題的序號為 .
①f(4)=0;
②f(x)是以4為周期的函數(shù);
③f(x)的圖像關(guān)于x=1對稱;
④f(x)的圖像關(guān)于x=2對稱.
【解析】∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4),
即f(x)的周期為4,②正確.
∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)為奇函數(shù)),即①正確.
又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),
∴f(x)的圖像關(guān)于x=1對稱,∴③正確,
又∵f(1)=-f(3),當f(1)≠0時,顯然f(x)的圖像不關(guān)于x=2對稱,∴④錯誤.
答案:①②③
15.【解析】(1)f(x)=
要使函數(shù)f(x)有最小值,需∴-2≤a≤2,
即當a∈[-2,2]時,f(x)有最小值.
(2)∵g(x)為定義在R上的奇函數(shù),∴g(0)=0,
設(shè)x>0,則-x<0,
∴g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,
∴g(x)=
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