2012-2013高中數(shù)學(xué)《第二講 參數(shù)方程》真題考點 新人教A版選修4-4

第二講 參數(shù)方程 本章歸納整合 高考真題 1．(2011·江西高考)若曲線的極坐標方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為________． [命題意圖]本小題主要考查了極坐標系、極坐標方程與直角坐標方程的互化． 解析　由得，cos θ＝，sin θ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝＋?ρ2＝2y＋4x?x2＋y2－4x－2y＝0. 答案　x2＋y2－4x－2y＝0 2．(2011·廣東高考)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R)，它們的交點坐標為________． [命題意圖]本題考查參數(shù)方程問題，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．將參數(shù)方程 轉(zhuǎn)化為直角坐標方程的關(guān)鍵在于消去參數(shù)，但也要注意所給參數(shù)的取值范圍． 解析　由(0≤θ<π)，得＋y2＝1(y≥0， x≠－)，由(t∈R)，得x＝y(tǒng)2，聯(lián)立方程可得則5y4 ＋16y2－16＝0，解得y2＝或y2＝－4(舍去)，則x＝y(tǒng)2＝1，又y≥0，所以 其交點坐標為. 答案　 3．(2011·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點，且與直線 (t為參數(shù))平行的直線的普通方程為________． [命題意圖]本小題主要考查橢圓及直線的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)化問 題的能力． 解析　由題設(shè)知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，從而c＝＝ 4，所以右焦點為(4，0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝ 0.故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，即x－2y－4＝0. 答案　x－2y－4＝0 4．(2011·湖南高考)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，則C1與C2的交點個數(shù)為________． [命題意圖]本題考查圓的參數(shù)方程、直線的極坐標方程，直線與圓的位置關(guān) 系等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，考查等價轉(zhuǎn)化的思想方法，考查方程思想． 解析　曲線C1的普通方程是x2＋(y－1)2＝1，曲線C2的直角坐標方程是x－y ＋1＝0，由于直線x－y＋1＝0經(jīng)過圓x2＋(y－1)2＝1的圓心，故兩曲線的交 點個數(shù)是2. 答案　2 5．(2011·陜西)直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． [命題意圖]本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程，普通方程與參數(shù)方程 互化的相關(guān)知識． 解析　消掉參數(shù)θ，得到C1的普通方程(x－3)2＋(y－4)2＝1，表示以(3，4)為 圓心，以1為半徑的圓；C2的直角坐標方程為x2＋y2＝1表示的是單位圓，|AB| 的最小值為－1－1＝3. 答案　3 6．(2011·福建高考)在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極 點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為，判斷點P與直線l 的位置關(guān)系； (2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值． [命題意圖]本小題主要考查極坐標與直角坐標的互化、橢圓的參數(shù)方程等基 礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想． 解　(1)把極坐標系下的點P化為直角坐標，得P(0，4)． 因為點P的直角坐標(0，4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點P在直線l 上． (2)因為點Q在曲線C上，故可設(shè)點Q的坐標為(cos α，sin α)，從而點 Q到直線l的距離為 d＝＝ ＝cos＋2. 由此得，當cos＝－1時，d取得最小值，且最小值為. 7．(2011·遼寧)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為(a>b>0，φ為參數(shù))．在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ＝α與C1，C2各有一個交點．當α＝0時，這兩個交點間的距離為2，當α＝時，這兩個交點重合． [命題意圖]本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程的互化問題，極坐標方程與 極坐標方程的互化． (1)分別說明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值； (2)設(shè)當α＝－時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1，當α＝－時，l與 C1，C2的交點分別為A2B2，求四邊形A1A2B2B1的面積． 解　(1)C1是圓，C2是橢圓．當α＝0時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分 別為(1，0)，(a，0)，因為這兩點間的距離為2，所以a＝3. 當α＝時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分別為(0，1)，(0，b)，因為這 兩點重合，所以b＝1. (2)C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和＋y2＝1. 當α＝時，射線l與C1交點A1的橫坐標為x＝，與C2交點B1的橫坐標 為x′＝. 當α＝－時，射線l與C1，C2的兩個交點A2，B2分別與A1，B1關(guān)于x軸對 稱，因此四邊形A1A2B2B1為梯形，故四邊形A1A2B2B1的面積為 ＝.