2012年高考數學 考點24 等比數列及其前n項和

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1、考點24 等比數列及其前n項和 一、選擇題 1.（2012·新課標全國高考理科·T5）已知為等比數列，，，則（ ） A. 7 B. 5 C. -5 D. -7 【解題指南】利用等比數列的性質將替換為，然后聯(lián)立方程組求得的值，最后將及公比的值整體代入求出其值. 【解析】選D 。為等比數列，，聯(lián)立可解得或，或，故. 2.（2012·安徽高考理科·Ｔ4）公比為2的等比數列的各項都是正數，且，則（ ） 【解題指南】由等比數列的性質得到

2、，再結合等比數列中任意兩項的關系即可解得. 【解析】選.. 3.（2012·安徽高考文科·Ｔ5）公比為2的等比數列{} 的各項都是正數，且 =16，則=（ ） （A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8 【解題指南】由等比數列的性質得到，再結合等比數列中任意兩項的關系即可解得. 【解析】選.. 4.（2012·北京高考文科·Ｔ6）已知{}為等比數列，下面結論中正確的是（ ） （A）a1+a3≥2a2 （B） （C）若a1=a3，則a1=a2 （D）若a3＞a1，則a4＞a2

3、 【解題指南】利用等比數列的基本量，均值不等式進行計算. 【解析】選B. 選項 具體分析 結論 A 不一定都是正數，所以不能使用均值不等式 不正確 B 因為，所以由均值不等式可得 正確 C 由可得。當時，；當時，。 不正確 D 因為，所以當時，；當時，。 不正確 5.（2012·湖北高考理科·Ｔ7）與（2012·湖北高考理科·Ｔ7）相同 定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），如果對于任意給定的等比數列{an}，{f（an）}仍是等比數列，則稱f（x）為“保等比數列函數”。現有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數： ①f（x）=x2；②f

4、（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。 則其中是“保等比數列函數”的f（x）的序號為（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【解題指南】本題考查等比數列的性質,解答本題的關鍵是利用等比數列的定義解答. 【解析】選C. ,則對于A: ,可知A符合題意;對于B結果不能保證是定值;對于C,可知也符合題意.此時可知結果. 二、填空題 6.（2012·廣東高考文科·Ｔ12）若等比數列{an}滿足則 . 【解題指南】本題考查了等比數列的性質：已知若則. 【解析】，. 【答案】. 7. （2012·浙江高考理科·

5、Ｔ13）設公比為q（q＞0）的等比數列{an}的前n項和為Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=______________. 【解題指南】兩式作差可由前n項和間的關系得出項與項之間的關系，從而用等比數列的通項公式求出公比. 【解析】由S2=3a2+2，S4=3a4+2相減可得 ，同除以可得 ，解得 因為q＞0，所以． 【答案】. 8.（2012·遼寧高考文科·Ｔ14）已知等比數列｛｝為遞增數列.若,且 ,則數列｛｝的公比q = _____________________. 【解題指南】利用等比數列的通項公式，將已知條件用首項和公比表示，解方程即可. 【解析】由

6、于為等比數列，設其公比， 由得，解得或；由于等比數列為遞增數列且，所以. 【答案】2. 9.（2012·遼寧高考理科·Ｔ14）已知等比數列｛｝為遞增數列，且，則數列｛｝的通項公式=______________. 【解題指南】利用等比數列的通項公式，將已知條件用首項和公比表示，解方程即可 【解析】由于為等比數列，設其公比， 由得，解得或。 又由，則 由于等比數列為遞增數列且，所以，且 故. 【答案】. 10.（2012·新課標全國高考文科·Ｔ14）等比數列{}的前n項和為，若+3=0，則公比q=_______ 【解題指南】 將所給等式轉化為關于的方程，消去，解關于的方程，

7、求出q. 【解析】由可得，即 化簡整理得，解得. 【答案】-2. 11.（2012·江西高考文科·Ｔ13）等比數列{}的前n項和為，公比不為1.若=1，且對任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，則S5=______________. 【解題指南】通過求導得切線斜率，一點一斜率可確定切線方程，最后將方程化為一般式. 【解析】設公比為，則an＋2＋an＋1-2an＝，即，解得（舍去），所以. 【答案】11. 二、解答題 12.（2012·陜西高考文科·Ｔ16）已知等比數列的公比為. （Ⅰ）若，求數列的前n項和； （Ⅱ）證明：對任意，，，成等差數列. 【解題指南】（1）求

8、出等比數列的首項是關鍵；（2）用首項和公比表示，再根據等差數列的定義證明. 【解析】（Ⅰ）∵， ∴，解得， 所以數列的前n項和. （Ⅱ）證明：對任意，， ∴（方法一）， ∵，∴，即， ∴， 所以對任意，，，成等差數列. （方法二），， ∵，∴， ，∴， 所以對任意，，，成等差數列. 13.（2012·陜西高考理科·Ｔ17）（本小題滿分12分） 設的公比不為1的等比數列，其前項和為，且成等差數列. （Ⅰ）求數列的公比； （Ⅱ）證明：對任意，成等差數列. 【解題指南】（1）由已知等比數列中的三項成等差數列，可以列出關于和的方程，消去，再解方程可得；（2）列出后，根據等差數列的定義進行判斷即可. 【解析】（Ⅰ）設數列的公比為（）， 由成等差數列，得，即， 由得，解得，（舍去）， 所以. （Ⅱ）（證法一） 對任意， ， 所以對任意，成等差數列 （證法二）對任意，， ， ∴ ， 因此，對任意，成等差數列.