2022高考數(shù)學一輪復習課時規(guī)范練54幾何概型文含解析北師大版

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1、課時規(guī)范練54　幾何概型 基礎鞏固組 1.(2020廣東佛山綜合能力測試)窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一,它歷史悠久,風格獨特,深受人們喜愛.下圖即是一副窗花,是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點,則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是(　　) A.37 B.47 C.57 D.67 2.(2020四川達州高三診斷)已知α∈[0,π],則滿足sin α

2、 3.(2020寧夏吳忠中學高三月考)在正方體內(nèi)隨機放入n個點,恰有m個點落入正方體的內(nèi)切球內(nèi),則π的近似值為(　　) A.2mn B.m2n C.6mn D.m6n 4.《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖,若從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為(　　) A.1213 B.1314 C.2129 D.1415 5.(2020河南平頂

3、山高三線上聯(lián)考)《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著,書中把三角形的田稱為“圭田”,把直角梯形的田稱為“邪田”,稱底是“廣”,高是“正從”,“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田,廣分別為八步和十二步,正從為八步,其內(nèi)部有塊廣為八步,正從為五步的圭田,若將100棵果樹均勻地種植在邪田,一年后,每棵果樹都有60 kg果子收成,則此圭田中的收成約為(　　) A.25 kg B.50 kg C.1 500 kg D.2 000 kg 6.(2018全國1,理10)下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△AB

4、C的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則(　　) A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 7.已知圓柱OO'的底面半徑為1,高為6,若區(qū)域M表示圓柱OO'及其內(nèi)部,區(qū)域N表示圓柱OO'內(nèi)到下底面的距離大于1的點組成的集合,若向區(qū)域M中隨機投一點,則所投的點落入?yún)^(qū)域N中的概率為(　　) A.13 B.23 C.56 D.16 8.在區(qū)間[-π,π]上隨機取兩個實數(shù)a,b,記向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),則OA·OB≥4π2的概率為(

5、　　) A.1-π8 B.1-π4 C.1-π2 D.1-3π4 9.(2020陜西漢中高三檢測)設D是半徑為R的圓周上一定點,在圓周上隨機取一點C,連接CD得一弦,若A表示事件“所得弦的長大于圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”,則事件A發(fā)生的概率P(A)=　　　　　.? 10.割補法在我國古代數(shù)學著作中稱為“出入相補”,劉徽稱之為“以盈補虛”,即以多余補不足,是數(shù)量的平均思想在幾何上的體現(xiàn).下圖揭示了劉徽推導三角形面積公式的方法,在△ABC內(nèi)任取一點,則該點落在標記“盈”的區(qū)域的概率為　　　　　.? 綜合提升組 11.已知圓C:x2+y2=4,直線l:y=x+b.當實數(shù)b∈[0,6]時

6、,圓C上恰有2個點到直線l的距離為1的概率為(　　) A.23 B.22 C.12 D.13 12.(2020河北衡水高三質(zhì)檢)圓周率是圓的周長與直徑的比值,一般用希臘字母π表示.我們也可以通過如下隨機模擬試驗來估計π的值:在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機取2m個數(shù),構成m個數(shù)對(x,y),設x,y能與1構成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y)有n對,則通過隨機模擬的方法得到的π的近似值為(　　) A.m+2nm B.m+2nn C.2m+4nm D.m+2n2n 13.已知O,A,B三地在同一水平面內(nèi),A地在O地正東方向2 km處,B地在O地正北方向2 km處,某測繪隊員在A,B之間的直線公路上

7、任選一點C作為測繪點,用測繪儀進行測繪,O地為一磁場,距離其不超過3 km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾,使測量結果不準確,則該測繪隊員能夠得到準確數(shù)據(jù)的概率是(　　) A.1-22 B.22 C.1-32 D.12 14.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則在該幾何體內(nèi)隨機取一點,則此點到線段AB的中點的距離不大于1的概率是　　　　　.? 15.記[m]表示不超過m的最大整數(shù).若在x∈18,12上隨機取1個實數(shù),則使得[log2x]為偶數(shù)的概率為　　　　　.? 創(chuàng)新應用組 16.(2020山西實驗中學高三月考)我們可以用隨機數(shù)法估計π的值,下面算法框圖表示其基本步驟(函數(shù)R

8、AND是產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù),它能隨機產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的任何一個實數(shù)).若輸出的結果為521,則由此可估計π的近似值為(　　) A.3.119 B.3.126 C.3.132 D.3.151 17.已知實數(shù)a,b滿足0

9、-0π-0=14. 3.C　設正方體的邊長為2,則其內(nèi)切球的半徑為1,正方體與其內(nèi)切球的體積分別為8,4π3,恰有m個點落入正方體的內(nèi)切球的概率為mn,根據(jù)幾何概型體積型概率得mn=4π3×8,∴π=6mn. 4.C　由題意知BC=2,B'C=5,設AC=x,則AB=AB'=x+2,在Rt△ACB'中,列勾股方程得52+x2=(x+2)2,解得x=214,所以從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為P=xx+2=214214+2=2129,故選C. 5.C　12×8×512×(8+12)×8=x100×60,解得x=1500. 6.A　設AB=b,AC=a,BC=c,則a2+b2=c

10、2.所以以BC為直徑的圓面積為πc22,以AB為直徑的圓面積為πb22,以AC為直徑的圓面積為πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24-12×πc24-12ab=12×π(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,SⅢ=12×πc24-12ab,所以SⅠ=SⅡ,由幾何概型,知p1=p2.故選A. 7.C　由題意,易知圓柱OO'的體積為V=π×12×6=6π.因為區(qū)域N表示圓柱OO'內(nèi)到下底面的距離大于1的點組成的集合,所以區(qū)域N表示圓柱OO'內(nèi)的一個小圓柱(與圓柱OO'共上底面),且小圓柱的體積為V1=π×12×(6-1)=5π.根據(jù)幾何概型,得所投入的點落在區(qū)域N

11、中的概率為P=V1V=5π6π=56,故選C. 8.B　在區(qū)間[-π,π]上隨機取兩個實數(shù)a,b,則點(a,b)在以2π為邊長的正方形內(nèi),因為OA=(a,4b),OB=(4a,b),則OA·OB=4a2+4b2.因為OA·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,點(a,b)在以原點為圓心,以π為半徑的圓外,且在以2π為邊長的正方形內(nèi),所以OA·OB≥4π2的概率為P=4π2-π34π2=1-π4,故選B. 9.13　 如圖,△DPQ為圓內(nèi)接正三角形,當點C位于劣弧PQ上時,弦DC>PD, 所以由幾何概型的概率得P(A)=13. 10.14　由題得S△ABC=12ah,S矩形=a2h,

12、 ∴S△ABC=S矩形.所以“盈”的區(qū)域的面積等于“虛”的區(qū)域的面積.而“虛”的區(qū)域占矩形區(qū)域的面積的四分之一,所以該點落在標記“盈”的區(qū)域的面積為三角形面積的四分之一,故該點落在標記“盈”的區(qū)域的概率為14. 11.A　圓 C的圓心坐標為O(0,0),半徑為2,直線l為:x-y+b=0.當b2=3,即b=32時,圓上恰有一個點到直線l距離為1,當b2=1,即b=2時,圓上恰有3個點到直線l距離為1.所以當b∈(2,32)時,圓上恰有2個點到直線l的距離為1,故概率為32-26=23.故選A. 12.C　依題有0

13、.因為x,y能與1構成鈍角三角形,由余弦定理及三角形知識得x2+y2<1,x+y>1,構成如圖陰影部分, 其面積為π4-12,由幾何概型概率計算公式得nm=π4-121,解得π=2m+4nm. 13.A　 由題意,△AOB是直角三角形,OA=OB=2,所以AB=22,O地為一磁場,距離其不超過3km的范圍為1個圓,與AB相交于C,D兩點,作OE⊥AB,交AB于點E,則OE=2,所以CD=2,所以該測繪隊員能夠得到準確數(shù)據(jù)的概率是1-CDAB=1-222=1-22.故選A. 14.13　根據(jù)幾何體的三視圖可知,該幾何體是底面半徑為1,高為2的圓柱,其體積為2π,線段AB是底面的直

14、徑,線段AB的中點是底面圓的圓心,幾何體內(nèi)到線段AB的中點的距離不大于1的點構成了以底面圓心為球心,半徑為1的半球,其體積為12×43πr3×13=23π,所以所求的概率是23π2π=13. 15.23　若x∈18,12, 則log2x∈(-3,-1). 要使得[log2x]為偶數(shù), 則log2x∈[-2,-1). 所以x∈14,12, 故所求概率P=12-1412-18=23. 16.B　模擬執(zhí)行該算法框圖,可知該框圖是計算滿足x,y,z∈(0,1)的1000組(x,y,z)數(shù)據(jù)中,滿足x,y,z∈(0,1)且x2+y2+z2<1的組數(shù),根據(jù)幾何概型概率公式可得x,y,z∈(0

15、,1)且x2+y2+z2<1發(fā)生的概率為43π×13×18=π6,當輸出結果為521時,i=1001,m=521,x2+y2+z2<1發(fā)生的概率為P=5211000,∴5211000=π6,即π=3.126,由此可估計π的近似值為3.126,故選B. 17.516　對y=13ax3+ax2+b求導可得y'=ax2+2ax,00,b<0, 即4a+3b>0,b<0. 畫出可行域如圖,滿足函數(shù)y=13ax3+ax2+b有三個零點,如圖深色區(qū)域,實數(shù)a,b滿足0