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人教版九下數(shù)學(xué) 第二十七章 圖形研究專題 圖形研究9 拋物線中的相似問題 相似構(gòu)造——中考熱點(diǎn)
1. 已知拋物線 y=-14x2+x-1 的頂點(diǎn)為 A,與 y 軸的交點(diǎn)為 B,C 為拋物線上一點(diǎn),且 ∠CAB=90°,求點(diǎn) C 的坐標(biāo).
2. 如圖,拋物線 y=-x2+2x+3 與 x 軸交于 A,B 兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,D 為拋物線的頂點(diǎn).
(1) 求 ∠BCD 的度數(shù);
(2) 點(diǎn) P 為拋物線上一點(diǎn),且 △PAC 是直角三角形,求點(diǎn) P 的坐標(biāo).
3. 如圖,拋物線 y=x2-2x-3 與 x 軸交于 A,B 兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,
2、點(diǎn) G 在第一象限的在拋物線上,且 ∠BCG=∠ACO,求點(diǎn) G 的坐標(biāo).
4. 如圖,拋物線 y=12x2-32x-2 與 x 軸交于 A,B 兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) D 為第四象限拋物線上一點(diǎn),連接 AD,BC 交于點(diǎn) E,連接 BD,記 △BDE 的面積為 S1,△ABE 的面積為 S2,當(dāng) S1S2 的值最大時(shí),求點(diǎn) D 的坐標(biāo).
5. 如圖,拋物線 y=x2-3x+2 與坐標(biāo)軸交于 A,B,C 三點(diǎn),點(diǎn) P 為拋物線上一點(diǎn),PM⊥BC 于點(diǎn) M,且 PMCM=12,求點(diǎn) P 的坐標(biāo).
6. 如圖,已知拋物線 y=14x-m2 交 x 軸,y 軸的
3、正半軸于 A,B 兩點(diǎn),且 OA=2OB.
(1) 求拋物線的解析式;
(2) 平移直線 AB 交第二象限的拋物線于點(diǎn) M,交 x 軸于點(diǎn) N,且 MN=4AB,求 △MNO 的面積.
答案
1. 【答案】易知 A2,0,B0,-1,
∴OA=2,OB=1,
過點(diǎn) C 作 CD⊥x 軸于點(diǎn) D,則可得 △AOB~△CDA,
∴OBAD=OACD,
∴OB?CD=OA?AD,
設(shè)點(diǎn) Ct,-14t2+t-1,則 CD=14t2-t+1,AD=t-2,
∴1?-14t2+t-1=2?t-2,解得 t1=10,t2=2(舍去),
∴C10,-16.
2
4、. 【答案】
(1) 過點(diǎn) D 作 DE⊥y 軸于點(diǎn) E,易求 A-1,0,B3,0,C0,3,D1.4,
∵OC=OB,
∴∠OCB=45°,
證 DE=CE=1,
∴∠DCE=45°,
∴∠BCD=90°.
(2) 分 3 種情況:
①當(dāng) ∠PAC=90° 時(shí),過點(diǎn) A 作 AP⊥AC 交拋物線于點(diǎn) P,交 y 軸于點(diǎn) F,
∵OA2=OC?OF,
∴F0,-13,
∴ 直線 AF:y=-13x-13,
聯(lián)立 y=-13x-13,y=-x2+2x+3, 得 P103,-139.
②當(dāng) ∠PCA=90° 時(shí),過點(diǎn) C 作 CP⊥AC 交拋物線于點(diǎn)
5、 P,交 x 軸于點(diǎn) G,
∵OC2=OA?OG,
∴G9,0,
∴ 直線 CG:y=-13x+3,
聯(lián)立 y=-13x+3,y=-x2+2x+3, 得 P73,209.
③當(dāng) ∠APC=90° 時(shí),不符題意,舍去.
綜上,P103,-139或73,209.
3. 【答案】設(shè) CG 交 x 軸于點(diǎn) M,
由 ∠BCG=∠ACO 得 ∠ACM=∠OCB=45°=∠ABC,
△ACM∽△ABC,
∴AMAC=ACAB,即 AM=AC2AB,
∵OA=1,OB=OC=3,AC2=10,AB=4,AM=52,M32,0,可求直線 CM:y=2x-3,
聯(lián)立 y
6、=2x-3,y=x2-2x-3 得 2x-3=x2-2x-3,
x1=0(舍去),x2=4,
∴G4,5.
4. 【答案】過點(diǎn) D 作 DG⊥x 軸于點(diǎn) G,交 BC 于點(diǎn) F,
過點(diǎn) A 作 AK⊥x 軸交 BC 的延長線于點(diǎn) K,
∴AK∥DG,
∴△AKE∽△DFE,
∴DFAK=DEAE,
∴S1S2=DEAE=DFAK,
易知 A-1,0,B4,0,C0,-2,
可得 BC:y=12x-2,
當(dāng) x=-1,y=-52,
∴AK=52,
設(shè) Dm,12m2-32m-2,則 Fm,12m-2,
∴DF=12m-2-12m2+32m+2=-
7、12m2+2m.
∴S1S2=-12m2+2m52=-15m-22+45.
∴ 當(dāng) m=2 時(shí),S1S2 的值最大,此時(shí),D2,-3.
5. 【答案】易求 A1,0,B2,0,C0,2,連接 AC,延長 CP 交 x 軸于點(diǎn) N,
證 △AOC∽△PMC,
∴∠ACO=∠PCM,
∵∠OCB=45°,
∴∠ACP=45°,
∴△ABC∽△ACN,
∴AC2=AB?AN,
∴AN=5,
∴N6,0,
∴CN:y=-13x+2,
聯(lián)立 y=-13x+2,y=x2-3x+2, 得 P83,109.
6. 【答案】
(1) 依題意 Am,0,B0,12m,
將 B 代入解析式中得 12m=14m2,
所以 m1=0(舍),m2=2,
所以 y=14x-22.
(2) 過點(diǎn) M 作 MH⊥x 軸于點(diǎn) H,則 △MNH∽△BAO,
所以 MHBO=NHAO=MNAB=4,
所以 MH=4,NH=8,
當(dāng) y=4 時(shí),14x-22=4,
所以 xM=-2 或 xM=6(舍去),
所以 ON=8-2=6,
所以 S△MON=12×6×4=12.