人教版九下數(shù)學 中考專題復習 專題6 開放探究型問題

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1、 人教版九下數(shù)學 中考專題復習 專題6 開放探究型問題 1. 如圖，已知 AD 是 △ABC 的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使 △AED≌△AFD，需添加一個條件是： ． 2. 小敏思考解決如下問題： 原題：如圖（1）所示，點 P，Q 分別在菱形 ABCD 的邊 BC，CD 上，∠PAQ=∠B，求證 AP=AQ． (1) 小敏進行探索，若將點 P，Q 的位置特殊化，把 ∠PAQ 繞點 A 旋轉(zhuǎn)得到 ∠EAF，使 AE⊥BC，點 E，F(xiàn) 分別在邊 BC，CD 上，如圖（2）所示．此時她證明了 AE=AF，請你證明此結(jié)論． (2) 受（1）

2、的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線：如圖（3）所示，作 AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為 E，F(xiàn)，請你繼續(xù)完成原題的證明． (3) 如果在原題中添加條件：AB=4，∠B=60°，如圖（1）所示，請你編制一個計算題（不標注新的字母），并直接給出答案． 3. 古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為：一切平面圖形中最美的是圓.請研究如下美麗的圓．如圖 1 所示，線段 AB 是 ⊙O 的直徑，延長 AB 至點 C，使 BC=OB，點 E 是線段 OB 的中點，DE⊥AB 交 ⊙O 于點 D．點 P 是 ⊙O 上一動點（不與點 A，B 重合），連接 CD，PE，PC． (1) 求證 CD 是 ⊙O

3、 的切線； (2) 小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn) PEPC 是一個確定的值．求這個確定的值是多少，并對小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明． 4. 如圖 1 所示，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過點 A-1,0，點 C0,3，且 OB=OC． (1) 求拋物線的解析式及其對稱軸； (2) 點 D，E 是直線 x=1 上的兩個動點，且 DE=1，點 D 在點 E 的上方，求四邊形 ACDE 的周長的最小值； (3) 如圖 2 所示，點 P 為拋物線上一點，連接 CP，直線 CP 把四邊形 CBPA 的面積分為 3:5 兩部分，求點 P 的坐標． 5. 【例 7 】如圖，在 Rt

4、△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4．點 P 是邊 AC 上一動點，過點 P 作 PQ∥AB 交 BC 于點 Q，D 為線段 PQ 的中點，當 BD 平分 ∠ABC 時，AP 的長度為 ?? A． 813 B． 1513 C． 2513 D． 3213 6. 如圖所示，已知菱形 ABCD 的邊長為 4，E，F(xiàn) 分別是 AB，AD 上的動點，且 BE=AF，∠BAD=120°，則下列結(jié)論正確的有 ?? ① △BEC≌△AFC；② △ECF 為等邊三角形；③ ∠AGE=∠AFC；④若 AF=1，則 GFEG=13． A． 1 個 B． 2 個 C． 3

5、 個 D． 4 個 7. 四邊形 ABCD 中，∠A+∠B=180°，添加一個條件： ，使四邊形 ABCD 成為平行四邊形． 8. 【測試 3 】如圖，在菱形 ABCD 中，sinB=45，點 E，F(xiàn) 分別在邊 AD，BC 上，將四邊形 AEFB 沿 EF 翻折，使 AB 的對應線段 MN 經(jīng)過頂點 C，當 MN⊥BC 時，AEAD 的值是 ． 9. 如圖，AB 是 ⊙O 的直徑，D 是 ⊙O 上一點，DE⊥AB 于點 E，且 ∠ADE=60°，C 是 ABD 上一點，連接 AC，CD． (1) 求 ∠ACD 的度數(shù)； (2) 證明：AD2=AB?

6、AE； (3) 如果 AB=8，∠ADC=45°，請你編制一個計算題（不標注新的字母），并直接給出答案． 10. 如圖所示，點 E，F(xiàn)，G，H 分別在矩形 ABCD 的邊 AB，BC，CD，DA（不包括端點）上運動，且滿足 AE=CG，AH=CF． (1) 求證 △AEH≌△CGF； (2) 試判斷四邊形 EFGH 的形狀，并說明理由； (3) 請?zhí)骄克倪呅?EFGH 的周長的一半與矩形 ABCD 一條對角線長的大小關系，并說明理由． 11. 如圖所示，已知拋物線 y=ax2+bx+5 經(jīng)過 A-5,0，B-4,-3 兩點，與 x 軸的另一個交點為 C．頂點為

7、D，連接 CD． (1) 求該拋物線的解析式． (2) 點 P 為該拋物線上一動點（與點 B，C 不重合），設點 P 的橫坐標為 t． ①當點 P 在直線 BC 的下方運動時，求 △PBC 的面積的最大值． ②該拋物線上是否存在點 P，使得 ∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點 P 的坐標；若不存在，請說明理由． 答案 1. 【答案】AE=AF 或 ∠EDA=∠FDA 【解析】①添加條件：AE=AF， 證明：在 △AED 與 △AFD 中， AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD, 所以 △AED≌△AFD SAS． ②添加條件：∠EDA=∠FDA

8、， 證明：在 △AED 與 △AFD 中， ∠EAD=∠FAD,AD=AD,∠EDA=∠FDA, 所以 △AED≌△AFD ASA． 2. 【答案】 (1) 因為四邊形 ABCD 是菱形， 所以 ∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD， 因為 ∠EAF=∠B， 所以 ∠EAF+∠C=180°， 所以 ∠AEC+∠AFC=180°， 因為 AE⊥BC， 所以 AF⊥CD， 在 △AEB 和 △AFD 中， ∠AEB=∠AFD,∠B=∠D,AB=AD, 所以 △AEB≌△AFD， 所以 AE=AF． (2) 由（1）得 ∠PAQ=∠EAF=

9、∠B，AE=AF， 所以 ∠EAP=∠FAQ， 在 △AEP 和 △AFQ 中， ∠AEP=∠AFQ=90°,AE=AF,∠EAP=∠FAQ, 所以 △AEP≌△AFQ， 所以 AP=AQ． (3) 已知 AB=4，∠B=60°，求四邊形 APCQ 的面積． 四邊形 APCQ 的面積 =43． 【解析】 (3) 如圖 3 所示，連接 AC，BD 交于點 O， 因為 ∠ABC=60°，BA=BC， 所以 △ABC 為等邊三角形． 因為 AE⊥BC， 所以 BE=EC． 同理 CF=FD． 所以四邊形 AECF 的面積 =12× 四邊形 ABCD 的面積，

10、由（2）得四邊形 APCQ 的面積 = 四邊形 AECF 的面積， 因為 OA=12AB=2，OB=32AB=23， 所以四邊形 ABCD 的面積 =12×2×23×4=83， 所以四邊形 APCQ 的面積 =43． 3. 【答案】 (1) 如圖 2 所示，連接 OD，DB， ∵ 點 E 是線段 OB 的中點，DE⊥AB 交 ⊙O 于點 D， ∴DE 垂直平分 OB， ∴DB=DO， ∵ 在 ⊙O 中，DO=OB， ∴DB=DO=OB， ∴△ODB 是等邊三角形， ∴∠BDO=∠DBO=60°， ∵BC=OB=BD，且 ∠DBE 為 △BD

11、C 的外角， ∴∠BCD=∠BDC=12∠DBO， ∵∠DBO=60°， ∴∠CDB=30°． ∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°， ∴CD 是 ⊙O 的切線． (2) 這個確定的值是 12．證明如下： 連接 OP，如圖 3 所示． 由已知可得 OP=OB=BC=2OE， ∴OEOP=OPOC=12． 又 ∵∠COP=∠POE， ∴△OEP∽△OPC， ∴PEPC=OPOC=12． 4. 【答案】 (1) ∵OB=OC， ∴ 點 B3,0， 則拋物線的解析式為 y=ax+1x-3=ax2-2x-3=ax2-2ax

12、-3a， 故 -3a=3，解得 a=-1， 故拋物線的解析式為 y=-x2+2x+3,???① 拋物線的對稱軸為 x=1． (2) 四邊形 ACDE 的周長 =AC+DE+CD+AE， 其中 AC=10，DE=1 是常數(shù)， 故 CD+AE 最小時，周長最?。? 如圖 3 所示， 取點 C 關于圖象對稱軸的對稱點 C?2,3，則 CD=C?D． 取點 A?-1,1，則 A?D=AE． 故 CD+AE=A?D+DC?， 則當 A?，D，C? 三點共線時，CD+AE=A?D+DC? 最小，周長也最?。? 四邊形 ACDE 的周長的最小值 =AC+DE+CD+AE=10+1

13、+A?D+DC?=10+1+A?C?=10+1+13. (3) 如圖 4 所示，設直線 CP 交 x 軸于點 E， 直線 CP 把四邊形 CBPA 的面積分為 3:5 兩部分， 又 ∵S△PCB:S△PCA=12EB×yC-yP:12AE×yC-yP=BE:AE， 則 BE:AE=3:5 或 5:3，則 AE=52?或?32， 即點 E 的坐標為 32,0 或 12,0． 設直線 CP 的解析式為 y=kx+3， 將點 E 的坐標代入 y=kx+3，解得 k=-6?或?-2， 故直線 CP 的解析式為 y=-2x+3 或 y=-6x+3.???② 聯(lián)立①②解得 x=4?

14、或?8（不合題意的解已舍去）， 故點 P 的坐標為 4,-5 或 8,-45． 5. 【答案】B 【解析】 ∵∠C=90°，AB=5，BC=4， ∴AC=AB2-BC2=3， ∵PQ∥AB， ∴∠ABD=∠BDQ， 又 ∠ABD=∠QBD， ∴∠QBD=∠BDQ， ∴QB=QD， ∴QP=2QB， ∵PQ∥AB， ∴△CPQ∽△CAB， ∴CPCA=CQCB=PQAB , 即 CP3=4-QB4=2QB5， 解得，CP=2413， ∴AP=CA-CP=1513， 故選：B． 6. 【答案】D 【解析】① △BEC≌△AFCSA

15、S，正確． ② ∵△BEC≌△AFC， ∴CE=CF，∠BCE=∠ACF． ∵∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°， ∴∠ACF+∠ECA=60°， ∴△CEF 是等邊三角形，故②正確． ③ ∵∠AGE=∠CAF+∠AFG=60°+∠AFG，∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG， ∴∠AGE=∠AFC，故③正確． ④過點 E 作 EM∥BC 交 AC 于點 M，如圖所示， 易證 △AEM 是等邊三角形，則 EM=AE=3． ∵AF∥EM， ∴GFEG=AFEM=13，故④正確． 7. 【答案】 AD=BC 或 AB∥CD（答案不唯一）

16、 8. 【答案】 29 【解析】延長 CM 交 AD 于點 G， ∵ 將四邊形 AEFB 沿 EF 翻折， ∴AE=ME，∠A=∠EMC，BF=FN，∠B=∠N，AB=MN， ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，∠A+∠B=180°， ∵sinB=45=sinN=CFFN， ∴ 設 CF=4x，F(xiàn)N=5x， ∴CN=FN2-CF2=3x， ∴BC=9x=AB=CD=AD， ∵sinB=45=sinD=GCCD， ∴GC=36x5， ∴GM=GC-MN-CN=36x5-6x=65x， ∵∠A+∠B=180

17、°，∠EMC+∠EMG=180°， ∴∠B=∠EMG， ∴sinB=sin∠EMG=45=EGEM， ∴cos∠EMG=35=GMEM， ∴EM=2x， ∴AE=2x， ∴AEAD=2x9x=29． 9. 【答案】 (1) 如圖，連接 OD， ∵OA=OD，∠ADE=60°，DE⊥AB， ∴∠OAD=∠ODA=30． ∴∠AOD=120°． ∴∠ACD=12∠AOD=60°． (2) 如圖，連接 BD， ∵ 在 △ADE 和 △ABD 中，∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB， ∴△ADE∽△ABD． ∴ADAB=AEA

18、D． ∴AD2=AB?AE． (3) 請計算 AC 的長度． 解：4． 【解析】 (3) 解：如圖 2，連接 OC，BC． ∵∠ADC=45°， ∴∠AOC=2∠ADC=90°． 又 ∵ 點 O 是 AB 的中點， ∴AC=BC． 又 ∵AB 是直徑， ∴∠ACB=90°． ∴AC2+BC2=AB2，即 2AC2=AB2=82． 則 AC=4． 10. 【答案】 (1) 因為四邊形 ABCD 是矩形， 所以 ∠A=∠C， 在 △AEH 與 △CGF 中， AE=CG,∠A=∠C,AH=CF, 所以 △AEH≌△CGF． (

19、2) 四邊形 EFGH 是平行四邊形． 理由如下： 由（1）知 △AEH≌△CGF，則 EH=GF． 同理證得 △EBF≌△GDH，則 EF=GH， 所以四邊形 EFGH 是平行四邊形． (3) 四邊形 EFGH 的周長的一半大于或等于矩形 ABCD 一條對角線的長度． 理由如下： 如圖所示，作 G 關于 BC 的對稱點 G?，連接 EG?， 可得 EG? 的長度就是 EF+FG 的最小值． 連接 AC， 因為 CG?=CG=AE，AB∥CG?， 所以四邊形 AEG?C 為平行四邊形， 所以 EG?=AC． 在 △EFG? 中， 因為 EF+FG?>EG?，

20、所以 EF+FG≥AC， 所以四邊形 EFGH 的周長的一半大于或等于矩形 ABCD 一條對角線的長度． 11. 【答案】 (1) 將點 A，B 的坐標代入拋物線的解析式得 25a-5b+5=0,16a-4b+5=-3, 解得 a=1,b=6. 故拋物線的解析式為 y=x2+6x+5,???① 令 y=0，則 x=-1或-5，即點 C-1,0． (2) ①如圖 1 所示，過點 P 作 y 軸的平行線交 BC 于點 G， 由點 B，C 的坐標可解得直線 BC 的解析式為 y=x+1,???② 設點 Gt,t+1，則點 Pt,t2+6t+5，S△PBC=12PG

21、?xC-xB=32t+1-t2-6t-5=-32t2-152t-6． ∵-32<0， ∴S△PBC 有最大值，當 t=-52 時，其最大值為 278． ②當點 P 在直線 BC 下方時，設直線 BP 與 CD 交于點 H，如圖 2 所示， ∵∠PBC=∠BCD， ∴ 點 H 在 BC 的中垂線上，線段 BC 的中點坐標為 -52,-32．過該點與 BC 垂直的直線的 k 值為 -1， 設 BC 中垂線的解析式為 y=-x+m，將點 -52,-32 代入上式解得 m=-4，故直線 BC 中垂線的解析式為 y=-x-4,???③ 同理直線 CD 的解析式為 y=2x+2,???④ 聯(lián)立③④解得 x=-2，即點 H-2,-2． 同理可得直線 BH 的解析式為 y=12x-1,???⑤ 聯(lián)立①⑤解得 x=-32或-4（舍去 -4），故點 P-32,-74． 當點 PP? 在直線 BC 上方時， ∵∠PBC=∠BCD， ∴BP?∥CD， 設直線 BP? 的解析式為 y=2x+s， 將點 B 的坐標代入并解得 s=5，即直線 BP? 的解析式為 y=2x+5,???⑥ 聯(lián)立①⑥解得 x=0或-4（舍去 -4）． 綜上，點 P0,5． 故點 P 的坐標為 -32,-74 或 0,5．