人教版九下數(shù)學 專題3 三角形相似中的比例式（等積式）問題的五種解題策略

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1、 人教版九下數(shù)學 專題3 三角形相似中的比例式（等積式）問題的五種解題策略 1. 如圖所示，已知 △ABC 中，CE⊥AB 于 E，BF⊥AC 于 F，求證 AEAF=ACAB． 2. 如圖所示，△ABC 中，AD 平分 ∠BAC，AD 的垂直平分線 FE 交 AB 于 F，交 BC 的延長線于 E．求證 DE2=BE?CE． 3. 如圖所示，在平行四邊形 ABCD 中，F(xiàn) 為 AD 上一點，AC 交 BF 于點 O，CD 的延長線交 BF 的延長線于點 D，求證 BOFO=EOBO． 4. 如圖所示，CD 為 Rt△ABC 的斜邊 AB 上的高，G

2、為 DC 延長線上一點，AF⊥BG，交 CD 于 E，交 BG 于 F．求證 CD2=DE?DG． 5. 如圖所示，在 △ABC 中，點 D 是 AB 的中點，過點 D 任作一條直線 DF，交 BC 的延長線于 F 點，交 AC 于 E 點，求證 AE?CF=BF?EC． 6. 如圖所示，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一點，連接 CG 并延長，交 BA 的延長線于點 F，交 AD 于點 E． (1) 求證 AG=CG； (2) 求證 AG2=GE?GF． 7. 如圖所示，CD 是 Rt△ABC 斜邊 AB 上的中線，過點 D 垂直于 AB 的直線交

3、 BC 于 E，交 AC 的延長線于 F．求證： (1) △ADF∽△EDB； (2) CD2=DE?DF． 8. 如圖所示，△ABC 內(nèi)接于 ⊙O，AC=BC，CD 是 ⊙O 的直徑，與 AB 相交于點 G，過點 D 作 EF∥AB，分別交 CA，CB 的延長線于點 E，F(xiàn)，連接 BD． (1) 求證 EF 是 ⊙O 的切線； (2) 求證 BD2=AC?BF． 9. 如圖所示，∠ABD=∠BCD=90°，DB 平分 ∠ADC，過點 B 作 BM∥CD 交 AD 于 M，連接 CM 交 DB 于 N． (1) 求證 BD2=AD?CD； (2

4、) 若 CD=6，AD=8，求 MN 的長． 10. 如圖所示，在 △ABC 中，已知 ∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，E 為直角邊 AC 的中點，過 D，E 作直線交 AB 的延長線于 F．求證 ABAC=DFAF． 11. 如圖所示，已知 △ABC 中，AD，BF 為 BC，AC 邊上的高，過 D 作 AB 的垂線交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 的延長線于 H，求證 DE2=EG?EH． 12. 如圖所示，已知 D 是 △ABC 的邊 AB 上一點，DE∥BC 交 AC 于點 E，延長 DE 至點 F，使 EF=DE，連接 BF 交 AC 于

5、點 G．求證 AEAC=EGCG． 答案 1. 【答案】 ∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴∠AEC=∠AFB=90°． ∵∠A 是公共角， ∴△ABF∽△ACE， ∴AEAF=ACAB． 2. 【答案】連接 AE，如圖所示， ∵EF 垂直平分 AD， ∴AE=DE， ∴∠1+∠2=∠4． ∵AD 平分 ∠BAC， ∴∠2=∠3． 又 ∵∠B+∠3=∠4， ∴∠B=∠1． ∵∠AEB=∠CEA， ∴△ACE∽△BAE， ∴AEBE=CEAE． ∴AE2=EB?EC，即 DE2=BE?CE． 3. 【答案】 ∵ 四邊

6、形 ABCD 是平行四邊形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴△ABO∽△CEO，△AFO∽△CBO， ∴AOCO=BOOE，OFBO=AOOC， ∴BOOE=OFOB， ∴BOFO=EOBO． 4. 【答案】 ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BCD， ∴Rt△ACD∽Rt△CBD， ∴CDBD=ADCD， ∴CD2=AD?BD． ∵AF⊥BG，GD⊥AB， ∴∠EDA=∠EFG=∠GDB=90°． 又 ∵∠GEF=∠AED， ∴∠G=∠DAE， ∴△BG

7、D∽△EAD， ∴GDAD=BDDE， ∴AD?BD=DG?DE， ∴CD2=DE?DG． 5. 【答案】過 C 作 CM∥AB，交 DF 于點 M， 如圖所示． 因為 CM∥AB， 所以 △CME∽△ADE，△FMC∽△FDB， 所以 CEAE=CMAD，CMBD=CFBF， 又因為點 D 是 AB 的中點， 所以 AD=BD， 所以 CEAE=CFBF， 所以 AE?CF=CE?BF． 6. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB， ∴∠F=∠FCD． 在 △ADG 與 △C

8、DG 中， AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴△ADG≌△CDG， ∴AG=CG． (2) 由（1）知 △ADG≌△CDG， ∴∠EAG=∠FCD， ∴∠EAG=∠F． 又 ∵∠AGE=∠FGA， ∴△AEG∽△FAG， ∴AGFG=EGAG， ∴AG2=GE?GF． 7. 【答案】 (1) 在 Rt△ABC 中，∠B+∠A=90°． ∵DF⊥AB， ∴∠BDE=∠ADF=90°， ∴∠A+∠F=90°， ∴∠B=∠F， ∴△ADF∽△EDB． (2) 由（1）知 ∠B=∠F． ∵CD 是 Rt△AB

9、C 的斜邊 AB 上的中線， ∴CD=AD=DB， ∴∠DCE=∠B， ∴∠DCE=∠F， ∴△CDE∽△FDC， ∴CDDF=DEDC， ∴CD2=DF?DE． 8. 【答案】 (1) ∵AC=BC，CD 是圓 O 的直徑， ∴∠ACD=∠BCD，CD⊥AB． ∵AB∥EF， ∴∠CDF=90°． ∵OD 是 ⊙O 的半徑， ∴EF 是 ⊙O 的切線． (2) ∵CD 是圓 O 的直徑， ∴∠CBD=90°． ∵∠BDF+∠CDB=∠CDB+∠BCD=90°， ∴∠BDF=∠BCD， ∴△BCD∽△BDF，

10、∴BDBF=BCBD， ∴BD2=BC?BF． ∵BC=AC， ∴BD2=AC?BF． 9. 【答案】 (1) ∵DB 平分 ∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB． ∵∠ABD=∠BCD=90°， ∴△ABD∽△BCD， ∴ADBD=BDCD， ∴BD2=AD?CD． (2) ∵BM∥CD， ∴∠MBD=∠BDC， ∴∠ADB=∠MBD， ∴BM=MD， 又 ∠ABD=90°， ∴BM=MD=AM=4． 由（1）知 BD2=AD?CD， 又 CD=6，AD=8， ∴BD2=48， ∴BC2=BD2-CD2=12，

11、 ∴MC2=MB2+BC2=28， ∴MC=27． ∵BM∥CD， ∴△MNB∽△CND， ∴BMCD=MNCN=23， ∴MN=457． 10. 【答案】 ∵∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴△CBA∽△ABD， ∴∠C=∠FAD，ABBD=ACAD， ∴ABAC=BDAD???①， 又 ∵E 為 AC 的中點，AD⊥BC， ∴ED=12AC=EC， ∴∠C=∠EDC． 又 ∵∠EDC=∠FDB， ∴∠FAD=∠FDB， ∴△DBF∽△ADF， ∴BDAD=DFAF???②， 由①②得 ABAC=DFAF． 11. 【答案】因為 AD⊥BC，DE⊥AB， 所以 △DBE∽△ADE， 所以 DEAE=BEDE， 所以 DE2=AE?BE． 在 Rt△EBG 和 Rt△EHA 中， 因為 ∠EBG=∠AHE， 所以 Rt△EBG∽Rt△EHA， 所以 AEEG=EHEB， 所以 EG?EH=AE?EB， 所以 DE2=EG?EH． 12. 【答案】 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG， ∴AEAC=DEBC，EFBC=EGCG． ∵EF=DE， ∴DEBC=EFBC， ∴AEAC=EGCG．