天津市佳春中學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 二次函數(shù)的應(yīng)用（幾何問題）

二次函數(shù)的應(yīng)用（幾何問題） 一、選擇題 1.（2012甘肅蘭州4分）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是【 】 A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3 【答案】 D。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 【分析】根據(jù)題意得：y＝|ax2＋bx＋c|的圖象如右圖， ∵|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴k＞3。故選D。 二、填空題 三、解答題 1. （2012天津市10分）已知拋物線y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的頂點(diǎn)為P（x0，y0），點(diǎn)A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在該拋物線上． （Ⅰ）當(dāng)a=1，b=4，c=10時(shí)，①求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；②求的值； （Ⅱ）當(dāng)y0≥0恒成立時(shí)，求的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此時(shí)拋物線的解析式為y=x2+4x+10。 ①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（－2，6）。 ②∵點(diǎn)A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在拋物線y=x2+4x+10上， ∴yA=15，yB=10，yC=7?！?。 （Ⅱ）由0＜2a＜b，得。 由題意，如圖過點(diǎn)A作AA1⊥x軸于點(diǎn)A1， 則AA1=yA，OA1=1。 連接BC，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D， 則BD=yB－yC，CD=1。 過點(diǎn)A作AF∥BC，交拋物線于點(diǎn)E（x1，yE），交x軸于點(diǎn)F（x2，0）。 則∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽R(shí)t△BCD。 ∴ ，即。 過點(diǎn)E作EG⊥AA1于點(diǎn)G，易得△AEG∽△BCD。 ∴，即。 ∵點(diǎn)A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）、E（x1，yE）在拋物線y=ax2+bx+c上， ∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c， ∴，化簡(jiǎn)，得x12＋x1－2=0， 解得x1=－2（x1=1舍去）。 ∵y0≥0恒成立，根據(jù)題意，有x2≤x1＜－1。 則1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。 ∴的最小值為3。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（Ⅰ）將a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函數(shù)解析式。 ①將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，即可得到得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)。 ②將A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）分別代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后計(jì)算的值即可。 （Ⅱ）根據(jù)0＜2a＜b，求出，作出圖中輔助線：點(diǎn)A作AA1⊥x軸于點(diǎn)A1，則AA1=yA，OA1=1．連接BC，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，則BD=yB－yC，CD=1．過點(diǎn)A作AF∥BC，交拋物線于點(diǎn)E（x1，yE），交x軸于點(diǎn)F（x2，0）。證出Rt△AFA1∽R(shí)t△BCD，得到，，再根據(jù)△AEG∽△BCD得到，然后求出yA、yB、yC、yE的表達(dá)式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1＜－1，從而利用不等式求出 的最小值。 2. （2012上海市12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段OC上，OD=t，點(diǎn)E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足為F． （1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； （2）求線段EF、OF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）； （3）當(dāng)∠ECA=∠OAC時(shí)，求t的值． 【答案】解：（1）二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（﹣1，0）， ∴，解得。 ∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=﹣2x2+6x+8。 （2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°?！唷螪EF=∠ODA。 ∴△EDF∽△DAO?！唷? ∵，∴。 ∵OD=t，∴，∴EF=。 同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。 （3）∵拋物線的解析式為：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8。 如圖，連接EC、AC，過A作EC的垂線交CE于G點(diǎn)． ∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。 在△CAG與△OCA中， ∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC， ∴△CAG≌△OCA（ASA）?！郈G=AO=4，AG=OC=8。 如圖，過E點(diǎn)作EM⊥x軸于點(diǎn)M， 則在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+， 由勾股定理得： 。 在Rt△AEG中，由勾股定理得：。 在Rt△ECF中，EF=，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+ 由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。 解得t1=10（不合題意，舍去），t2=6。 ∴t=6。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）已知點(diǎn)A、B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可。 （2）先證明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系以及三角形函數(shù)的定義求 解。 （3）通過作輔助線構(gòu)造一對(duì)全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的長(zhǎng)度；然后利用勾股定理求得AE、EG的長(zhǎng)度（用含t的代數(shù)式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到關(guān)于t的無理方程，解方程求出t的值。 3. （2012廣東廣州14分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C． （1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)； （2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）若直線l過點(diǎn)E（4，0），M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式． 【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。 ∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣4，0）、B（2，0）。 （2）由得，對(duì)稱軸為x=﹣1。 在中，令x=0，得y=3。 ∴OC=3，AB=6，。 在Rt△AOC中，。 設(shè)△ACD中AC邊上的高為h，則有AC?h=9，解得h=。 如圖1，在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是L1和L2，則直線與對(duì)稱軸x=﹣1的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D。 設(shè)L1交y軸于E，過C作CF⊥L1于F，則CF=h=， ∴。 設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b， 將A（﹣4，0），B（0，3）坐標(biāo)代入，得 ，解得。 ∴直線AC解析式為。 直線L1可以看做直線AC向下平移CE長(zhǎng)度單位（個(gè)長(zhǎng)度單位）而形成的， ∴直線L1的解析式為。 則D1的縱坐標(biāo)為?！郉1（﹣4，）。 同理，直線AC向上平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到L2，可求得D2（﹣1，）。 綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。 （3）如圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過E點(diǎn)作⊙F的切線，這樣的切線有2條． 連接FM，過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N。 ∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半徑FM=FB=3。 又FE=5，則在Rt△MEF中，- ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。 在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=3×， FN=MN?cos∠MFE=3×。 則ON=?！郙點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。 直線l過M（，），E（4，0）， 設(shè)直線l的解析式為y=k1x+b1，則有，解得。 ∴直線l的解析式為y=x+3。 同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x﹣3。 綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，直線平行和平移的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義。 【分析】（1）A、B點(diǎn)為拋物線與x軸交點(diǎn)，令y=0，解一元二次方程即可求解。 （2）根據(jù)題意求出△ACD中AC邊上的高，設(shè)為h．在坐標(biāo)平面內(nèi)，作AC的平行線，平行線之間的距離等于h．根據(jù)等底等高面積相等的原理，則平行線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的D點(diǎn)．從一次函數(shù)的觀點(diǎn)來看，這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下平移而形成．因此先求出直線AC的解析式，再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式，從而求得D點(diǎn)坐標(biāo)。這樣的平行線有兩條。 （3）本問關(guān)鍵是理解“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)”的含義．因?yàn)檫^A、B點(diǎn)作x軸的垂線，其與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)均可以與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，這樣已經(jīng)有符合題意的兩個(gè)直角三角形；第三個(gè)直角三角形從直線與圓的位置關(guān)系方面考慮，以AB為直徑作圓，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，根據(jù)圓周角定理，切點(diǎn)與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．從而問題得解。這樣的切線有兩條。 4. （2012廣東肇慶10分）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，與x軸交于A（x1，0）、 B（x2，0），x1﹤0﹤x2，與y軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，． （1）求證： ； （2）求m、n的值； （3）當(dāng)p﹥0且二次函數(shù)圖象與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值． 【答案】（1）證明：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2， ∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，即，化簡(jiǎn)得：n+4m=0。 （2）解：∵二次函數(shù)與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2， ∴OA=－x1，OB=x2；。 令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。 由三角函數(shù)定義得：。 ∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即 ，化簡(jiǎn)得：。 將 代入得：，化簡(jiǎn)得：。 由（1）知n+4m=0， ∴當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=－1時(shí)，。 ∴m、n的值為： ，n=－1（此時(shí)拋物線開口向上）或 ，n=1（此時(shí)拋物線開口向下）。 （3）解：由（2）知，當(dāng)p＞0時(shí)，n=1， ， ∴拋物線解析式為：。 聯(lián)立拋物線與直線y=x+3解析式得到：， 化簡(jiǎn)得： ＊。 ∵二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)， ∴一元二次方程＊根的判別式等于0，即△=02+16（p－3）=0，解得p=3。 ∴拋物線解析式為：。 當(dāng)x=2時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為4。 ∴當(dāng)p＞0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為4。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，二次函數(shù)的性質(zhì)。 【分析】（1）由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為x=2，利用對(duì)稱軸公式，化簡(jiǎn)即得n+4m=0。 （2）利用三角函數(shù)定義和拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)求解．特別需要注意的是拋物線的開口方向未定，所以所求m、n的值將有兩組。 （3）利用一元二次方程的判別式等于0求解．當(dāng)p＞0時(shí)，m、n的值隨之確定；將拋物線的解析式與直線的解析式聯(lián)立，得到一個(gè)一元二次方程；由交點(diǎn)唯一可知，此一元二次方程的判別式等于0，據(jù)此求出p的值，從而確定了拋物線的解析式；最后由拋物線的解析式確定其最大值。 5. （2012廣東珠海7分）如圖，二次函數(shù)y=（x﹣2）2+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B． （1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （2）根據(jù)圖象，寫出滿足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范圍． 6. （2012浙江杭州12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k（x2+x﹣1）的圖象交于點(diǎn)A（1，k）和點(diǎn)B（﹣1，﹣k）． （1）當(dāng)k=﹣2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式； （2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍； （3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值． 【答案】解：（1）當(dāng)k=﹣2時(shí)，A（1，﹣2）， ∵A在反比例函數(shù)圖象上，∴設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：。 將A（1，﹣2）代入得： ，解得：m=﹣2。 ∴反比例函數(shù)的解析式為：。 （2）∵要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，∴k＜0。 ∵二次函數(shù)y=k（x2+x﹣1）=，∴它的對(duì)稱軸為：直線x=﹣。 要使二次函數(shù)y=k（x2+x﹣1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對(duì)稱軸的左邊，即x＜﹣時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大。 ∴綜上所述，k＜0且x＜﹣。 （3）由（2）可得：Q。 ∵△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（如圖是其中的一種情況） ∴原點(diǎn)O平分AB，∴OQ=OA=OB。 作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分別為點(diǎn)C，D。 ∴。 ∵， ∴，解得：k=±。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)。 【分析】（1）當(dāng)k=﹣2時(shí)，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：，利用待定系數(shù)法即可求得答案； （2）由反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，可得k＜0。 又由二次函數(shù)y=k（x2+x﹣1）的對(duì)稱軸為x=﹣，可得x＜﹣時(shí)，才能使得y隨著x的增大而增大。 （3）由△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q，A（1，k），即可得，從而求得答案。 7. （2012浙江寧波12分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2），過A，C畫直線． （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長(zhǎng)； （3）點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點(diǎn)為H． ①若M在y軸右側(cè)，且△CHM∽△AOC（點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)； ②若⊙M的半徑為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【答案】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0） ∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2）， 將x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。 ∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。 （2）設(shè)OP=x，則PC=PA=x+1， 在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2， 解得，x=，即OP=。 （3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。 （i）如圖1，當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí)， ∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x軸，∴yM=﹣2。 ∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。 ∴M（1，﹣2）。 （ii）如圖2，當(dāng)H在點(diǎn)C上方時(shí)， ∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。 由（2）得，M′為直線CP與拋物線的另一交點(diǎn)， 設(shè)直線CM′的解析式為y=kx﹣2， 把P（，0）的坐標(biāo)代入，得k﹣2=0，解得k=。 ∴y=x﹣2。 由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。此時(shí)y=×。 ∴M′（）。 ②在x軸上取一點(diǎn)D，如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，使DE=， 在Rt△AOC中，AC=。 ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC， ∴，即，解得AD=2。 ∴D（1，0）或D（﹣3，0）。 過點(diǎn)D作DM∥AC，交拋物線于M，如圖 則直線DM的解析式為：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。 當(dāng)﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2時(shí)，即x2+x+4=0，方程無實(shí)數(shù)根， 當(dāng)﹣2x+2=x2﹣x﹣2時(shí)，即x2+x﹣4=0，解得。 ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）或（）。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，平行的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程。 【分析】（1）根據(jù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，故設(shè)出交點(diǎn)式解析式，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值，即可得到二次函數(shù)解析式。 （2）設(shè)OP=x，然后表示出PC、PA的長(zhǎng)度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。 （3）①根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）點(diǎn)H在點(diǎn)C下方時(shí)，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，是-2，代入拋物線解析式計(jì)算即可；（ii）點(diǎn)H在點(diǎn)C上方時(shí)，根據(jù)（2）的結(jié)論，點(diǎn)M為直線PC與拋物線的另一交點(diǎn)，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)。 ②在x軸上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，可以證明△AED和△AOC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD的長(zhǎng)度，然后分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再作直線DM∥AC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)。 8. （2012浙江溫州14分）如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B.記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（B、C不重合）.連結(jié)CB,CP。 （1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)； （2）當(dāng)時(shí)，連結(jié)CA，問為何值時(shí)CA⊥CP？ （3）過點(diǎn)P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在，使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，并寫出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。 【答案】解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，y=－x2＋6x。 令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6?！郃（6，0）。 當(dāng)x=1時(shí)，y=5?！郆（1，5）。 ∵拋物線y=－x2＋6x的對(duì)稱軸為直線x=3，且B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴BC=4。 （2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1） 由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。 ∴。 ∵拋物線y=－x2＋2mx的對(duì)稱軸為直線x=m，其中m＞1，且B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱， ∴BC=2（m－1）。 ∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。 又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。 ∴AH=1，CH=2m－1， ∴，解得m= 。 （3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。 （I）當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1， （i）若點(diǎn)E在x軸上（如圖1）， ∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。 ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。 此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，0）。 （ii）若點(diǎn)E在y軸上（如圖2），過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N， 易證△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。 此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，4）。 （II）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m， （i）若點(diǎn)E在x軸上（如圖3）， 易證△BPC≌△MEP， ∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=。 此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（ ，0）。 （ii）若點(diǎn)E在y軸上（如圖4）， 過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，易證△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。 綜上所述，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，2）或（0，4）， 當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（，0）。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）把m=3，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出拋物線的對(duì)稱軸方程，從而求出BC的長(zhǎng)。 （2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明 △AGH∽△PCB，根據(jù)相似的性質(zhì)得到： ，再用含有m的代數(shù)式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。 （3）存在。本題要分當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m-1），PM=m，BP=m－1和當(dāng)0＜m＜1時(shí)，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)。 9. （2012江蘇連云港12分）如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF＝2，EF＝3， (1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式； (2)求△ABD的面積； (3)將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，問點(diǎn)G是否在該拋物線上？請(qǐng)說明理由． 【答案】解：(1)∵四邊形OCEF為矩形，OF＝2，EF＝3， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，3)． 把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分別代入y＝－x2＋bx＋c，得 ，解得。 ∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x＋3。 (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1，4)?！唷鰽BD中AB邊的高為4。 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。 ∴AB＝3－(－1)＝4。 ∴△ABD的面積＝×4×4＝8。 (3)如圖，△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，CO落在CE所在的直線上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3， ∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3，2)。 ∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2， ∴點(diǎn)G不在該拋物線上。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，曲線圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。 【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的長(zhǎng)，先表示出C、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式。 (2)根據(jù)(1)的函數(shù)解析式求出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，以AB為底、D點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，可求出△ABD的面積。 (3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中直接進(jìn)行判定即可。 10. （2012江蘇南通14分）如圖，經(jīng)過點(diǎn)A(0，－4)的拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸相交于點(diǎn)B(－0，0)和C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式； (2)將拋物線y＝x2＋bx＋c向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度、再向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物 線．若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍； (3)設(shè)點(diǎn)M在y軸上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的長(zhǎng)． 【答案】解：（1）將A（0，－4）、B（－2，0）代入拋物線y=x2+bx+c中，得： ，解得，。 ∴拋物線的解析式：y=x2－x－4。 （2）由題意，新拋物線的解析式可表示為：， 即：。它的頂點(diǎn)坐標(biāo)P（1－m，－1）。 由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）。 ∴直線AB：y=－2x-4；直線AC：y=x－4。 當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，－2（1－m）－4=－1，解得：m=； 當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上時(shí)，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2； 又∵m＞0， ∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，0＜m＜ 。 （3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。 如圖，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°。 ∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB， 即∠ONB=∠OMB。 如圖，在△ABN、△AM1B中， ∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B， ∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN?AM1； 由勾股定理，得AB2=（－2）2+42=20， 又AN=OA－ON=4－2=2， ∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。 而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。 綜上，AM的長(zhǎng)為6或2。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）該拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，只需將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解。 （2）首先根據(jù)平移條件表示出移動(dòng)后的函數(shù)解析式，從而用m表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其 代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時(shí)m的取值范圍。 （3）先在OA上取點(diǎn)N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，顯然在y軸的正負(fù)半軸上都有一個(gè)符合條件的M點(diǎn)；以y軸正半軸上的點(diǎn)M為例，先證△ABN、△AMB相似，然后通過相關(guān)比例線段求出AM的長(zhǎng)。 11. （2012江蘇泰州10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分 別在x軸、y軸的正半軸上，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn)． （1）求該二次函數(shù)的解析式； （2）結(jié)合函數(shù)的圖象探索：當(dāng)y>0時(shí)x的取值范圍． 12. （2012湖北黃石10分）已知拋物線C1的函數(shù)解析式為，若拋物線C1經(jīng)過 點(diǎn)，方程的兩根為，，且。 （1）求拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo). （2）已知實(shí)數(shù)，請(qǐng)證明：≥,并說明為何值時(shí)才會(huì)有. （3）若拋物線先向上平移4個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位后得到拋物線C2，設(shè)， 是C2上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足： ，，.請(qǐng)你用含有的表達(dá)式表示出△AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時(shí)一次函數(shù)OA的函數(shù)解析式。 （參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若，，則P，Q兩點(diǎn)間的距離） 【答案】解：（1）∵拋物線過（０,－３）點(diǎn)，∴－3a＝－３。∴a＝１ 。 　∴ｙ＝x2＋bx－３ 　　　　　 ∵x2＋bx－３=０的兩根為x1，x2且， ∴＝４且b＜０?！郻＝－２。 ∴。 ∴拋物線Ｃ１的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（１，－４）。 （2）∵x＞０，∴ ∴。 當(dāng)時(shí)，即當(dāng)x＝１時(shí)，有。 （3）由平移的性質(zhì)，得C2的解析式為：y＝x2 。 ∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。 ∵ΔAOB為直角三角形，∴OA2＋OB2=AB2。 ∴m2＋m4＋n2＋n4＝（m－n）2＋（m2－n2）2， 化簡(jiǎn)得：m n＝－１。 ∵ＳΔAOB=，m n＝－１， ∴ＳΔAOB＝＝。 ∴ＳΔAOB的最小值為１，此時(shí)m＝１,Ａ(１,１)。 ∴直線OA的一次函數(shù)解析式為ｙ＝x。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的知識(shí)。 【分析】（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數(shù)a、b的值．已知拋物線圖象與y軸交點(diǎn)，可確定解析式中的常數(shù)項(xiàng)（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題目給出了兩根差的絕對(duì)值，將其進(jìn)行適當(dāng)變形（轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求出b的值。 （2）將配成完全平方式，然后根據(jù)平方的非負(fù)性即可得證。 （3）結(jié)合（1）的拋物線的解析式以及函數(shù)的平移規(guī)律，可得出拋物線C2的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可確定m、n的關(guān)系式，然后用m列出△AOB的面積表達(dá)式，結(jié)合不等式的相關(guān)知識(shí)可確定△OAB的最小面積值以及此時(shí)m的值，從而由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)OA的解析式。 別解：由題意可求拋物線C2的解析式為：y＝x2。 ∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。 過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D， 則 由∽得 ，即?！唷? ∴。 ∴ＳΔAOB的最小值為１，此時(shí)m＝１,Ａ(１,１)。 ∴直線OA的一次函數(shù)解析式為ｙ＝x。 13. （2012湖北武漢12分）如圖1，點(diǎn)A為拋物線C1：的頂點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，直線AB交拋物線C1于另一點(diǎn)C． (1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)如圖1，平行于y軸的直線x＝3交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線C1于點(diǎn)E，平行于y軸的直線x＝a 交直線AB于F，交拋物線C1于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值； (3)如圖2，將拋物線C1向下平移m(m＞0)個(gè)單位得到拋物線C2，且拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，交x軸 于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)N，NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)NP平分∠MNQ時(shí)，求m的值． 圖1 圖2 【答案】解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y＝－2?！郃（0，－2）。 設(shè)直線AB的解析式為，則，解得。 ∴直線AB的解析式為。 ∵點(diǎn)C是直線AB與拋物線C1的交點(diǎn)， ∴，解得（舍去）。 ∴C（4，6）。 （2）∵直線x＝3交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線C1于點(diǎn)E， ∴，∴DE=。 ∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。 ∵直線x＝a交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線C1于點(diǎn)G， ∴。 ∴FG=。 解得。 （3）設(shè)直線MN交y軸于點(diǎn)T，過點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)H。 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t,0），拋物線C2的解析式為。 ∴。∴。 ∴?！郟（0，）。 ∵點(diǎn)N是直線AB與拋物線C2的交點(diǎn)， ∴，解得（舍去）。 ∴N（）。 ∴NQ=，MQ=?！郚Q=MQ?！唷螻MQ=450。 ∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形?！郙O=TO，HT=HN。 ∴OT=－t，。 ∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。 ∴，解得（舍去）。 ∴?！?。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元二次方程組，平移的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。 【分析】（1）由點(diǎn)A在拋物線C1上求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；聯(lián)立直線AB和拋物線C1即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)。 （2）由FG：DE＝4∶3求得FG=2。把點(diǎn)F和點(diǎn)G的縱坐標(biāo)用含a的代數(shù)式表示，即可得等式 FG=，解之即可得a的值。 （3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t,0）和拋物線C2的解析式，求得t和m的關(guān)系。求出點(diǎn)P和點(diǎn)N的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示），得出△MOT，△NHT都是等腰直角三角形的結(jié)論。從而由角平分線和平行的性質(zhì)得到PT=NT，列式求解即可求得t，從而根據(jù)t和m的關(guān)系式求出m的值。 14. （2012湖北荊門10分）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的圖象與x軸有交點(diǎn)． （1）求k的取值范圍； （2）若x1，x2是函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2． ①求k的值；②當(dāng)k≤x≤k+2時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定y的最大值和最大值． 【答案】解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)y=﹣2x+3，其圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。 當(dāng)k≠1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)， 令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0． △=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。 綜上所述，k的取值范圍是k≤2。 （2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。 由題意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*）， 將（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。 又∵x1+x2=，x1x2=，∴2k?=4?， 解得：k1=﹣1，k2=2（不合題意，舍去）?！嗨髃值為﹣1。 ②如圖，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+，且﹣1≤x≤1， 由圖象知：當(dāng)x=﹣1時(shí)，y最小=﹣3；當(dāng)x=時(shí)，y最大=。 ∴y的最大值為，最小值為﹣3。 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)的定義，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)物關(guān)系，二次函數(shù)的最值。 【分析】（1）分兩種情況討論，當(dāng)k=1時(shí)，可求出函數(shù)為一次函數(shù)，必與x軸有一交點(diǎn)；當(dāng)k≠1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若與x軸有交點(diǎn)，則△≥0。 （2）①根據(jù)（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根與系數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于k的方程，求出k的值。②充分利用圖象，直接得出y的最大值和最小值。 15. （2012湖北恩施8分）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D． （1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式； （2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值； （3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由； （4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值． 【答案】解：（1）由拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得， ，解得。∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為。 設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n，由直線AC過點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得 ，解得?！嘀本€AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1。 （2）作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。 ∴N′（6， 3） 由得 D（1，4）。 設(shè)直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=sx+t，則 ，解得。 ∴故直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為。 根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，知當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小， ∴。 ∴使MN+MD的值最小時(shí)m的值為。 （3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， ①當(dāng)BD為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，由B、C、D、N的坐標(biāo)知，四邊形BCDN是平行四邊形，此時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，即E（2，3）。 ②當(dāng)BD為平行四邊形邊時(shí)， ∵點(diǎn)E在直線AC上，∴設(shè)E（x，x+1），則F（x，）。 又∵BD=2 ∴若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時(shí)，BD=EF。 ∴，即。 若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。 若，解得，，∴E或E。 綜上，滿足條件的點(diǎn)E為（2，3）、（0，1）、、。 （4）如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G， 設(shè)Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3）。 ∴。 ∴ 。 ∵， ∴當(dāng)時(shí)，△APC的面積取得最大值，最大值為。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值。 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式。 （2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小。 （3）分BD為平行四邊形對(duì)角線和BD為平行四邊形邊兩種情況討論。 （4）如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3），求得線段PQ=﹣x2+x+2。由圖示以及三角形的面積公式知，由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值。 16. （2012湖北黃岡14分）如圖，已知拋物線的方程C1:與x 軸相交于點(diǎn)B、 C，與y 軸相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B 在點(diǎn)C 的左側(cè). (1)若拋物線C1過點(diǎn)M(2，2)，求實(shí)數(shù)m 的值． (2)在(1)的條件下，求△BCE的面積． (3)在(1)的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使BH+EH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)． (4)在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】解：（1）∵拋物線C1過點(diǎn)M(2，2)，∴，解得m=4。 （2）由（1）得。 令x=0，得?！郋（0，2），OE=2。 令y=0，得，解得x1=－2，x=4。 ∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。 ∴△BCE的面積=。 （3）由（2）可得的對(duì)稱軸為x=1。 連接CE，交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，由軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，知此時(shí)BH+EH最小。 設(shè)直線CE的解析式為，則 ，解得?！嘀本€CE的解析式為。 當(dāng)x=1時(shí)，?！郒（1，）。 （4）存在。分兩種情形討論： ①當(dāng)△BEC∽△BCF時(shí)，如圖所示。 則，∴BC2=BE?BF。 由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。 作FT⊥x軸于點(diǎn)F，則BT=TF。 ∴令F（x，－x－2）（x＞0）， 又點(diǎn)F在拋物線上，∴－x－2=， ∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F(xiàn)（2m，－2m－2）。 此時(shí)， 又BC2=BE?BF，∴（m+2）2= ?，解得m=2±。 ∵m＞0，∴m=+2。 ②當(dāng)△BEC∽△FCB時(shí)，如圖所示。 則，∴BC2=EC?BF。 同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE， ∴。 ∴令F（x，－（x+2））（x＞0）， 又點(diǎn)F在拋物線上，∴－（x+2）=。 ∵x+2＞0（∵x＞0）， ∴x=m+2?！郌（m+2，－（m+4）），，BC=m+2。 又BC2=EC?BF，∴（m+2）2= . 整理得：0=16，顯然不成立。 綜合①②得，在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似，m=+2。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】（1）將點(diǎn)（2，2）的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求得m的值。 （2）求出B、C、E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得△BCE的面積。 （3）根據(jù)軸對(duì)稱以及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，可知點(diǎn)B、C關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，連接EC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的H點(diǎn)。 （4）分兩種情況進(jìn)行討論： ①當(dāng)△BEC∽△BCF時(shí)，如圖所示，此時(shí)可求得+2。 ②當(dāng)△BEC∽△FCB時(shí)，如圖所示，此時(shí)得到矛盾的等式，故此種情形不存在。 17. （2012湖南常德10分）如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)A(－4，3），B(4，4). （1）求二次函數(shù)的解析式： （2）求證：△ACB是直角三角形； （3）若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D、為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。 【答案】解：（1）將A(－4，3），B(4，4)代人中， ， 整理得： 解得 ∴二次函數(shù)的解析式為：，即：。 （2）由 整理得 ，解得。 ∴C （－2，0），D 。 ∴AC2=4+9 ，BC2=36+16，AC2+ BC2=13+52=65，AB2=64+1=65， ∴ AC2+ BC2=AB2 ?！唷鰽CB是直角三角形。 （3）設(shè)（x<0），則PH=， HD=。 又∵AC=， BC=， ①當(dāng)△PHD∽△ACB時(shí)有：，即：， 整理得 ，解得（舍去），此時(shí)，。 ∴。 ②當(dāng)△DHP∽△ACB時(shí)有：， 即：， 整理 ，解得（舍去），此時(shí)，。 ∴。 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即，。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理和逆定理的應(yīng)用，相似三角形的判定性質(zhì)，坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，解一元二次方程和二元一次方程組。 【分析】（1）求二次函數(shù)的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。 （2）求證△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的長(zhǎng)度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。 （3）分兩種情況進(jìn)行討論，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分別利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。 18. （2012湖南懷化10分）]如圖，拋物線m：與x軸的交點(diǎn)為A、B，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為,將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線n,它的頂點(diǎn)為D. （1）求拋物線n的解析式； （2）設(shè)拋物線n與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，點(diǎn)P是線段ED上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E、D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF.如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為，△PEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值； （3）設(shè)拋物線m的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，以G為圓心，A、B兩點(diǎn)間的距離為直徑作⊙G，試判斷直線CM與⊙G的位置關(guān)系，并說明理由. 【答案】解：（1）∵拋物線m的頂點(diǎn)為， ∴m的解析式為=。∴。 ∵拋物線n是由拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到，∴D的坐標(biāo)為。 ∴拋物線n的解析式為：，即。 （2）∵點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱，∴E。 設(shè)直線ED的解析式為，則，解得。 ∴直線ED的解析式為。 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為， ∴S==。 ∴當(dāng)時(shí)，S有最大值。 但，∴△PEF的面積S沒有最大值 。 （3）直線CM與⊙G相切。理由如下： ∵拋物線m的解析式為，令得?！?。 ∵拋物線m的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為G，∴OC=4，OG=3，。 ∴由勾股定理得CG=5。 又∵AB=10，∴⊙G的半徑為5，∴點(diǎn)C在⊙G上。 過M點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為N， 則。 又， ∴。 ∴根據(jù)勾股定理逆定理，得∠GCM=900?！?。 ∴直線CM與⊙G相切。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理和逆定理。 【分析】（1）由拋物線m的頂點(diǎn)坐標(biāo)寫出拋物線m的頂點(diǎn)式方程，化為交點(diǎn)式方程即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出拋物線n的解析式。 （2）求出直線ED的解析式，由點(diǎn)P在直線ED，可知P，從而求出△PEF的面積S的函數(shù)關(guān)系式，由點(diǎn)P在線段ED上得。從而根據(jù)二次函數(shù)最值的求法得出結(jié)果。 （3）要判斷直線CM與⊙G的位置關(guān)系首先要判斷CG與⊙G半徑的關(guān)系，由AB=10，得⊙G的半徑為5。求出CG，知點(diǎn)C在⊙G上。由勾股定理和逆定理，得出。從而得出，得出直線CM與⊙G相切的結(jié)論。 19. （2012湖南郴州10分）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式及對(duì)稱軸． （2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使得MA+MB的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)． （3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn)， ∴ ，解得。 ∴拋物線的解析式為：，其對(duì)稱軸為：。 （2）由B（2，3），C（0，3），且對(duì)稱軸為x=1，可知點(diǎn)B、C是關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)。 如圖1所示，連接AC，交對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)M，連接MB，則MA＋MB=MA＋MC=AC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)MA＋MB的值最小。 設(shè)直線AC的解析式為y=kx＋b， ∵A（4，0），C（0，3），∴ ，解得。 ∴直線AC的解析式為：y=x＋3。 令x=1，得y= ?！郙點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）。 （3）結(jié)論：存在。 如圖2所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿足題意： ①若BC∥AP1，此時(shí)梯形為ABCP1。 由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x軸，則x軸與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)P1即為所求。 在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。 ∴P1（－2，0）。 ∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。 ∴四邊形ABCP1為梯形。 ②若AB∥CP2，此時(shí)梯形為ABCP2。 設(shè)CP2與x軸交于點(diǎn)N， ∵BC∥x軸，AB∥CP2，∴四邊形ABCN為平行四邊形?！郃N=BC=2?！郚（2，0）。 設(shè)直線CN的解析式為y=k1x+b1，則有： ，解得。 ∴直線CN的解析式為：y=x+3。 ∵點(diǎn)P2既在直線CN：y=x+3上，又在拋物線：上， ∴x+3=，化簡(jiǎn)得：x2－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。 ∴點(diǎn)P2橫坐標(biāo)為6，代入直線CN解析式求得縱坐標(biāo)為－6?！郟2（6，－6）。 ∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB?！嗨倪呅蜛BCP2為梯形。 綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，0）或（6，－6）。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)， 線段最短的性質(zhì)，梯形的判定。 【分析】（1）已知拋物線上三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再由對(duì)稱軸公式求出對(duì)稱軸。 （2）如圖1所示，連接AC，則AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求之M點(diǎn)；已知點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。 （3）根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，如圖2所示：①若BC∥AP1，確定梯形ABCP1．此時(shí)P1為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，解一元二次方程即可求得點(diǎn)P1的坐標(biāo)；②若AB∥CP2，確定梯形ABCP2．此時(shí)P2位于第四象限，先確定CP2與x軸交點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后求出直線CN的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點(diǎn)P2的坐標(biāo)。 20. （2012湖南株洲10分）如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線 y=﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)． （1）求這個(gè)拋物線的解析式； （2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N．求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)． 【答案】解：（1）∵分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)， ∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，2），B（4，0）。 將x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2； 將x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=。 ∴拋物線解析式為：y=﹣x2+x+2。 （2）如圖1，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E，則E（t，0）