一階微分方程在實際問題中的應用分析研究數(shù)學專業(yè)

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1、目 錄 內(nèi)容摘要 1 關鍵詞 1 1引言 1 1.1研究的背景 2 1.2研究的目的及意義 2 2一階段常微分方程建模 2 2.1常微分方程建模概述及建模方法 2 2.1.1常微分方程建模概述 3 2.1.2常微分方程建模主要幾種方法 3 2.1.3應用常微分方程建模的注意事項 5 2.2一階線性常微分方程模型 5 3小結 8 參考文獻 9 [Abstract] 10 [Key words] 10 一階微分方程在實際問題中的應用 專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學　 學號：201413008148　學生姓名：李洪祥 指導老師：陳迪三 職

2、稱：講師 【內(nèi)容摘要】 大家都知道自然界里的所有物質(zhì)均是依照本身的規(guī)律進行運動及演化。雖然運動的方式不一樣，但是不一樣的物質(zhì)的運動規(guī)律都是于空間和時間上運動。物質(zhì)的變化很大，但大家都可以辨認出它們相同的一個地方，就是數(shù)目上的同樣的變化規(guī)律。在針對一些一定的運動及進化的階段里進行定量的、定性的考究，一定要使得物質(zhì)運動及進化階段相關的要素有一個數(shù)學化的形式，這便是數(shù)學建模的階段，就是依照規(guī)律變化的階段。從運動及進化這兩個方面來看出這種種的不一樣的變量的相互約束和相互影響之間的關系。本文主要研究的是一階線性微分方程的應用。在現(xiàn)有線性微分方程模型的基礎上，對打假問題的求解方程進行了改進，并建立

3、了一種模型，使其更接近實際情況。 【關鍵詞】 模型；一階微分方程；打假問題 1引言 隨著科學技術的飛速發(fā)展，人們常常用數(shù)學建?；驍?shù)學模型來研究和掌握某事物的發(fā)展規(guī)律。比如，城市規(guī)劃師要組建人口、環(huán)境、交通等的數(shù)學模式模型，使得城市發(fā)展策略的制定有了理論化的根據(jù)。生理學家建立了人體內(nèi)部的藥物的濃度伴隨空間及時間的改變的數(shù)學模型，能夠解析藥品的序貫效應，能夠在臨床上更好的形式藥品。要是經(jīng)理及主管可以依據(jù)生產(chǎn)的要求、生產(chǎn)的成本、產(chǎn)品的需要、存儲的成本等資料來規(guī)劃項目，他們可以得到極多的成果。電氣工程師一定要組建一種數(shù)學模型來管理產(chǎn)品的階段，并利用該模型進行規(guī)劃及計算，來達到管理操縱設備的

4、生產(chǎn)階段。以獲取精確的天氣預報為目的，氣象局收集大量的數(shù)據(jù)（氣溫、濕度、風速和風向、氣壓等等），然后對其建立模型來確定未來空氣變化。即使是旅游這種平日活動中，我們也常常制定出一個最合適的旅游路線，這也可以看成是一個數(shù)學模型的組建及解析。 數(shù)學模型作為現(xiàn)實情況的實質(zhì)的表現(xiàn)及理論的抽象。她運用數(shù)學語言來對研究的對象的內(nèi)部的特色及有關的要素的關系進行表述。當我們需要從定量的方面來解析及考究一個現(xiàn)實的問題的時候，大部分需要組建數(shù)學模型來進行考究。一種好的數(shù)學模型可以表述出建模的根本的體系，并且對其做出預測，同時能解釋為什么這么建模以及建模得出的結論。數(shù)學建模這種求解問題的方法在許多領域得到了廣泛的應

5、用，如生產(chǎn)技術、科技、經(jīng)濟、金融等。它已經(jīng)成為我們研究客觀世界的一個有力工具。 1.1研究的背景 常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學的一種主要的支流，作為在表述事物的成長階段的一個十分有用處的用具，它可以更全面、更專業(yè)。在考察極為繁雜的事物的運動的階段里，我們大部分不可以看出變量之間的函數(shù)聯(lián)系，可是我們能夠得到變量之間的函數(shù)關系。在該問題知道自變量、未知函數(shù)以及函數(shù)的導數(shù)或微分組成的關系式，稱為微分方程，當中僅有一個自變量的微分方程叫做常微分方程。由解得微分方程來得出未知的函數(shù)。使用得出來的數(shù)值，或者以考察漸進性，來觀察和得到成長過程事物的變化所謂的微分方程是與自變量和未知函數(shù)相聯(lián)系的【3】。我們發(fā)現(xiàn)在

6、人文科學中有大量的問題，如社會學、經(jīng)濟學等等，當它們被準確地表述的時候，經(jīng)常會有微分方程。一種具體的問題能夠變成一個微分方程，很多個問題能夠變成一種一階常微分方程問題的解取決于我們對一階微分方程的研究。 1.2研究的目的及意義 在現(xiàn)實生活中，許多更繁雜的運動階段經(jīng)常是要間接地得出它們的函數(shù)，可是極易組建變量跟它們的微分及導數(shù)中間的聯(lián)系。一階微分方程能夠被使用在對物質(zhì)運動的瞬時規(guī)律進行表述。一階常微分方程的使用實際問題是由于一階常微分方程理論是用數(shù)學方法解決實際問題的有力工具。它是與實際應用密切相關的基礎學科，其自身也在不斷的發(fā)展中。 微分方程在實踐中有許多應用，在許多科學領域中起著重要的

7、作用。例如，自動控制，各種電子設備的設計，軌跡的計算，飛機穩(wěn)定性和導彈飛行穩(wěn)定性的研究，化學反應穩(wěn)定性的研究等等。所有的這些問題都可以化成常微分的問題來解決。在實際應用過程中，我們可以直接使用數(shù)學，物理，化學，生物學等學科中很多自然現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，直接建立一個常微分方程模型。如放射性物質(zhì)放射性規(guī)律。 2一階段常微分方程建模 在數(shù)學建模的階段里，數(shù)學模型的組建是個重點的工作。只能在組建了模型，別的工作才可以進行。常微分方程已經(jīng)發(fā)展了三百多年，它的基本理論和方法不斷的在發(fā)展，可以提供足夠的方法用于分析和尋找方程的解或數(shù)值解。常微分方程模型對實際應用非常重要，它具有很強的通用性、有效性和豐

8、富的數(shù)學內(nèi)涵。本章首先介紹了常微分方程建模的定義，之后舉了多個數(shù)學建模里使用的常微分方程。在當中我們能夠更加體驗到常微分方程的辦法跟基礎的理論被使用在現(xiàn)實的問題里的有效性。 2.1常微分方程建模概述及建模方法 2.1.1常微分方程建模概述 針對實際的社會里的改變，大家常常注意的是速度、加速度以及位置伴隨著時間的改變而改變的規(guī)律。當中的規(guī)律經(jīng)常能夠使用常微分方程組及方程作為表述的方式。微分方程里的方程是跟宏觀相反的微觀，就是瞬時的聯(lián)系。微分方程組建模型能夠用于更多的區(qū)域。它可以用來建立物理力學中RLC電路模型、數(shù)學擺模型，社會學的人口模型，生物學的傳染病模型、兩生物種群生態(tài)模型，氣象學Lo

9、renz方程等。此中的離散模型適用于差分方程建模，連續(xù)模型適用于偏微分方程和常微分方程建模。在本章中，大家會在數(shù)學建模的過程里使用常微分方程基本的方法理論【6】。 2.1.2常微分方程建模主要幾種方法 在考察相對多樣的東西發(fā)生改變的階段里，經(jīng)常是要間接的才可以有變量之間的函數(shù)關系，可是能夠看到問題里的某些變量跟當中的導數(shù)的聯(lián)系，來組建方程。微分方程的概念是只要包括沒有解出的函數(shù)的導數(shù)跟當中的自變量的方程，而常微分方程就是當中的自變量僅有一種的微分方程。由解得未知函數(shù)中解析式的答案，依據(jù)解得的數(shù)值，或在考究常微分方程漸近性的基礎上，來得知事物的改變狀況。當中常見的列出常微分方程的辦法有幾個：

10、 (1)依據(jù)現(xiàn)實的狀況獲得的或者隱藏的要求來組建常微分方程模型 這個需要我們既要細心又要耐心地解析問題，找到給出的或者隱藏的等量關系，之后組建一種常微分方程模型。像天文學跟氣象的現(xiàn)實問題上，大部分人常常會算到等角軌線，即在給出的角度的已知的曲線或者曲線族不平行的情況下的一條曲線。就是，在曲線或者曲線族跟等角軌線兩者的切線在不平行的情況下形成給出的角度。運用這些條件，能夠?qū)懗鲆环N常微分方程。之后，使用問題里隱藏的等角軌線跟它相交，就是相等的相交的地方的數(shù)值的條件，來組建一種有關等角軌線的柯西問題【7】。 (2)使用知道的基礎的公式或者基礎的定理定律組建常微分方程模型 這個辦法最重要的是依

11、據(jù)每種科目里的知道的定律跟定理組建的，像彈性形變的胡克定律，傅里葉熱傳熱定律和力學中的牛頓第二運動定律，萬有引力定律，還有流體力學里的托里拆里定律、阿基米德原理，放射性問題里的衰變率，電學里的基爾霍夫定律,還有生物學、人口問題里的增長率等。 (3)利用導數(shù)的定義建立微分方程模型 要是函數(shù)能夠可微，那便能夠看做是在這個點上的瞬時變化率。在很多建模應用問題中都有把導數(shù)解釋為瞬時變化率。如在人口模型問題研究中，馬爾薩斯的假設中出現(xiàn)的“凈相對增長率”（單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比），在放射問題中出現(xiàn)的自發(fā)現(xiàn)象“衰變”等。在這些階段，特別要關注到研究對象會產(chǎn)生或者產(chǎn)生了什么改變，這種種

12、的改變的規(guī)律也許可以用微分方程來表現(xiàn)出來。像在人口模型中,在人口自然增長的過程中，我們假設凈相對增長率是常數(shù)，記此常數(shù)為,在到這段時間內(nèi)人口數(shù)量為，則我們可以建立微分方程模型 求解該模型,我們解得,其中是任意常數(shù),它是由初始條件確定的。如設初值條件為時，，代入上式可得 這樣我們就可以預測人口的增長。 (4)利用微元法建立常微分方程模型 這個辦法主要的是找尋微元之間的聯(lián)系，在我們述說現(xiàn)實的對象的一些特征伴隨時間或者空間的改變而改變的階段，能夠用函數(shù)的相關定律來組建模型。經(jīng)常在一個現(xiàn)實的問題里有著特殊條件的變量對應下面的要求：跟某個自變量的變化區(qū)間產(chǎn)生聯(lián)系；針對區(qū)間的可加性；一些的

13、量。我們便能夠使用微元法來組建對象的動態(tài)模型,它的對應的方法是依據(jù)問題的現(xiàn)實狀況，選擇一種自變量，同時明確變化的區(qū)間是；于區(qū)間里隨意選擇一個隨意小的區(qū)間寫作，求得在這種區(qū)間的部分量的近似數(shù)值。把近似的代表為一種連續(xù)函數(shù)于的數(shù)值跟乘積，就是，寫作,叫做等式的雙邊的同時積分便解得需要的量。這個辦法經(jīng)常被使用在很多的區(qū)域里。像于空間解析幾何里可以使用微元法解得平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體體積代數(shù)方面的近似值的求解、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、曲線的弧長還有流體混合問題物理方面解得壓力、靜力矩、重心、變力做功?！?1】 (5)模擬近似 在針對規(guī)律并不明白的又具有復雜的現(xiàn)實的問題里，常微分方程模型的組建經(jīng)常用模擬近似

14、的辦法。這種模型通常是就問題進行簡單的假設，把需要考究的問題進行詳細的解析。這種階段經(jīng)常是近似，所以運用這種辦法組建常微分方程模型之后，需要解析當中解得的結果的相關特征，可以把成果跟現(xiàn)實的對象進行比較，檢查組建的模型能不能適合現(xiàn)實的狀況。在檢查后，得出最后的結果。有需要的時候，能夠修正假設跟模型。 2.1.3應用常微分方程建模的注意事項 （1）在現(xiàn)實的問題里有了“提升”“降低”“變化”“改變”等的狀況的時候，或許跟導數(shù)相關，這種時候要對現(xiàn)實的問題有詳細的解析，形成簡單的假設，寫出對應的常微分方程模型。 （2）現(xiàn)實的問題經(jīng)常有詳細的時間或者是具體的位置等資料。有了這些資料便能夠擬定出解的初

15、始條件，這方便確定解中包含的待定系數(shù)。 （3）解得方程的結果后，需要解析得到的解，檢驗得到的解，檢查結果跟現(xiàn)實的結論是不是一樣。由于組建常微分方程模型的階段里，只是作出簡化假設的,通常會略掉某些問題的相關的不重要的條件，因此獲得的模型是近似的。要是獲得的解跟現(xiàn)實的問題并不適合，就要持續(xù)修訂假設和模型，一直到適合現(xiàn)實的問題才結束。 2.2一階線性常微分方程模型 因為，本文以典打假問題為案例進行分析，其符合運用一階微分方程解決實際生活問題的要求，即將數(shù)學學習最終應用于生活中去。 在中國社會主義市場經(jīng)濟的成長過程里，許多的假冒偽劣產(chǎn)品商品隨之增多，現(xiàn)在已是妨礙社會進步及經(jīng)濟成長的一種非常嚴重

16、的難題了。產(chǎn)生的、售賣的假冒偽劣產(chǎn)品商品極其威脅損害消費者利益，危害社會主義市場經(jīng)濟秩序，應該受到刑法處罰。我們的國家正處于向市場經(jīng)濟過渡的時期，假冒偽劣商品泛濫，極其逼迫國家經(jīng)濟建設及人民大眾的生命財產(chǎn)的安全性。每個制造、售賣偽造劣質(zhì)的商品范圍廣，手段奸詐，造成十分不可原諒的結果。所以，在促進社會發(fā)展的同時，要保障知識產(chǎn)權，嚴格嚴厲打擊制假售假的活動和行為。 假冒偽劣商品存在的原因復雜，這些犯罪的主要原因是以性價比低廉的產(chǎn)品冒充性價比高的產(chǎn)品，從而獲取高額的利潤。其他原因包括地方保護主義、執(zhí)法困難、法制不健全、 社會監(jiān)管體制的不完善、信用體系的缺失等等。 接下來，我們將從生產(chǎn)假冒偽劣商品

17、過程出發(fā)，建立其常微分方程模型。并提供針對打假的一些方案。 模型假設 ①假設時間，是時間的假冒偽劣產(chǎn)品數(shù)量的單件，同時是的連續(xù)函數(shù)； ②設一個區(qū)域的制售假冒偽劣產(chǎn)品的人數(shù)變化不大，那么于單位時間里制造出的假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)量是常數(shù),寫作； ③設于單位時間里替保障平常的社會經(jīng)濟的秩序打擊的假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)量是常數(shù)； ④設于單位時間里由于工商部門、政府進行的各個打假行動所打擊掉的假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)量跟時間的假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)量有著正相關的關系，當中是打假力度的系數(shù)，他跟打假所用的費用相關聯(lián)，普遍來說，打假的界限越大，所需要的費用便愈多，打假的力度的系數(shù)愈大； ⑤設時間時,假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)量是

18、，由于如今的市場經(jīng)濟的狀況里，生產(chǎn)跟售賣假冒偽劣產(chǎn)品的違法犯罪行為一定不會消失。 組建模型 根據(jù)微觀模式的守恒原理: 凈變化率=輸入率-輸出率 我們考慮在?t或，時間間隔內(nèi),有: 令，則 等式兩邊同時除以得 令,于是建立了下述打假模型： 其中 模型求解 初值問題是一階常系數(shù)線性非齊次常微分方程的柯西問題,能夠使用常數(shù)變易法或者初等因子就是雙邊都乘以來求出解，即有 令解 即得，顯然 模型檢驗 從結果能夠的出伴隨時間的變化，假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)量能夠在恰當?shù)恼{(diào)整到“任何數(shù)量”就是以打假的方

19、式來管理假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)目。 可是因為實際的生活里制造、售賣假冒偽劣產(chǎn)品的成本小且風險系數(shù)低，同時缺少社會監(jiān)督，形成監(jiān)管的力度不夠，造成地方政府的有力的監(jiān)督力度不足受害企業(yè)打假的成本太高，地方保護主義助長不正之風，助長違法犯罪行為，政府難以打擊來源，于處罰制假售假的情況里，對應的法律缺少、執(zhí)行難度大、處罰條例不夠具體等問題的現(xiàn)象，無法將假冒偽劣商品全部消滅掉。社會上仍然有制造、售賣假冒偽劣產(chǎn)品的機會，這種狀況便無法永遠消失。如今在這種模型的結果上，我們將重點討論如何減少假冒偽劣商品的數(shù)量。 方法1:減少。 ① 減少，減少假冒偽劣商品的數(shù)量，即打擊假冒偽劣產(chǎn)品生產(chǎn)的來源，如設備、工廠、假貨

20、生產(chǎn)銷售部門和人員。增加打擊假冒偽劣行為的投資，增強打擊假冒偽劣活動的行動，盡量利用法律條規(guī)，嚴格打擊制假售假違法犯罪的行為。對違反刑法的重大案件，應當及時移送司法機關處理。極力鼓動每個領域的積極性，增大打假管理的行動，來保護大多數(shù)的消費者跟經(jīng)營者的有關利益。 ② 增加，增加打假數(shù)量，加大監(jiān)察力度于打假執(zhí)法上，使衛(wèi)生防疫、技術監(jiān)督、工商行政管理等政府單位增大聯(lián)同治理管理的力度，固定性的專門管理市場商品，準確處理假冒偽劣商品。絕不允許地方保護。堅持長期斗爭，打擊假冒偽劣的犯罪行為，增強執(zhí)法力度，堅定不移地解決有法不依、執(zhí)法不嚴、違法不究、以罰代刑等現(xiàn)象。切實維護好市場的經(jīng)濟秩序。 方法2：增

21、加 增加防偽強度系數(shù)，一定要消除每個不良的要素，增加質(zhì)量的宣傳范圍跟深度。政府單位進行打假行動，增強消費者的商品安全自我保護、依照法律獲得合法權益的思想意識及辨別假冒偽劣產(chǎn)品的眼光。使用媒體來揭發(fā)假冒偽劣產(chǎn)品的種類及相關的經(jīng)營方、生產(chǎn)方，讓消費者監(jiān)視他們，沒法繼續(xù)犯罪。一定要利用舉報、投訴網(wǎng)絡平臺作用，接受消費者的舉報、投訴，對消費者舉報的線索，要及時核實查處。所以，產(chǎn)生假冒偽劣產(chǎn)品的因素并不是單一的，而是多樣的，是經(jīng)濟問題跟社會問題共同產(chǎn)生的結果與反映。打擊假冒偽劣產(chǎn)品不僅是長期性的任務又是艱難的任務。政府跟相關職能單位必須要有打長期戰(zhàn)的準備，使用社會各個領域的力量，來保障大多數(shù)消費者及經(jīng)

22、營者的相關利益，維持市場公平競爭的秩序，使經(jīng)濟可持續(xù)健康地增長。 模型應用： ① 時,令。假冒偽劣產(chǎn)品跟于單位時間里在維持一定的社會經(jīng)濟秩序而打掉的假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)量一樣的情況下，社會上現(xiàn)有的假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)目會是將近于零； ②當，時。即如果政府、工商部門對造假產(chǎn)生的假冒偽劣商品放任不管,消費者并不進行舉報，那么社會上現(xiàn)存的假冒偽劣產(chǎn)品一定會到處都是； ③我國市場經(jīng)濟正在高速發(fā)展。隨著經(jīng)濟的發(fā)展，生產(chǎn)假冒偽劣商品漸漸增加，一直到經(jīng)濟增加至某些時期，制造假冒偽劣產(chǎn)品的行為便會漸漸縮小。 3小結 進入二十世紀以來，數(shù)學建模的普遍性和重要性不言而喻。我們可以通過建立了數(shù)學模型來解決實

23、際難題。他表現(xiàn)出現(xiàn)實的難題里所出現(xiàn)的內(nèi)部的規(guī)律跟定量的聯(lián)系。數(shù)學模型作為一個模型，一定要知道難題的現(xiàn)實狀況、表明建模的目標、找到問題的實質(zhì)、忽略次要因、作出合理的簡化假設，在實際上表現(xiàn)出現(xiàn)實的問題的數(shù)量的規(guī)律。能夠使用全部的數(shù)學用具來組建數(shù)學模型，使用于各種實際問題中。本文運用常微分方程為數(shù)學工具來建立數(shù)學模型。 牛頓和萊布尼茨是人類科學史上的一個劃時代的發(fā)現(xiàn)，隨著微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展，常微分方程也隨之而生。自其誕生之日起，就在每個科目了使用的范圍很廣，尤其是成為力學的有力推助氣，于天體力學領域發(fā)揮了巨大的作用。因為解得微分方程，我們證實了地球圍繞太陽的軌跡為橢圓形。經(jīng)過科學的證明得到了行星

24、運動的規(guī)律，海王星就是利用數(shù)學預測而非有計劃的觀測發(fā)現(xiàn)的行星，天文學家使用天王星軌跡的攝動推出海王星的存在跟所在的地理位置。同時常微分方程還有著更大的活力。在快速成長的科技及快速進步的社會里，常微分方程的使用范圍也在持續(xù)的增大跟加深。分析作為三百年來數(shù)學學科里第一位的分支，同時微分方程是分析最重要的一部分，是它的中心。這可以說是初等微積分的天然的后繼課，是認知物理學里的一門極其主要的數(shù)學，同時在它衍生出的具有深度的問題里，它是高等分析中絕大多數(shù)的理論與思想的基礎。這個科目的適用范圍在持續(xù)的增大及新型的思想理論生長點在持續(xù)的出現(xiàn)。該文章就打假問題來組建數(shù)學模型，使用一階微分方程的辦法來解得現(xiàn)實問

25、題里的結果，解析了這種結果對打假行為的影響，同時提出了某些有效的解決方法。該文章的所有的解析僅是微分方程許多使用方向當中的一個，在現(xiàn)代科技的快速成長里，對于在微分方程的基礎上組建數(shù)學模型的發(fā)展前途應該持有樂觀的態(tài)度。 【參考文獻】 [1]馮錄祥. 一類一階常微分方程的可積性條件及應用[J]. 中央民族大學學報(自然科學版),2012,01:32-36. [2]馮錄祥. 一類一階常微分方程的推廣及應用[J]. 河南科學,2012,05:529-531. [3]平根建. 一階線性微分方程的解法探析[J]. 沙洋師范高等專科學校學報,2012,02:72-73. [4]王偉珠. 一

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28、應用[J]. 考試周刊,2016,90:40-41. Application of first order differential equation in practical problems [Abstract] It is known that all matter in nature moves and evolves according to its own laws.Although the way of movement is different, the law of movement of different matter is in space and tim

29、e.Matter varies greatly, but one thing that you can recognize is the same number of variations.In view of some certain movement and the evolution stage carries on the quantitative, the qualitative research, must make the matter movement and the evolution stage correlation essential element to have a

30、 mathematical form, this is the mathematics modelling stage,It is the stage that changes according to the law.From the two sides of motion and evolution The relationship between the constraints and interactions of these different variables can be seen on the surface.This paper mainly studies the app

31、lication of first order linear differential.On the basis of the existing linear differential equation model, this paper improves the solving equation of the problem of fighting forgery, and establishes a model to make it more close to the actual situation. [Key words] Model; first order differential equation; Anti-counterfeiting problem