2012-2013高中數(shù)學(xué)《第二講 參數(shù)方程》質(zhì)量評估 新人教A版選修4-4

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1、本講質(zhì)量評估(二) (時間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．參數(shù)方程 (t為參數(shù))所表示的曲線是 (　　)． 解析　將參數(shù)方程進行消參，則有t＝，把t＝，代入y＝中，得當(dāng) x>0時，x2＋y2＝1，此時y≥0；當(dāng)x<0時，x2＋y2＝1，此時y≤0.對照選項， 可知D正確． 答案　D 2．直線 (t為參數(shù))上與點P(－2，3)的距離等于的點的坐標是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－4，5) B．(－3，4) C．(－3，

2、4)或(－1，2) D．(－4，5)或(0，1) 解析　可以把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成標準式，或者直接根據(jù)直線參數(shù)方程的 非標準式中參數(shù)的幾何意義可得 ·|t|＝， 可得t＝±，將t代入原方程，得或所以所求點的坐標 為(－3，4)或(－1，2)． 答案　C 3．在方程 (θ為參數(shù))所表示的曲線上的一點的坐標為 (　　)． A．(2，－7) B. C. D．(1，0) 解析　把參數(shù)方程化為普通方程時注意范圍的等價性，普通方程是y＝1－2x2 (－1≤x≤1)，再根據(jù)選擇項逐個代入進行檢驗即可． 答案　C 4．若P(2，－1)為圓(θ為參

3、數(shù)且0≤θ<2π)的弦的中點，則該弦所在的直線方程為 (　　)． A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝5 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 解析　∵由消去θ得，(x－1)2＋y2＝25 ∴圓心C(1，0)，∴kCP＝－1，∴弦所在的直線的斜率為1 ∴弦所在的直線方程為y－(－1)＝1·(x－2) 即x－y－3＝0. 答案　A 5．下列參數(shù)方程(t為參數(shù))與普通方程x2－y＝0表示同一曲線的方程是(　　)． A. B. C. D. 解析　注意參數(shù)范圍，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y

4、≥0.A 中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1，1]，故排除A和B.而C中y＝＝cot2t ＝＝，即x2y＝1，故排除C. 答案　D 6．直線3x－4y－9＝0與圓 (θ為參數(shù))的位置關(guān)系是 (　　)． A．相切 B．相離 C．直線過圓心 D．相交但直線不過圓心 解析　把圓的參數(shù)方程化為普通方程，得x2＋y2＝4，得到半徑為2，圓心為 (0，0)，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，即可判斷直線 和圓的位置關(guān)系． 答案　D 7．參數(shù)方程 (t為參數(shù))所表示的曲線是 (　　)． A．一條射線 B．兩條射線

5、 C．一條直線 D．兩條直線 解析　根據(jù)參數(shù)中y是常數(shù)可知，方程表示的是平行于x軸的直線，再利用 不等式知識求出x的范圍可得x≤－2或x≥2，可知方程表示的圖形是兩條射 線． 答案　B 8．設(shè)r>0，那么直線xcos θ＋ysin θ＝r與圓(φ是參數(shù))的位置關(guān)系是 (　　)． A．相交 B．相切 C．相離 D．視r的大小而定 解析　根據(jù)已知圓的圓心在原點，半徑是r，則圓心(0，0)到直線的距離為d ＝＝r，恰好等于圓的半徑，所以，直線和圓相切． 答案　B 9．過點(0，2)且與直線(t為參數(shù))互相

6、垂直的直線方程為 (　　)． A. B. C. D. 解析　直線化為普通方程為y＝x＋1－2，其斜率k1＝， 設(shè)所求直線的斜率為k，由kk1＝－1，得k＝－，故參數(shù)方程為(t 為參數(shù))． 答案　B 10．若圓的方程為(θ為參數(shù))，直線的方程為(t為參數(shù))，則直線與圓的位置關(guān)系是 (　　)． A．相交過圓心 B．相交但不過圓心 C．相切 D．相離 解析　圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝4， 直線的方程為3x－y＋2＝0， 圓心坐標為(－1，3)， 易驗證圓心不在直線3x－y＋2＝0上．

7、 而圓心到直線的距離d＝＝<2， ∴直線與圓相交． 答案　B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確答案填在題中的橫線上) 11．圓的參數(shù)方程為(0≤θ<2π)，若圓上一點P對應(yīng)參數(shù)θ＝π，則P點的坐標是________． 解析　當(dāng)θ＝π時， x＝2＋4cosπ＝0， y＝－＋4sinπ＝－3， ∴點P的坐標是(0，－3)． 答案　(0，－3) 12．已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：，則C上各點到l的距離的最小值為________． 解析　圓方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4， ∴d＝＝2， ∴距離最小值為2－2. 答案　2－2 13．已知

8、P為橢圓4x2＋y2＝4上的點，O為原點，則|OP|的取值范圍是________． 解析　由4x2＋y2＝4，得x2＋＝1. 令(φ為參數(shù))， 則|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ. ∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4， ∴1≤|OP|≤2. 答案　[1，2] 14．點(－3，0)到直線(t為參數(shù))的距離為________． 解析　∵直線的普通方程為x－2y＝0， ∴點(－3，0)到直線的距離為d＝＝1. 答案　1 三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．已

9、知x，y滿足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值． 解　由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知曲線表示以(1，－2)為圓心，半徑等于2的 圓．令x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，則S＝3x－y＝3(1＋2cos θ)－(－2 ＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋2sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)， 所以，當(dāng)sin(θ＋φ)＝1時，S有最大值5＋2； 當(dāng)sin(θ＋φ)＝－1時，S有最小值為5－2. 所以S的最大值Smax＝5＋2； S的最小值Smin＝5－2. 16.如圖所示，連結(jié)原點O和拋物線y＝2x2上的動點M，延長OM到

10、點P，使|OM|＝|MP|，求P點的軌跡． 解　因為拋物線標準方程為x2＝y(tǒng)， 所以它的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))， 得M.設(shè)P(x，y)，則M是OP的中點， 所以即 (t為參數(shù))， 消去參數(shù)t，得y＝x2. 所以，點P的軌跡方程為y＝x2，它是以y軸為對稱軸，焦點為的拋物 線． 17．已知點A為橢圓＋＝1上任意一點，點B為圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點，求|AB|的最大值和最小值． 解　化橢圓普通方程為參數(shù)方程 (θ為參數(shù))，圓心坐標為C(1， 0)，再根據(jù)平面內(nèi)兩點之間的距離公式可得 |AC|＝＝ ＝ ， 所以，當(dāng)cos θ＝時，|AC|取最小值為； 當(dāng)cos

11、 θ＝－1時，|AC|取最大值為6. 所以，當(dāng)cos θ＝時，|AB|取最小值為－1； 當(dāng)cos θ＝－1時，|AB|取最大值為6＋1＝7. 18．設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為傾斜角)，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心，求直線l的斜率． (2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍． 解　(1)由已知得直線l經(jīng)過的定點是P(3，4)，而圓C的圓心是C(1，－1)， 所以，當(dāng)直線l經(jīng)過圓C的圓心時，直線l的斜率為k＝. (2)由圓C的參數(shù)方程得圓C的圓心是C(1，－1)，半徑為2， 由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為傾斜角

12、)， 得直線l的普通方程為y－4＝k(x－3)， 即kx－y＋4－3k＝0， 當(dāng)直線l與圓C交于兩個不同的點時，圓心到直線的距離小于圓的半徑， 即<2，由此解得k>. 直線l的斜率的取值范圍為. 19．已知曲線C1：(θ為參數(shù))，曲線C2：(t為參數(shù))． (1)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數(shù)； (2)若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C′1，C′2. 寫出C′1，C′2的參數(shù)方程．C′1與C′2公共點的個數(shù)和C1與C2公共點的個數(shù) 是否相同？說明你的理由． 解　(1)C1是圓，C2是直線． C1的普通方程為x2＋y2＝1，圓心C1(0，0)，半徑r＝1. C2的普通方程為x－y＋＝0. 因為圓心C1到直線x－y＋＝0的距離為1， 所以C2與C1只有一個公共點． (2)壓縮后的參數(shù)方程分別為C′1： (θ為參數(shù))，C′2：(t為參數(shù))， 化為普通方程為C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋， 聯(lián)立消元得2x2＋2x＋1＝0， 其判別式Δ＝(2)2－4×2×1＝0， 所以壓縮后的直線C′2與橢圓C′1仍然只有一個公共點，和C1與C2公共點的 個數(shù)相同．