人教版八年級上冊 期末試卷（2）

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期末試卷（2） 一、選擇題（本題有10小題，每小題4分，共40分，請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分） 1．（4分）將下列四種長度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（　?。? A．2，5，8 B．3，4，5 C．2，2，4 D．1，2，3 2．（4分）下列圖形是對圓的面積進行四等分的幾種作圖，則它們是軸對稱圖形的個數為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 3．（4分）下列運算中，正確的是（　?。? A．（a2）3=a5 B．a2?a4=a6 C．3a2÷2a=a D．（2a）2=2a2 4．（4分）若分式的值是零，則x的值是（　?。? A．x=﹣2 B．x=±3 C．2 D．x=3 5．（4分）長方形的面積為x2﹣2xy+x，其中一邊長是x，則另一邊長是（　?。? A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+1 6．（4分）如圖，E，B，F(xiàn)，C四點在一條直線上，EB=CF，∠A=∠D，再添一個條件仍不能證明△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE 7．（4分）如圖所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，則PD等于（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 8．（4分）如圖（1），是一個長為2a寬為2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的兩條對角軸剪開，把它分成四個全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一個新的正方形，則中間空白部分的面積是（　?。? A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2 9．（4分）“五水共治”工程中，要挖掘一段a千米的排污管溝，如果由10個工人挖掘，要用m天完成；如果由一臺挖掘機工作，要比10個工人挖掘提前3天完成，一臺挖掘機的工作效率是一個工人工作效率的（　?。? A． B． C． D． 10．（4分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P1（﹣y+1，x+1）叫做點P的伴隨點，已知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得到點A1，A2，A3，…，An，若點A1的坐標為（3，1），則點A2015的坐標為（　　） A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1） 　 二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分 11．（5分）點A（﹣3，2）關于x軸的對稱點A′的坐標為　　． 12．（5分）因式分解：x2﹣4y2=　?。? 13．（5分）等腰三角形一邊等于4，另一邊等于2，則周長是　?。? 14．（5分）若a﹣b=5，ab=3，則a2+b2=　?。? 15．（5分）當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個直角三角形為“特征三角形”，那么它的“特征角”等于　　度． 16．（5分）如圖，把面積為1的等邊△ABC的三邊分別向外延長m倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的面積是　?。ㄓ煤琺的式子表示） 　 三、解答題（本題有8小題，第17-20題每題8分，第21題10分，第22、23題每題12分，第24題14分，共80分 17．（4分）分解因式：4xy2+4x2y+y3． 18．（4分）解方程：． 19．（8分）先化簡再求值：（﹣）÷，其中x=3． 20．（8分）在△ABC中，D是BC邊上的中點，F(xiàn)、E分別是AD及其延長線上的點，CF∥BE．求證：CF=BE． 21．（8分）一個等腰直角三角板如圖擱置在兩柜之間，且點D，C，E在同一直線上，已知稍高的柜高AD為80cm，兩柜距離DE為140cm．求稍矮的柜高BE． 22．（10分）某校為了豐富學生的校園生活，準備購進一批籃球和足球．其中籃球的單價比足球的單價多40元，用1500元購進的籃球個數與900元購進的足球個數相等． （1）籃球和足球的單價各是多少元？ （2）該校打算用800元購買籃球和足球，恰好用完800元，問有哪幾種購買方案？ 23．（12分）探究題： （1）　　都相等，　　都相等的多邊形叫做正多邊形； （2）如圖，格點長方形MNPQ的各點分布在邊長均為1的等邊三角形組成的網格上，請在格點長方形MNPQ內畫出一個面積最大的格點正六邊形ABCDEF，并簡要說明它是正六邊形的理由； （3）正六邊形有　　條對角線，它的外角和為　　度． 24．（12分）閱讀理解：（請仔細閱讀，認真思考，靈活應用） 【例】已知實數x滿足x+=4，求分式的值． 解：觀察所求式子的特征，因為x≠0，我們可以先求出的倒數的值， 因為=x+3+=x++3=4+3=7 所以= 【活學活用】 （1）已知實數a滿足a+=﹣5，求分式的值； （2）已知實數x滿足x+=9，求分式的值． 25．（14分）有公共頂點A的△ABD，△ACE都是的等邊三角形． （1）如圖1，將△ACE繞頂點A旋轉，當E，C，B共線時，求∠BCD的度數； （2）如圖2，將△ACE繞頂點A旋轉，當∠ACD=90°時，延長EC角BD于F， ①求證：∠DCF=∠BEF； ②寫出線段BF與DF的數量關系，并說明理由． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題（本題有10小題，每小題4分，共40分，請選出各題中一個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分） 1．（4分）將下列四種長度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（　?。? A．2，5，8 B．3，4，5 C．2，2，4 D．1，2，3 【考點】三角形三邊關系． 【分析】根據三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊進行分析即可． 【解答】解：A、2+5＜8，不能組成三角形，故此選項錯誤； B、3+4＞5，能組成三角形，故此選項正確； C、2+2=4，不能組成三角形，故此選項錯誤； D、1+2=3，不能組成三角形，故此選項錯誤； 故選：B． 【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系定理，在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形． 　 2．（4分）下列圖形是對圓的面積進行四等分的幾種作圖，則它們是軸對稱圖形的個數為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據軸對稱圖形的概念求解即可． 【解答】解：第一個圖形是軸對稱圖形； 第二個圖形是軸對稱圖形； 第三個圖形不是軸對稱圖形； 第四個圖形是軸對稱圖形； 所以一共有三個軸對稱圖形． 故選C． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 3．（4分）下列運算中，正確的是（　?。? A．（a2）3=a5 B．a2?a4=a6 C．3a2÷2a=a D．（2a）2=2a2 【考點】整式的除法；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【專題】計算題；整式． 【分析】A、原式利用冪的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷； B、原式利用同底數冪的乘法法則計算得到結果，即可作出判斷； C、原式利用單項式除以單項式法則計算得到結果，即可作出判斷； D、原式利用積的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷． 【解答】解：A、原式=a6，錯誤； B、原式=a6，正確； C、原式=a，錯誤； D、原式=4a2，錯誤， 故選B 【點評】此題考查了整式的除法，同底數冪的乘法，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 　 4．（4分）若分式的值是零，則x的值是（　?。? A．x=﹣2 B．x=±3 C．2 D．x=3 【考點】分式的值為零的條件． 【分析】直接利用分式的值為0，則分子為0，進而得出答案． 【解答】解：∵分式的值是零， ∴x+2=0， 解得：x=﹣2． 故選：A． 【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關鍵． 　 5．（4分）長方形的面積為x2﹣2xy+x，其中一邊長是x，則另一邊長是（　?。? A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+1 【考點】整式的除法． 【專題】計算題；整式． 【分析】根據面積除以一邊長得到另一邊長即可． 【解答】解：根據題意得：（x2﹣2xy+x）÷x=x﹣2y+1， 故選D 【點評】此題考查了整式的除法，熟練掌握除法法則是解本題的關鍵． 　 6．（4分）如圖，E，B，F(xiàn)，C四點在一條直線上，EB=CF，∠A=∠D，再添一個條件仍不能證明△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE 【考點】全等三角形的判定． 【分析】由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本題具備了一組邊、一組角對應相等，為了再添一個條件仍不能證明△ABC≌△DEF，那么添加的條件與原來的條件可形成SSA，就不能證明△ABC≌△DEF了． 【解答】解：A、添加DE=AB與原條件滿足SSA，不能證明△ABC≌△DEF，故A選項正確． B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根據AAS能證明△ABC≌△DEF，故B選項錯誤． C、添加∠E=∠ABC，根據AAS能證明△ABC≌△DEF，故C選項錯誤． D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根據AAS能證明△ABC≌△DEF，故D選項錯誤． 故選：A． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角． 　 7．（4分）如圖所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，則PD等于（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 【考點】菱形的判定與性質；含30度角的直角三角形． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】過點P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再結合題目推出四邊形COMP為菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性質即可得PD． 【解答】解：如圖：過點P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO ∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA ∴四邊形COMP為菱形，PM=4 PM∥CO?∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°， 又∵PD⊥OA ∴PD=PC=2． 令解：作CN⊥OA． ∴CN=OC=2， 又∵∠CNO=∠PDO， ∴CN∥PD， ∵PC∥OD， ∴四邊形CNDP是長方形， ∴PD=CN=2 故選：C． 【點評】本題運用了平行線和直角三角形的性質，并且需通過輔助線求解，難度中等偏上． 　 8．（4分）如圖（1），是一個長為2a寬為2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的兩條對角軸剪開，把它分成四個全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一個新的正方形，則中間空白部分的面積是（　?。? A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2 【考點】完全平方公式的幾何背景． 【分析】先求出正方形的邊長，繼而得出面積，然后根據空白部分的面積=正方形的面積﹣矩形的面積即可得出答案． 【解答】解：由題意可得，正方形的邊長為（a+b）， 故正方形的面積為（a+b）2， 又∵原矩形的面積為4ab， ∴中間空的部分的面積=（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2． 故選C． 【點評】此題考查了完全平方公式的幾何背景，求出正方形的邊長是解答本題的關鍵，難度一般． 　 9．（4分） “五水共治”工程中，要挖掘一段a千米的排污管溝，如果由10個工人挖掘，要用m天完成；如果由一臺挖掘機工作，要比10個工人挖掘提前3天完成，一臺挖掘機的工作效率是一個工人工作效率的（　?。? A． B． C． D． 【考點】列代數式（分式）． 【分析】此題可利用工作總量作為相等關系，借助方程解題． 【解答】解：設一臺插秧機的工作效率為x，一個人工作效率為y． 則10my=（m﹣3）x． 所以=， 故選：D． 【點評】本題主要考查了列代數式的知識，列代數式的關鍵是正確理解文字語言中的關鍵詞，找到其中的數量關系，工程問題要有“工作效率”，“工作時間”，“工作總量”三個要素，數量關系為：工作效率×工作時間=工作總量． 　 10．（4分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P1（﹣y+1，x+1）叫做點P的伴隨點，已知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得到點A1，A2，A3，…，An，若點A1的坐標為（3，1），則點A2015的坐標為（　?。? A．（0，4） B．（﹣3，1） C．（0，﹣2） D．（3，1） 【考點】規(guī)律型：點的坐標． 【分析】根據伴隨點的定義，羅列出部分點A的坐標，根據點A的變化找出規(guī)律“A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（﹣3，1），A4n+4（0，﹣2）（n為自然數）”，根據此規(guī)律即可解決問題． 【解答】解：觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：A1（3，1），A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…， ∴A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（﹣3，1），A4n+4（0，﹣2）（n為自然數）． ∵2015=4×503+3， ∴點A2015的坐標為（﹣3，1）． 故選B． 【點評】本題考查了規(guī)律型中的點的坐標，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律“A4n+1（3，1），A4n+2（0，4），A4n+3（﹣3，1），A4n+4（0，﹣2）（n為自然數）”．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，羅列出部分點的坐標，根據點的坐標的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關鍵． 　 二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分 11．（5分）點A（﹣3，2）關于x軸的對稱點A′的坐標為　（﹣3，﹣2）?。? 【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標． 【分析】根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”解答． 【解答】解：點A（﹣3，2）關于x軸對稱的點的坐標為（﹣3，﹣2）． 故答案為：（﹣3，﹣2）． 【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律： （1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數； （2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數； （3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數． 　 12．（5分）因式分解：x2﹣4y2=?。▁+2y）（x﹣2y）　． 【考點】因式分解-運用公式法． 【分析】直接運用平方差公式進行因式分解． 【解答】解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）． 【點評】本題考查了平方差公式分解因式，熟記公式結構是解題的關鍵．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 　 13．（5分）等腰三角形一邊等于4，另一邊等于2，則周長是　10?。? 【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系． 【分析】因為等腰三角形的兩邊分別為4和2，但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分類討論． 【解答】解：當4為底時，其它兩邊都為2，2、2、4不可以構成三角形； 當4為腰時，其它兩邊為4和2，4、4、2可以構成三角形，周長為10， 故答案為：10． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形三邊關系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論． 　 14．（5分）若a﹣b=5，ab=3，則a2+b2=　31?。? 【考點】完全平方公式． 【專題】計算題；整式． 【分析】把a﹣b=5兩邊平方，利用完全平方公式化簡，將ab=3代入即可求出所求式子的值． 【解答】解：把a﹣b=5兩邊平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=25， 將ab=3代入得：a2+b2=31， 故答案為：31 【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵． 　 15．（5分）當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個直角三角形為“特征三角形”，那么它的“特征角”等于　90或60　度． 【考點】三角形內角和定理． 【分析】根據“特征角”的定義，結合直角三角形的性質即可得出結論． 【解答】解：①“特征角”α為90°； ②“特征角”與“另一個內角”都不是直角時，設“特征角是2x”， 由題意得，x+2x=90°， 解得：x=30°， 所以，“特征角”是60°， 綜上所述，這個“特征角”的度數為90°或60°． 故答案為：90或60． 【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵． 　 16．（5分）如圖，把面積為1的等邊△ABC的三邊分別向外延長m倍，得到△A1B1C1，那么△A1B1C1的面積是　3m2+3m+1　（用含m的式子表示） 【考點】等邊三角形的性質． 【分析】連接AB1，BC1，CA1，根據等底等高的三角形的面積相等求出△ABB1，△A1AB1的面積，從而求出△A1BB1的面積，同理可求△B1CC1的面積，△A1AC1的面積，然后相加即可得解． 【解答】解：如圖，連接AA1，B1C2，BC1，如圖所示： ∵把面積為1的等邊△ABC的三邊分別向外延長m倍， ∴△A1 AB的面積=△BC2C1 的面積=△AB1C2的面積=m×1=m， 同理：△A1B1 A的面積=△B1 C1 C2 的面積=△A1 BC1 的面積=m×m=m2， ∴△A1B1C1的面積=3m2+3m+1； 故答案為：3m2+3m+1． 【點評】本題考查了三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，作輔助線把三角形進行分割是解題的關鍵． 　 三、解答題（本題有8小題，第17-20題每題8分，第21題10分，第22、23題每題12分，第24題14分，共80分 17．（4分）分解因式：4xy2+4x2y+y3． 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【分析】首先提取公因式y(tǒng)，進而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：4xy2+4x2y+y3 =y（4xy+4x2+y2） =y（y+2x）2． 【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵． 　 18．（4分）解方程：． 【考點】解分式方程． 【專題】計算題． 【分析】觀察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可確定方程最簡公分母為：（x﹣2），然后去分母將分式方程化成整式方程求解．注意檢驗． 【解答】解：方程兩邊同乘以（x﹣2）， 得：x﹣3+（x﹣2）=﹣3， 解得x=1， 檢驗：x=1時，x﹣2≠0， ∴x=1是原分式方程的解． 【點評】（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要驗根． （3）去分母時有常數項的不要漏乘常數項． 　 19．（8分）先化簡再求值：（﹣）÷，其中x=3． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】先約分化簡，再計算括號，最后代入化簡即可． 【解答】解：原式=[﹣}× =（）× =× =﹣， 當x=3時，原式=﹣1 【點評】本題考查分式的混合運算、乘法公式等知識，解題的關鍵是靈活掌握分式的混合運算法則，注意簡便運算，屬于中考?？碱}型． 　 20．（8分）在△ABC中，D是BC邊上的中點，F(xiàn)、E分別是AD及其延長線上的點，CF∥BE．求證：CF=BE． 【考點】全等三角形的判定與性質． 【專題】證明題． 【分析】利用CF∥BE和D是BC邊的中點可以得到全等條件證明△BDE≌△CDF，從而得出結論． 【解答】證明：∵D是BC邊上的中點， ∴BD=CD， 又∵CF∥BE， ∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD ∴△BDE≌△CFD， ∴CF=BE． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，難度適中． 　 21．（8分）一個等腰直角三角板如圖擱置在兩柜之間，且點D，C，E在同一直線上，已知稍高的柜高AD為80cm，兩柜距離DE為140cm．求稍矮的柜高BE． 【考點】全等三角形的應用． 【分析】首先證明△ADC≌△CEB，根據全等三角形的性質可得AD=CE，DC=BE，進而可得CE的長，然后可得DC的長度，從而求出BE長． 【解答】解：由題意得：∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，AC=BC， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∵∠BEC=90°， ∴∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE， 在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE， ∵AD=80cm， ∴CE=80cm， ∵DE=140cm， ∴DC=60cm， ∴BE=60cm． 【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 　 22．（10分）某校為了豐富學生的校園生活，準備購進一批籃球和足球．其中籃球的單價比足球的單價多40元，用1500元購進的籃球個數與900元購進的足球個數相等． （1）籃球和足球的單價各是多少元？ （2）該校打算用800元購買籃球和足球，恰好用完800元，問有哪幾種購買方案？ 【考點】分式方程的應用；二元一次方程的應用． 【分析】（1）設足球單價為x元，則籃球單價為（x+40）元，根據題意可得等量關系：1500元購進的籃球個數=900元購進的足球個數，由等量關系可得方程，再求解即可； （2）設恰好用完800元，可購買籃球m個和購買足球n個，根據題意可得籃球的單價×籃球的個數m+足球的單價×足球的個數n=800，再求出整數解即可得出答案． 【解答】解：設足球單價為x元，則籃球單價為（x+40）元，由題意得： =， 解得：x=60， 經檢驗：x=60是原分式方程的解， 則x+40=100， 答：籃球和足球的單價各是100元，60元； （2）設恰好用完800元，可購買籃球m個和購買足球n個， 由題意得：100m+60n=800， 整理得：m=8﹣n， ∵m、n都是正整數， ∴①n=5時，m=5，②n=10時，m=2； ∴有兩種方案： ①購買籃球5個，購買足球5個； ②購買籃球2個，購買足球10個． 【點評】此題主要考查了分式方程和二元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程． 　 23．（12分）探究題： （1）　各個角　都相等，　各條邊　都相等的多邊形叫做正多邊形； （2）如圖，格點長方形MNPQ的各點分布在邊長均為1的等邊三角形組成的網格上，請在格點長方形MNPQ內畫出一個面積最大的格點正六邊形ABCDEF，并簡要說明它是正六邊形的理由； （3）正六邊形有　9　條對角線，它的外角和為　360　度． 【考點】正多邊形和圓． 【分析】（1）直接用正多邊形的定義得出結論即可； （2）用網格線的特征和正六邊形的性質，畫出圖形即可； （3）根據多邊形的對角線條數的確定方法和多邊形的外角和定理即可． 【解答】解：（1）由正多邊形的定義：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形； 故答案為：各個角；各條邊； （2）如圖， ∵AB=2，BC=2，CD=2，DE=2，EF=2，F(xiàn)A=2， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∵網格是等邊三角形的網格， ∴∠FAB=2×60°=120°， 同理：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°， ∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°， ∴六邊形ABCDEFA是正六邊形． 最大面積為24； （3）正六邊形的對角線條數為=9， ∵多邊形的外角和是360°， ∴正六邊形的外角和為360°， 故答案為：9；360°． 【點評】此題是正多邊形和圓，主要考查了正多邊形的定義，正六邊形的性質，網格線的特點，多邊形的對角線的確定和多邊形的外角和定理，解本題的關鍵掌握正六邊形的性質． 　 24．（12分）閱讀理解：（請仔細閱讀，認真思考，靈活應用） 【例】已知實數x滿足x+=4，求分式的值． 解：觀察所求式子的特征，因為x≠0，我們可以先求出的倒數的值， 因為=x+3+=x++3=4+3=7 所以= 【活學活用】 （1）已知實數a滿足a+=﹣5，求分式的值； （2）已知實數x滿足x+=9，求分式的值． 【考點】分式的值． 【專題】閱讀型；分式． 【分析】（1）原式變形后，將已知等式代入計算即可求出值； （2）原式變形后，將已知等式代入計算即可求出值． 【解答】解：（1）∵a+=﹣5， ∴=3a+5+=3（a+）+5=﹣15+5=﹣10； （2）∵x+=9， ∴x+1≠0，即x≠﹣1， ∴x+1+=10， ∵==x+1++3=10+3=13， ∴=． 【點評】此題考查了分式的值，將所求式子就行適當的變形是解本題的關鍵． 　 25．（14分）有公共頂點A的△ABD，△ACE都是的等邊三角形． （1）如圖1，將△ACE繞頂點A旋轉，當E，C，B共線時，求∠BCD的度數； （2）如圖2，將△ACE繞頂點A旋轉，當∠ACD=90°時，延長EC角BD于F， ①求證：∠DCF=∠BEF； ②寫出線段BF與DF的數量關系，并說明理由． 【考點】三角形綜合題． 【分析】（1）先由等邊三角形得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，從而判斷出∠DAC=∠BAE，得到△DAC≌△BAE，最后用平角的定義即可； （2）①同（1）的方法判斷出△DAC≌△BAE，再用直角三角形的性質即可； ②作出輔助線，利用①的結論即可得出DF=BF． 【解答】解：∵△ABD，ACE都是等邊三角形， ∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ∴△DAC≌△BAE， ∴∠ACD=∠E=60°， ∵E，C，B共線， ∴∠BCD=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=60°； （2）①∵△ABD，ACE都是等邊三角形， ∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE ∵∠DAC=∠DAB﹣∠BAC，∠BAE=∠CAE﹣∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ∴△DAC≌△BAE， ∴∠AEB=∠ACD=90°， ∴∠BEC=∠AEB﹣∠AEC=90°﹣60°=30°， ∵∠DCF=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=30°， ∴∠DCF=∠BEF； ②DF=BF， 理由：如圖， 在EF上取一點G，使BG=BF， ∴∠GFB=∠FGB， ∴∠DFC=∠BGE， 由（1）知，△DAC≌△BAE，CD=EB， ∠DCF=∠BEC， ∴△DCF≌△BGE， ∴DF=BG， ∴DF=BF． 【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，解本題的關鍵是∠DAC=∠BAE． 第24頁（共24頁）