全國(guó)各地2015年中考數(shù)學(xué)試卷解析分類(lèi)匯編(第2期)專(zhuān)題31 點(diǎn)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

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1、點(diǎn)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 一.選擇題 1.(2015?棗莊,第11題3分)如圖,一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等.⊙O與BC相切于點(diǎn)C,與AC相交于點(diǎn)E,則CE的長(zhǎng)為(  )   A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1.5cm 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).. 分析: 連接OC,并過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE于F,求出等邊三角形的高即可得出圓的直徑,繼而得出OC的長(zhǎng)度,在Rt△OFC中,可得出FC的長(zhǎng),利用垂徑定理即可得出CE的長(zhǎng). 解答: 解:連接OC,并過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE于F, ∵△ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)為4cm,

2、 ∴△ABC的高為2cm, ∴OC=cm, 又∵∠ACB=60°, ∴∠OCF=30°, 在Rt△OFC中,可得FC=cm, 即CE=2FC=3cm. 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識(shí),題目不是太難,屬于基礎(chǔ)性題目. 2.(2015?湖南湘西州,第15題,4分)⊙O的半徑為5cm,點(diǎn)A到圓心O的距離OA=3cm,則點(diǎn)A與圓O的位置關(guān)系為(  )   A.點(diǎn)A在圓上 B. 點(diǎn)A在圓內(nèi) C. 點(diǎn)A在圓外 D. 無(wú)法確定 考點(diǎn): 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.. 分析: 根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷. 解答: 解:∵

3、⊙O的半徑為5cm,點(diǎn)A到圓心O的距離為3cm, 即點(diǎn)A到圓心O的距離小于圓的半徑, ∴點(diǎn)A在⊙O內(nèi). 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:設(shè)⊙O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離OP=d,則有點(diǎn)P在圓外?d>r;點(diǎn)P在圓上?d=r;點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r.   3 (2015年浙江衢州10,3分)如圖,已知等腰,以為直徑的圓交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的的切線(xiàn)交于點(diǎn),若,則的半徑是【 】 A.    B.     C.     D. 【答案】D. 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);切線(xiàn)的性質(zhì);平行的判定和性質(zhì);矩形的判定和性質(zhì);勾股定理;方程思想的應(yīng)

4、用. 【分析】如答圖,連接,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn), ∵,∴. ∵,∴.∴.∴. ∵是的切線(xiàn),∴.∴. ∴,且四邊形是矩形. ∵,∴由勾股定理,得. 設(shè)的半徑是, 則. ∴由勾股定理,得,即,解得. ∴的半徑是. 故選D. 4.(2015?山東萊蕪,第12題3分)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,以BC為直徑的⊙O與AD相切,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(  ) (1)AB+CD=AD; (2)S△BCE=S△ABE+S△DCE; (3)AB?CD=; (4)∠ABE=∠DCE.   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考點(diǎn): 圓

5、的綜合題.. 分析: 設(shè)DC和半圓⊙O相切的切點(diǎn)為F,連接OF,根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可. 解答: 解:設(shè)DC和半圓⊙O相切的切點(diǎn)為F, ∵在直角梯形ABCD中AB∥CD,AB⊥BC, ∴∠ABC=∠DCB=90°, ∵AB為直徑, ∴AB,CD是圓的切線(xiàn), ∵AD與以AB為直徑的⊙O相切, ∴AB=AF,CD=DF, ∴AD=AE+DE=AB+CD,故①正確; 如圖1,連接OE, ∵AE=DE,BO=CO, ∴OE∥AB∥CD,OE=(AB+CD), ∴OE⊥BC, ∴S△BCE=BC?OE=(AB+CD)=(AB+CD)?BC==S△

6、ABE+S△DCE, 故②正確; 如圖2,連接AO,OD, ∵AB∥CD, ∴∠BAD+∠ADC=180°, ∵AB,CD,AD是⊙O的切線(xiàn), ∴∠OAD+∠EDO=(∠BAD+∠ADC)=90°, ∴∠AOD=90°, ∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°, ∴∠BAO=∠DOC, ∴△ABO∽△CDO, ∴, ∴AB?CD=OB?OC=BCBC=BC2,故③正確, 如圖1,∵OB=OC,OE⊥BC, ∴BE=CE, ∴∠BEO=∠CEO, ∵AB∥OE∥CD, ∴∠ABE=∠BEO,∠DCE=∠OEC, ∴∠ABE=∠DCE,故④正確, 綜

7、上可知正確的個(gè)數(shù)有4個(gè), 故選D. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理,做到靈活運(yùn)用. 5、(2015年四川省達(dá)州市中考,10,3分)如圖,AB為半圓O的在直徑,AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn),CD切⊙O于點(diǎn)E,連接OD、OC,下列結(jié)論:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③S△AOD:S△BOC=AD2:AO2,④OD:OC=DE:EC,⑤OD2=DE?CD,正確的有( ?。?   A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè) 考點(diǎn):

8、切線(xiàn)的性質(zhì);切線(xiàn)長(zhǎng)定理;相似三角形的判定與性質(zhì).. 分析: 連接OE,由AD,DC,BC都為圓的切線(xiàn),根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到三個(gè)角為直角,且利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代換可得出CD=AD+BC,選項(xiàng)②正確;由AD=ED,OD為公共邊,利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而這四個(gè)角之和為平角,可得出∠DOC為直角,選項(xiàng)⑤正確;由∠DOC與∠DEO都為直角,再由一對(duì)公共角相等,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似,可得出三角形DEO與三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE?CD,

9、選項(xiàng)①正確;由△AOD∽△BOC,可得===,選項(xiàng)③正確;由△ODE∽△OEC,可得,選項(xiàng)④正確. 解答: 解:連接OE,如圖所示: ∵AD與圓O相切,DC與圓O相切,BC與圓O相切, ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°, ∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC, ∴CD=DE+EC=AD+BC,選項(xiàng)②正確; 在Rt△ADO和Rt△EDO中,, ∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL), ∴∠AOD=∠EOD, 同理Rt△CEO≌Rt△CBO, ∴∠EOC=∠BOC, 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°, ∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC

10、=90°,選項(xiàng)⑤正確; ∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC, ∴△EDO∽△ODC, ∴=,即OD2=DC?DE,選項(xiàng)①正確; ∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°, ∠A=∠B=90°, ∴△AOD∽△BOC, ∴===,選項(xiàng)③正確; 同理△ODE∽△OEC, ∴,選項(xiàng)④正確; 故選D. 點(diǎn)評(píng): 此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì),切線(xiàn)長(zhǎng)定理,相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵. 二.填空題 1、(2015年浙江省義烏市中考,14,5分)在Rt△ABC中,∠C=90°,B

11、C=3,AC=4,點(diǎn)P在以C為圓心,5為半徑的圓上,連結(jié)PA,PB。若PB=4,則PA的長(zhǎng)為 ▲ 考點(diǎn):點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;勾股定理;垂徑定理.. 專(zhuān)題:分類(lèi)討論. 分析:連結(jié)CP,PB的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙C于P′,如圖,先計(jì)算出CB2+PB2=CP2,則根據(jù)勾股定理的逆定理得∠CBP=90°,再根據(jù)垂徑定理得到PB=P′B=4,接著證明四邊形ACBP為矩形,則PA=BC=3,然后在Rt△APP′中利用勾股定理計(jì)算出P′A=,從而得到滿(mǎn)足條件的PA的長(zhǎng)為3或. 解答:解:連結(jié)CP,PB的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙C于P′,如圖, ∵CP=5,CB=3,PB=4, ∴CB2+PB2=CP2, ∴△CP

12、B為直角三角形,∠CBP=90°, ∴CB⊥PB, ∴PB=P′B=4, ∵∠C=90°, ∴PB∥AC, 而PB=AC=4, ∴四邊形ACBP為矩形, ∴PA=BC=3, 在Rt△APP′中,∵PA=3,PP′=8, ∴P′A==, ∴PA的長(zhǎng)為3或. 故答案為3或. 點(diǎn)評(píng):本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系,反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.也考查了垂徑定理和勾股定理. 2.(2015?山東泰安,第24題3分)如圖,AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H,過(guò)CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)E作⊙O的切線(xiàn),切點(diǎn)

13、為F.若∠ACF=65°,則∠E= 50°?。? 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì).. 分析: 連接DF,連接AF交CE于G,由AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H,得到,由于EF是⊙O的切線(xiàn),推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根據(jù)外角的性質(zhì)和圓周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°,于是得到結(jié)果. 解答: 解:連接DF,連接AF交CE于G, ∵AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H, ∴, ∵EF是⊙O的切線(xiàn), ∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°, ∵∠FGD=∠FCD+∠CFA, ∵∠DFE=∠DCF, ∠GFD=∠AFC, ∠EFG=∠EGF

14、=65°, ∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°, 故答案為:50°. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì),圓周角定理,垂徑定理,正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵. 3.(2015?煙臺(tái),第18題3分)如圖,直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交于AB兩點(diǎn),點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn),一點(diǎn)M為圓心,2個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙M,當(dāng)⊙M與直線(xiàn)想切時(shí),的值為_(kāi)_______________。 考點(diǎn): 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、坐標(biāo)的計(jì)算 分析: 先求出直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),然后利用直線(xiàn)與圓M相切,要注意考慮有兩種情況,再用相似三角形的性質(zhì)來(lái)求BM的長(zhǎng)度,進(jìn)而求出m的值 解答: 直

15、線(xiàn)與y軸、x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,1),B(2,0),由勾股定理可得AB=如圖(1)當(dāng)圓M與直線(xiàn)AB相切于點(diǎn)C時(shí),△AOB∽△MCB,,即,解得BM=2所以m=BM-OB=2-2.如圖(2)△AOB∽△MDB,, ,解得BM=2m= BM+ OB =2+2. 點(diǎn)評(píng): 本題為圓與相似的綜合題,應(yīng)用了坐標(biāo)的求法、相似形三角形的性質(zhì)、勾股定理、直線(xiàn)與圓的關(guān)系等知識(shí)。特別是直線(xiàn)AB與⊙M相切有兩種情形,具有較強(qiáng)的區(qū)分度。 4.(2015?甘肅天水,第11題,4分)相切兩圓的半徑分別是5和3,則該兩圓的圓心距是 2或8?。? 考點(diǎn): 圓與圓的位置關(guān)系. 專(zhuān)題: 計(jì)算題. 分

16、析: 根據(jù)兩圓內(nèi)切或外切兩種情況,求出圓心距即可. 解答: 解:若兩圓內(nèi)切,圓心距為5﹣3=2; 若兩圓外切,圓心距為5+3=8, 故答案為:2或8 點(diǎn)評(píng): 此題考查了圓與圓的位置關(guān)系,利用了分類(lèi)討論的思想,分類(lèi)討論時(shí)做到不重不漏,考慮問(wèn)題要全面.   5.(2015?湖南湘西州,第8題,4分)如圖,在⊙O中,∠OAB=45°,圓心O到弦AB的距離OE=2cm,則弦AB的長(zhǎng)為 4 cm. 考點(diǎn): 垂徑定理;等腰直角三角形.. 分析: 首先由垂徑定理可知:AE=BE,然后再在Rt△AOE中,由特殊銳角三角函數(shù)可求得AE=OE=2,從而可求得弦AB的長(zhǎng). 解答: 解:∵O

17、E⊥AB, ∴AE=EB 在Rt△AOE中,∠OAB=45°, ∴tan∠OAB=, ∴AE=OE=2. ∴AB=2AE=2×2=4. 故答案為:4cm. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查的是銳角三角函數(shù)和垂徑定理的應(yīng)用,掌握垂徑定理和特殊銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.   6.(2015?江蘇鎮(zhèn)江,第10題,2分)如圖,AB是⊙O的直徑,OA=1,AC是⊙O的弦,過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,若BD=﹣1,則∠ACD= 112.5 °. 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì).. 分析: 如圖,連結(jié)OC.根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OC⊥DC,根據(jù)線(xiàn)段的和差故選得到OD=,根據(jù)勾股定理得到CD=1,根

18、據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠DOC=45°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得到∠OCA=∠DOC=22.5°,再根據(jù)角的和差故選得到∠ACD的度數(shù). 解答: 解:如圖,連結(jié)OC. ∵DC是⊙O的切線(xiàn), ∴OC⊥DC, ∵BD=﹣1,OA=OB=OC=1, ∴OD=, ∴CD===1, ∴OC=CD, ∴∠DOC=45°, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DOC=22.5°, ∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°. 故答案為:112.5. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì),勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì).本題關(guān)鍵

19、是得到△OCD是等腰直角三角形. 7.(2015?鄂州, 第15題3分)已知點(diǎn)P是半徑為1的⊙O外一點(diǎn),PA切⊙O于點(diǎn)A,且PA=1,AB是⊙O的弦,AB=,連接PB,則PB= 1或?。? 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì). 專(zhuān)題: 分類(lèi)討論. 分析: 本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論: (1)如圖1,可以根據(jù)已知條件證明△POA≌△POB,然后即可求出PB; (2)如圖2,此時(shí)可以根據(jù)已知條件證明PABO是平行四邊形,然后利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理即可求出PB. 解答: 解:連接OA, (1)如圖1,連接OA, ∵PA=AO=1,OA=OB,PA是⊙的切線(xiàn), ∴∠AOP=45°∵OA

20、=OB, ∴∠BOP=∠AOP=45°, 在△POA與△POB中,, ∴△POA≌△POB, ∴PB=PA=1; (2)如圖2,連接OA,與PB交于C, ∵PA是⊙O的切線(xiàn), ∴OA⊥PA, 而PA=AO=,1 ∴OP=; ∵AB=, 而OA=OB=1, ∴AO⊥BO, ∴四邊形PABO是平行四邊形, ∴PB,AO互相平分; 設(shè)AO交PB與點(diǎn)C, 即OC=, ∴BC=, ∴PB=. 故答案為:1或. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理,全等三角形的性質(zhì)與判定,平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識(shí),綜合性比較強(qiáng),注意分類(lèi)討論,不要漏解. 8.

21、 (2015?江蘇鹽城,第16題3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓,若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi),且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外,則r的取值范圍是 3<r<5 . 考點(diǎn): 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系. 分析: 要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,主要根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行判斷.當(dāng)d>r時(shí),點(diǎn)在圓外;當(dāng)d=r時(shí),點(diǎn)在圓上;當(dāng)d<r時(shí),點(diǎn)在圓內(nèi). 解答: 解:在直角△ABD中,CD=AB=4,AD=3, 則BD==5. 由圖可知3<r<5. 故答案為:3<r<5. 點(diǎn)評(píng): 此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,解決本題要注意

22、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,要熟悉勾股定理,及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系. 三.解答題 1.(2015?湖北, 第25題10分)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),AE和過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)互相垂直,垂足為E,AE交⊙O于點(diǎn)D,直線(xiàn)EC交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,連接AC,BC,PB:PC=1:2. (1)求證:AC平分∠BAD; (2)探究線(xiàn)段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由; (3)若AD=3,求△ABC的面積. 考點(diǎn): 圓的綜合題. 分析: (1)首先連接OC,由PE是⊙O的切線(xiàn),AE和過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)互相垂直,可證得OC∥AE,又由OA=OC,易證得∠DAC=∠OAC,即可得AC平分∠B

23、AD; (2)由AB是⊙O的直徑,PE是切線(xiàn),可證得∠PCB=∠PAC,即可證得△PCB∽△PAC,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與PB:PC=1:2,即可求得答案; (3)首先過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H,則AH=AD=,四邊形OCEH是矩形,即可得AE=+OC,由OC∥AE,可得△PCO∽△PEA,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得OC的長(zhǎng),再由△PBC∽△PCA,證得AC=2BC,然后在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,可得(2BC)2+BC2=52,即可求得BC的長(zhǎng),繼而求得答案. 解答: (1)證明:連接OC, ∵PE是⊙O的切線(xiàn), ∴OC⊥PE, ∵AE⊥PE,

24、∴OC∥AE, ∴∠DAC=∠OCA, ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC, ∴∠DAC=∠OAC, ∴AC平分∠BAD; (2)線(xiàn)段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系為:AB=3PB. 理由:∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°, ∴∠BAC+∠ABC=90°, ∵OB=OC, ∴∠OCB=∠ABC, ∵∠PCB+∠OCB=90°, ∴∠PCB=∠PAC, ∵∠P是公共角, ∴△PCB∽△PAC, ∴, ∴PC2=PB?PA, ∵PB:PC=1:2, ∴PC=2PB, ∴PA=4PB, ∴AB=3PB; (3)解:過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H,則A

25、H=AD=,四邊形OCEH是矩形, ∴OC=HE, ∴AE=+OC, ∵OC∥AE, ∴△PCO∽△PEA, ∴, ∵AB=3PB,AB=2OB, ∴OB=PB, ∴=, ∴OC=, ∴AB=5, ∵△PBC∽△PCA, ∴, ∴AC=2BC, 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, ∴(2BC)2+BC2=52, ∴BC=, ∴AC=2, ∴S△ABC=AC?BC=5. 點(diǎn)評(píng): 此題屬于圓的綜合題,考查了圓周角定理、切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)是解此題的關(guān)鍵. 2.(2015?衡陽(yáng), 第26題8分)如圖

26、,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E. (1)求證:CE是⊙O的切線(xiàn); (2)判斷四邊形AOCD是否為菱形?并說(shuō)明理由. 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定;菱形的判定. 分析: (1)連接AC,由題意得==,∠DAC=∠CAB,即可證明AE∥OC,從而得出∠OCE=90°,即可證得結(jié)論; (2)四邊形AOCD為菱形.由=,則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形,再由OA=OC,即可證明平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形); 解答: 解:(1)連接AC, ∵點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn), ∴==, ∴

27、∠DAC=∠CAB, ∵OA=OC, ∴∠CAB=∠OCA, ∴∠DAC=∠OCA, ∴AE∥OC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行) ∴∠OCE=∠E, ∵CE⊥AD, ∴∠OCE=90°, ∴OC⊥CE, ∴CE是⊙O的切線(xiàn); (2)四邊形AOCD為菱形. 理由是: ∵=, ∴∠DCA=∠CAB, ∴CD∥OA, 又∵AE∥OC, ∴四邊形AOCD是平行四邊形, ∵OA=OC, ∴平行四邊形AOCD是菱形. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì),是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容.   3.(2015?鄂州, 第22

28、題9分)如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分線(xiàn),∠ABC的平分線(xiàn) BM交AE于點(diǎn)M,點(diǎn)O在AB上,以點(diǎn)O為圓心,OB的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,交 AB于點(diǎn)F. (1)求證:AE為⊙O的切線(xiàn). (2)當(dāng)BC=8,AC=12時(shí),求⊙O的半徑. (3)在(2)的條件下,求線(xiàn)段BG的長(zhǎng). 考點(diǎn): 圓的綜合題. 分析: (1)連接OM.利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線(xiàn); (2)設(shè)⊙O的半徑為R,根據(jù)OM∥BE,得到△OMA∽△BEA,利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得到=,即可解得R=3,從而求得⊙O的半徑為3; (3)過(guò)點(diǎn)O作O

29、H⊥BG于點(diǎn)H,則BG=2BH,根據(jù)∠OME=∠MEH=∠EHO=90°,得到四邊形OMEH是矩形,從而得到HE=OM=3和BH=1,證得結(jié)論BG=2BH=2. 解答: (1)證明:連接OM. ∵AC=AB,AE平分∠BAC, ∴AE⊥BC,CE=BE=BC=4, ∵OB=OM, ∴∠OBM=∠OMB, ∵BM平分∠ABC, ∴∠OBM=∠CBM, ∴∠OMB=∠CBM, ∴OM∥BC 又∵AE⊥BC, ∴AE⊥OM, ∴AE是⊙O的切線(xiàn); (2)設(shè)⊙O的半徑為R, ∵OM∥BE, ∴△OMA∽△BEA, ∴=即=, 解得R=3, ∴⊙O的半徑為3;

30、 (3)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H,則BG=2BH, ∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°, ∴四邊形OMEH是矩形, ∴HE=OM=3, ∴BH=1, ∴BG=2BH=2. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了圓的綜合知識(shí),題目中還運(yùn)用到了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),綜合性較強(qiáng),難度較大.   4. (2015?江蘇南通,第24題8分)如圖,PA,PB分別與⊙O相切于A,B兩點(diǎn),∠ACB=60°. (1)求∠P的度數(shù); (2)若⊙O的半徑長(zhǎng)為4cm,求圖中陰影部分的面積. 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算.. 分析: (1)由PA與PB都為圓O的切線(xiàn),利用切線(xiàn)

31、的性質(zhì)得到OA垂直于AP,OB垂直于BP,可得出兩個(gè)角為直角,再由同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍,由已知∠C的度數(shù)求出∠AOB的度數(shù),在四邊形PABO中,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求出∠P的度數(shù). (2)由S陰影=2×(S△PAO﹣S扇形)則可求得結(jié)果. 解答: 解:連接OA、OB, ∵PA、PB是⊙O的切線(xiàn), ∴OA⊥AP,OB⊥BP, ∴∠OAP=∠OBP=90°, 又∵∠AOB=2∠C=120°, ∴∠P=360°﹣(90°+90°+120°)=60°. ∴∠P=60°. (2)連接OP, ∵PA、PB是⊙O的切線(xiàn), ∴APB=30°, 在RT△APO中,t

32、an30°=, ∴AP===4cm, ∴S陰影=2S△AOP﹣S扇形=2×(×4×﹣)=(16﹣)(cm2). 點(diǎn)評(píng): 此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì),解直角三角函數(shù),扇形面積公式等知識(shí).此題難度不大,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 5. (2015?江蘇泰州,第24題10分)如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D,與CA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F. (1)試說(shuō)明DF是⊙O的切線(xiàn); (2)若AC=3AE,求tanC. 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定.. 分析: (1)連接OD,根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠ODB,∠B=∠C,得出∠ODB=∠C,證得

33、OD∥AC,證得OD⊥DF,從而證得DF是⊙O的切線(xiàn); (2)連接BE,AB是直徑,∠AEB=90°,根據(jù)勾股定理得出BE=2AE,CE=4AE,然后在RT△BEC中,即可求得tanC的值. 解答: (1)證明:連接OD, ∵OB=OD, ∴∠B=∠ODB, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠ODB=∠C, ∴OD∥AC, ∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF, ∴DF是⊙O的切線(xiàn); (2)解:連接BE, ∵AB是直徑, ∴∠AEB=90°, ∵AB=AC,AC=3AE, ∴AB=3AE,CE=4AE, ∴BE==2AE, 在RT△BEC中,tanC===.

34、 點(diǎn)評(píng): 本題考查了等腰三角形的性質(zhì),平行線(xiàn)的判定和性質(zhì),切線(xiàn)的判定,勾股定理的應(yīng)用以及直角三角函數(shù)等,是一道綜合題,難度中等. 6. (2015?江蘇鹽城,第23題10分)如圖,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在邊AC上,且滿(mǎn)足ED=EA. (1)求∠DOA的度數(shù); (2)求證:直線(xiàn)ED與⊙O相切. 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定. 分析: (1)根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論; (2)連接OE,通過(guò)△EAO≌△EDO,即可得到∠EDO=90°,于是得到結(jié)論. 解答: (1)解;∵∠DBA=50°, ∴∠DOA=2∠DBA=1

35、00°, (2)證明:連接OE. 在△EAO與△EDO中,, ∴△EAO≌△EDO, ∴∠EDO=∠EAO, ∵∠BAC=90°, ∴∠EDO=90°, ∴DE與⊙O相切. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的判定,全等三角形的判定和性質(zhì),連接OE構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵. 7.(2015?棗莊,第24題10分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn),連接DE,OE. (1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由; (2)求證:BC2=CD?2OE; (3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的長(zhǎng).

36、 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定;相似三角形的判定與性質(zhì).. 分析: (1)連接OD,BD,由AB為圓O的直徑,得到∠ADB為直角,可得出三角形BCD為直角三角形,E為斜邊BC的中點(diǎn),利用斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半,得到CE=DE,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,再由OA=OD,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,由直角三角形ABC中兩銳角互余,利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余,可得出∠ODE為直角,即DE垂直于半徑OD,可得出DE為圓O的切線(xiàn); (2)證明OE是△ABC的中位線(xiàn),則AC=2OE,然后證明△ABC∽△BDC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,即可證得; (3)在直角△ABC

37、中,利用勾股定理求得AC的長(zhǎng),根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理OE的長(zhǎng)即可求得. 解答: (1)證明:連接OD,BD, ∵AB為圓O的直徑, ∴∠ADB=90°, 在Rt△BDC中,E為斜邊BC的中點(diǎn), ∴CE=DE=BE=BC, ∴∠C=∠CDE, ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO, ∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°, ∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°, ∴DE⊥OD,又OD為圓的半徑, ∴DE為⊙O的切線(xiàn); (2)證明:∵E是BC的中點(diǎn),O點(diǎn)是AB的中點(diǎn), ∴OE是△ABC的中位線(xiàn), ∴AC=2OE, ∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,

38、∴△ABC∽△BDC, ∴=,即BC2=AC?CD. ∴BC2=2CD?OE; (3)解:∵cos∠BAD=, ∴sin∠BAC==, 又∵BE=6,E是BC的中點(diǎn),即BC=12, ∴AC=15. 又∵AC=2OE, ∴OE=AC=. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的判定,垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn),已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可. 8.(2015·湖北省隨州市,第22題8分)如圖,射線(xiàn)PA切⊙O于點(diǎn)A,連接PO. (1)在PO的上方作射線(xiàn)PC,使∠OPC=∠OPA(用尺規(guī)在原圖中作,保留痕跡,不寫(xiě)作

39、法),并證明:PC是⊙O的切線(xiàn); (2)在(1)的條件下,若PC切⊙O于點(diǎn)B,AB=AP=4,求的長(zhǎng). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定與性質(zhì);弧長(zhǎng)的計(jì)算;作圖—基本作圖.. 分析: (1)按照作一個(gè)角等于已知角的作圖方法作圖即可,連接OA,作OB⊥PC,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線(xiàn); (2)首先證明△PAB是等邊三角形,則∠APB=60°,進(jìn)而∠POA=60°,在Rt△AOP中求出OA,用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可. 解答: 解:(1)作圖如右圖, 連接OA,過(guò)O作OB⊥PC, ∵PA切⊙O于點(diǎn)A, ∴OA⊥PA, 又∵∠OPC=∠OPA,OB⊥PC,

40、∴OA=OB,即d=r, ∴PC是⊙O的切線(xiàn); (2)∵PA、PC是⊙O的切線(xiàn), ∴PA=PB, 又∵AB=AP=4, ∴△PAB是等邊三角形, ∴∠APB=60°, ∴∠AOB=120°,∠POA=60°, 在Rt△AOP中,tan60°= ∴OA= ∴==. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了尺規(guī)作圖、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及弧長(zhǎng)的計(jì)算,求出圓心角和半徑長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.   9.(2015·湖北省咸寧市,第21題9分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑的圓恰好與BC相切于點(diǎn)D,分別交AC、AB于點(diǎn)E

41、、F. (1)若∠B=30°,求證:以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形. (2)若AC=6,AB=10,連結(jié)AD,求⊙O的半徑和AD的長(zhǎng). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì);菱形的判定與性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).. 分析: (1)連接OD、OE、ED.先證明△AOE是等邊三角形,得到AE=AO=0D,則四邊形AODE是平行四邊形,然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形; (2)連接OD、DF.先由△OBD∽△ABC,求出⊙O的半徑,然后證明△ADC∽△AFD,得出AD2=AC?AF,進(jìn)而求出AD. 解答: (1)證明:如圖1,連接OD、OE、ED. ∵BC與⊙O相切于一點(diǎn)

42、D, ∴OD⊥BC, ∴∠ODB=90°=∠C, ∴OD∥AC, ∵∠B=30°, ∴∠A=60°, ∵OA=OE, ∴△AOE是等邊三角形, ∴AE=AO=0D, ∴四邊形AODE是平行四邊形, ∵OA=OD, ∴四邊形AODE是菱形. (2)解:設(shè)⊙O的半徑為r. ∵OD∥AC, ∴△OBD∽△ABC. ∴,即8r=6(8﹣r). 解得r=, ∴⊙O的半徑為. 如圖2,連接OD、DF. ∵OD∥AC, ∴∠DAC=∠ADO, ∵OA=OD, ∴∠ADO=∠DAO, ∴∠DAC=∠DAO, ∵AF是⊙O的直徑, ∴∠ADF=90°=∠C,

43、∴△ADC∽△AFD, ∴, ∴AD2=AC?AF, ∵AC=6,AF=, ∴AD2=×6=45, ∴AD==3. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì),是一個(gè)綜合題,難度中等.熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵.   10.(2015·湖北省潛江市、天門(mén)市、仙桃市、江漢油田第22 題8分)如圖,AC是⊙O的直徑,OB是⊙O的半徑,PA切⊙O于點(diǎn)A,PB與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M,∠COB=∠APB. (1)求證:PB是⊙O的切線(xiàn); (2)當(dāng)OB=3,PA=6時(shí),求MB,MC的長(zhǎng).

44、 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定與性質(zhì).. 分析: (1)根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì),可得∠MAP=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì),可得∠P+M=90°,根據(jù)余角的性質(zhì),可得∠M+∠MOB=90°,根據(jù)直角三角形的判定,可得∠MOB=90°,根據(jù)切線(xiàn)的判定,可得答案; (2)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得==,根據(jù)解方程組,可得答案. 解答: (1)證明:∵PA切⊙O于點(diǎn)A, ∴∠MAP=90°, ∴∠P+M=90°. ∵∠COB=∠APB, ∴∠M+∠MOB=90°, ∴∠MOB=90°,即OB⊥PB, ∵PB經(jīng)過(guò)直徑的外端點(diǎn), ∴PB是⊙O的切線(xiàn); (2)∵∠COB=∠APB,∠

45、OBM=∠PAM, ∴△OBM∽△APM, ∴==, = ①, = ② 聯(lián)立①②得, 解得, 當(dāng)OB=3,PA=6時(shí),MB=4,MC=2. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì),(1)利用了切線(xiàn)的判定與性質(zhì),直角三角形的判定與性質(zhì),余角的性質(zhì);(2)利用了相似三角形的判定與性質(zhì),解方程組.   11.(2015?恩施州第23題10分)如圖,AB是⊙O的直徑,AB=6,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB交圓于點(diǎn)H,點(diǎn)C是弧AH上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA,CE⊥OH,垂足分別為D、E,過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)交OA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,且∠GCD=∠CED. (1)求證:GC是⊙O的切線(xiàn);

46、 (2)求DE的長(zhǎng); (3)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F,若∠CED=30°,求CF的長(zhǎng). 考點(diǎn): 圓的綜合題.. 分析: (1)先證明四邊形ODCE是矩形,得出∠DCE=90°,DE=OC,MC=MD,得出∠CED+∠MDC=90°,∠MDC=∠MCD,證出∠GCD+∠MCD=90°,即可得出結(jié)論; (2)由(1)得:DE=OC=AB,即可得出結(jié)果; (3)運(yùn)用三角函數(shù)求出CE,再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果. 解答: (1)證明:連接OC,交DE于M,如圖所示: ∵OH⊥AB,CD⊥OA,CE⊥OH, ∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°, ∴四

47、邊形ODCE是矩形, ∴∠DCE=90°,DE=OC,MC=MD, ∴∠CED+∠MDC=90°,∠MDC=∠MCD, ∵∠GCD=∠CED, ∴∠GCD+∠MCD=90°, 即GC⊥OC, ∴GC是⊙O的切線(xiàn); (2)解:由(1)得:DE=OC=AB=3; (3)解:∵∠DCE=90°,∠CED=30°, ∴CE=DE?cos∠CED=3×=, ∴CF=CE=. 點(diǎn)評(píng): 本題是圓的綜合題目,考查了切線(xiàn)的判定、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí);本題有一定難度,綜合性強(qiáng),特別是(1)中,需要證明四邊形是矩形,運(yùn)用角

48、的關(guān)系才能得出結(jié)論. 12.(2015?黃石第19題,7分)如圖,⊙O的直徑AB=4,∠ABC=30°,BC交⊙O于D,D是BC的中點(diǎn). (1)求BC的長(zhǎng); (2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為E,求證:直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定;含30度角的直角三角形;圓周角定理.. 分析: (1)根據(jù)圓周角定理求得∠ADB=90°,然后解直角三角形即可求得BD,進(jìn)而求得BC即可; (2)要證明直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)只要證明∠EDO=90°即可. 解答: 證明:(1)解:連接AD, ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°, 又∵∠ABC=30°,AB=4,

49、 ∴BD=2, ∵D是BC的中點(diǎn), ∴BC=2BD=4; (2)證明:連接OD. ∵D是BC的中點(diǎn),O是AB的中點(diǎn), ∴DO是△ABC的中位線(xiàn), ∴OD∥AC,則∠EDO=∠CED 又∵DE⊥AC, ∴∠CED=90°,∠EDO=∠CED=90° ∴DE是⊙O的切線(xiàn). 點(diǎn)評(píng): 此題主要考查了切線(xiàn)的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì).解題時(shí)要注意連接過(guò)切點(diǎn)的半徑是圓中的常見(jiàn)輔助線(xiàn). 13.(2015?甘肅慶陽(yáng),第28題,12分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn),交AB于點(diǎn)E,交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F. (1)求證:

50、FE⊥AB; (2)當(dāng)EF=6,=時(shí),求DE的長(zhǎng). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).. 分析: (1)連接AD、OD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ADC=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明D是BC的中點(diǎn),得到OD是△ABC的中位線(xiàn),根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)證明結(jié)論; (2)根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理,列出比例式計(jì)算得到答案. 解答: (1)證明:連接AD、OD, ∵AC為⊙O的直徑, ∴∠ADC=90°, 又∵AB=AC, ∴CD=DB,又CO=AO, ∴OD∥AB, ∵FD是⊙O的切線(xiàn), ∴OD⊥EF, ∴FE⊥AB; (2)∵=, ∴=, ∵OD

51、∥AB, ∴==,又EF=6, ∴DE=9. 點(diǎn)評(píng): 本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)和平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理,掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑和等腰三角形的三線(xiàn)合一是解題的關(guān)鍵. 14.(2015?甘肅天水,第21題,10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0),經(jīng)過(guò)A、O兩點(diǎn)作半徑為的⊙C,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)B. (1)求B點(diǎn)的坐標(biāo); (2)過(guò)B點(diǎn)作⊙C的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D,求直線(xiàn)BD的解析式. 考點(diǎn): 一次函數(shù)綜合題. 專(zhuān)題: 代數(shù)綜合題;壓軸題. 分析: (1)由于∠AOB=90°,故AB是直徑,且AB=5在Rt△AOB中,由勾股定理可得BO

52、===4,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,﹣4); (2)由于BD是⊙C的切線(xiàn),CB是⊙C的半徑,故BD⊥AB,即∠ABD=90°,有∠DAB+∠ADB=90°,又因?yàn)椤螧DO+∠OBD=90°,所以∠DAB=∠DBO,由于∠AOB=∠BOD=90°,故△ABO∽△BDO,=,OD===,D的坐標(biāo)為(,0),把B,D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式便可求出k,b的值,從而求出其解析式. 解答: 解:(1)∵∠AOB=90°, ∴AB是直徑,且AB=5, 在Rt△AOB中,由勾股定理可得BO===4, ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,﹣4); (2)∵BD是⊙C的切線(xiàn),CB是⊙C的半徑, ∴BD⊥AB,即

53、∠ABD=90°, ∴∠DAB+∠ADB=90° 又∵∠BDO+∠OBD=90°, ∴∠DAB=∠DBO, ∵∠AOB=∠BOD=90°, ∴△ABO∽△BDO, ∴=, ∴OD===, ∴D的坐標(biāo)為(,0) 設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=kx+b(k≠0,k、b為常數(shù)), 則有,∴, ∴直線(xiàn)BD的解析式為y=x﹣4. 點(diǎn)評(píng): 此題較復(fù)雜,把一次函數(shù)與圓的相關(guān)知識(shí)相結(jié)合,利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)解答,是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容.   15.(2015?甘肅天水,第25題,12分)如圖,AB是⊙O的直徑,BC切⊙O于點(diǎn)B,OC平行于弦AD,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,連結(jié)AC

54、,與DE交于點(diǎn)P.求證: (1)AC?PD=AP?BC; (2)PE=PD. 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì). 專(zhuān)題: 證明題. 分析: (1)首先根據(jù)AB是⊙O的直徑,BC是切線(xiàn),可得AB⊥BC,再根據(jù)DE⊥AB,判斷出DE∥BC,△AEP∽△ABC,所以=;然后判斷出=,即可判斷出ED=2EP,據(jù)此判斷出PE=PD即可. (2)首先根據(jù)△AEP∽△ABC,判斷出;然后根據(jù)PE=PD,可得,據(jù)此判斷出AC?PD=AP?BC即可. 解答: 解:(1)∵AB是⊙O的直徑,BC是切線(xiàn), ∴AB⊥BC, ∵DE⊥AB, ∴DE∥BC, ∴△AEP∽△ABC,

55、 ∴=…①, 又∵AD∥OC, ∴∠DAE=∠COB, ∴△AED∽△OBC, ∴===…②, 由①②,可得ED=2EP, ∴PE=PD. (2)∵AB是⊙O的直徑,BC是切線(xiàn), ∴AB⊥BC, ∵DE⊥AB, ∴DE∥BC, ∴△AEP∽△ABC, ∴, ∵PE=PD, ∴, ∴AC?PD=AP?BC. 點(diǎn)評(píng): (1)此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和應(yīng)用,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:①圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心. (2)此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,要熟練掌

56、握.   16.(8分)(2015?寧夏)(第23題)如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),連接PB、AB,∠PBA=∠C. (1)求證:PB是⊙O的切線(xiàn); (2)連接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半徑為2,求BC的長(zhǎng). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定. 分析: 連接OB,由圓周角定理得出∠ABC=90°,得出∠C+∠BAC=90°,再由OA=OB,得出∠BAC=∠OBA,證出∠PBA+∠OBA=90°,即可得出結(jié)論; (2)證明△ABC∽△PBO,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求出BC的長(zhǎng). 解答: (1)證明:連接OB,如圖所示: ∵AC是⊙O的直徑

57、, ∴∠ABC=90°, ∴∠C+∠BAC=90°, ∵OA=OB, ∴∠BAC=∠OBA, ∵∠PBA=∠C, ∴∠PBA+∠OBA=90°, 即PB⊥OB, ∴PB是⊙O的切線(xiàn); (2)解:∵⊙O的半徑為2, ∴OB=2,AC=4, ∵OP∥BC, ∴∠C=∠BOP, 又∵∠ABC=∠PBO=90°, ∴△ABC∽△PBO, ∴, 即, ∴BC=8. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的判定、圓周角定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線(xiàn)的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.   17.(10分)(2015?桂林)(第25題)如圖,四邊形AB

58、CD是⊙O的內(nèi)接正方形,AB=4,PC、PD是⊙O的兩條切線(xiàn),C、D為切點(diǎn). (1)如圖1,求⊙O的半徑; (2)如圖1,若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連接PE,求PE的長(zhǎng)度; (3)如圖2,若點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)(不含B、C),以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn),在BC的上方作∠AMN=90°,交直線(xiàn)CP于點(diǎn)N,求證:AM=MN. 考點(diǎn): 圓的綜合題. 分析: (1)利用切線(xiàn)的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)得出⊙O的半徑即可; (2)利用垂徑定理得出OE⊥BC,∠OCE=45°,進(jìn)而利用勾股定理得出即可; (3)在AB上截取BF=BM,利用(1)中所求,得出∠ECP=135°,再利用全等三角形的判定與性

59、質(zhì)得出即可. 解答: 解:(1)如圖1,連接OD,OC, ∵PC、PD是⊙O的兩條切線(xiàn),C、D為切點(diǎn), ∴∠ODP=∠OCP=90°, ∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形, ∴∠DOC=90°,OD=OC, ∴四邊形DOCP是正方形, ∵AB=4,∠ODC=∠OCD=45°, ∴DO=CO=DC?sin45°=×4=2; (2)如圖1,連接EO,OP, ∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn), ∴OE⊥BC,∠OCE=45°, 則∠E0P=90°, ∴EO=EC=2,OP=CO=4, ∴PE==2; (3)證明:如圖2,在AB上截取BF=BM, ∵AB=BC,BF=BM,

60、 ∴AF=MC,∠BFM=∠BMF=45°, ∵∠AMN=90°, ∴∠AMF+∠NMC=45°,∠FAM+∠AMF=45°, ∴∠FAM=∠NMC, ∵由(1)得:PD=PC,∠DPC=90°, ∴∠DCP=45°, ∴∠MCN=135°, ∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°, 在△AFM和△CMN中 , ∴△AFM≌△CMN(ASA), ∴AM=MN. 點(diǎn)評(píng): 此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí),正確作出輔助線(xiàn)得出∠MCN=135°是解題關(guān)鍵. 18.(14分)(2015?畢節(jié)市)(第26題)如圖,以△A

61、BC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓,經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),且與BC邊交于點(diǎn)E,D為BE的下半圓弧的中點(diǎn),連接AD交BC于F,AC=FC. (1)求證:AC是⊙O的切線(xiàn); (2)已知圓的半徑R=5,EF=3,求DF的長(zhǎng). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定. 專(zhuān)題: 證明題. 分析: (1)連結(jié)OA、OD,如圖,根據(jù)垂徑定理的推理,由D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)得到OD⊥BE,則∠D+∠DFO=90°,再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA,根據(jù)對(duì)頂角相等得∠CFA=∠DFO,所以∠CAF=∠DFO,加上∠OAD=∠ODF,則∠OAD+∠CAF=90°,于是根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到AC是⊙O的切線(xiàn); (2)由

62、于圓的半徑R=5,EF=3,則OF=2,然后在Rt△ODF中利用勾股定理計(jì)算DF的長(zhǎng). 解答: (1)證明:連結(jié)OA、OD,如圖, ∵D為BE的下半圓弧的中點(diǎn), ∴OD⊥BE, ∴∠D+∠DFO=90°, ∵AC=FC, ∴∠CAF=∠CFA, ∵∠CFA=∠DFO, ∴∠CAF=∠DFO, 而OA=OD, ∴∠OAD=∠ODF, ∴∠OAD+∠CAF=90°,即∠OAC=90°, ∴OA⊥AC, ∴AC是⊙O的切線(xiàn); (2)解:∵圓的半徑R=5,EF=3, ∴OF=2, 在Rt△ODF中,∵OD=5,OF=2, ∴DF==. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的判

63、定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn),已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.也考查了勾股定理. 19.(12分)(2015?銅仁市)(第24題)如圖,已知三角形ABC的邊AB是⊙0的切線(xiàn),切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過(guò)圓心0并與圓相交于點(diǎn)D、C,過(guò)C作直線(xiàn)CE丄AB,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E. (1)求證:CB平分∠ACE; (2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半徑. 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì).. 分析: (1)證明:如圖1,連接OB,由AB是⊙0的切線(xiàn),得到OB⊥AB,由于CE丄AB,的OB∥CE,于是得到∠1=∠3,根據(jù)等腰

64、三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2,通過(guò)等量代換得到結(jié)果. (2)如圖2,連接BD通過(guò)△DBC∽△CBE,得到比例式,列方程可得結(jié)果. 解答: (1)證明:如圖1,連接OB, ∵AB是⊙0的切線(xiàn), ∴OB⊥AB, ∵CE丄AB, ∴OB∥CE, ∴∠1=∠3, ∵OB=OC, ∴∠1=∠2, ∴∠2=∠3, ∴CB平分∠ACE; (2)如圖2,連接BD, ∵CE丄AB, ∴∠E=90°, ∴BC===5, ∵CD是⊙O的直徑, ∴∠DBC=90°, ∴∠E=∠DBC, ∴△DBC∽△CBE, ∴, ∴BC2=CD?CE, ∴CD==, ∴OC==,

65、 ∴⊙O的半徑=. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理,平行線(xiàn)的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵. 20.(2015?寧夏第23題8分)如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),連接PB、AB,∠PBA=∠C. (1)求證:PB是⊙O的切線(xiàn); (2)連接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半徑為2,求BC的長(zhǎng). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定. 分析: 連接OB,由圓周角定理得出∠ABC=90°,得出∠C+∠BAC=90°,再由OA=OB,得出∠BAC=∠OBA,證出∠PBA+∠OBA=90°,即可得出結(jié)論

66、; (2)證明△ABC∽△PBO,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求出BC的長(zhǎng). 解答: (1)證明:連接OB,如圖所示: ∵AC是⊙O的直徑, ∴∠ABC=90°, ∴∠C+∠BAC=90°, ∵OA=OB, ∴∠BAC=∠OBA, ∵∠PBA=∠C, ∴∠PBA+∠OBA=90°, 即PB⊥OB, ∴PB是⊙O的切線(xiàn); (2)解:∵⊙O的半徑為2, ∴OB=2,AC=4, ∵OP∥BC, ∴∠C=∠BOP, 又∵∠ABC=∠PBO=90°, ∴△ABC∽△PBO, ∴, 即, ∴BC=2. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的判定、圓周角定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線(xiàn)的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 21.(2015?青海西寧第26題10分)如圖,已知BC為⊙O的直徑,BA平分∠FBC交⊙O于點(diǎn)A,D是射線(xiàn)BF上的一點(diǎn),且滿(mǎn)足=,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)M,連接BM,AM. (1)求證:AD是⊙O的切線(xiàn); (2)若sin∠ABM=,AM=6,求⊙O的半徑. 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定;相似三角形的判定與性

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