全國各地2015年中考數(shù)學(xué)試卷解析分類匯編（第2期）專題31 點直線與圓的位置關(guān)系

點直線與圓的位置關(guān)系 一.選擇題 1．（2015?棗莊,第11題3分）如圖，一個邊長為4cm的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等．⊙O與BC相切于點C，與AC相交于點E，則CE的長為（　?。? 　 A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1.5cm 考點： 切線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．. 分析： 連接OC，并過點O作OF⊥CE于F，求出等邊三角形的高即可得出圓的直徑，繼而得出OC的長度，在Rt△OFC中，可得出FC的長，利用垂徑定理即可得出CE的長． 解答： 解：連接OC，并過點O作OF⊥CE于F， ∵△ABC為等邊三角形，邊長為4cm， ∴△ABC的高為2cm， ∴OC=cm， 又∵∠ACB=60°， ∴∠OCF=30°， 在Rt△OFC中，可得FC=cm， 即CE=2FC=3cm． 故選B． 點評： 本題主要考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識，題目不是太難，屬于基礎(chǔ)性題目． 2．（2015?湖南湘西州，第15題，4分）⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離OA=3cm，則點A與圓O的位置關(guān)系為（　　） 　 A．點A在圓上 B． 點A在圓內(nèi) C． 點A在圓外 D． 無法確定 考點： 點與圓的位置關(guān)系．. 分析： 根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷． 解答： 解：∵⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為3cm， 即點A到圓心O的距離小于圓的半徑， ∴點A在⊙O內(nèi)． 故選B． 點評： 本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r． 　 3 （2015年浙江衢州10，3分）如圖，已知等腰，以為直徑的圓交于點，過點的的切線交于點，若，則的半徑是【 】 A. 　　　B. 　　　 C. 　　　 D. 【答案】D． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；平行的判定和性質(zhì)；矩形的判定和性質(zhì)；勾股定理；方程思想的應(yīng)用． 【分析】如答圖，連接，過點作于點， ∵，∴. ∵，∴.∴.∴. ∵是的切線，∴.∴. ∴，且四邊形是矩形. ∵，∴由勾股定理，得. 設(shè)的半徑是， 則. ∴由勾股定理，得，即，解得. ∴的半徑是. 故選D． 4.（2015?山東萊蕪,第12題3分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC為直徑的⊙O與AD相切，點E為AD的中點，下列結(jié)論正確的個數(shù)是（　?。? （1）AB+CD=AD； （2）S△BCE=S△ABE+S△DCE； （3）AB?CD=； （4）∠ABE=∠DCE． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 圓的綜合題．. 分析： 設(shè)DC和半圓⊙O相切的切點為F，連接OF，根據(jù)切線長定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)逐項分析即可． 解答： 解：設(shè)DC和半圓⊙O相切的切點為F， ∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC， ∴∠ABC=∠DCB=90°， ∵AB為直徑， ∴AB，CD是圓的切線， ∵AD與以AB為直徑的⊙O相切， ∴AB=AF，CD=DF， ∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正確； 如圖1，連接OE， ∵AE=DE，BO=CO， ∴OE∥AB∥CD，OE=（AB+CD）， ∴OE⊥BC， ∴S△BCE=BC?OE=（AB+CD）=（AB+CD）?BC==S△ABE+S△DCE， 故②正確； 如圖2，連接AO，OD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵AB，CD，AD是⊙O的切線， ∴∠OAD+∠EDO=（∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠AOD=90°， ∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°， ∴∠BAO=∠DOC， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴AB?CD=OB?OC=BCBC=BC2，故③正確， 如圖1，∵OB=OC，OE⊥BC， ∴BE=CE， ∴∠BEO=∠CEO， ∵AB∥OE∥CD， ∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC， ∴∠ABE=∠DCE，故④正確， 綜上可知正確的個數(shù)有4個， 故選D． 點評： 本題考查了切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理，做到靈活運用． 5、（2015年四川省達(dá)州市中考，10,3分）如圖，AB為半圓O的在直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，連接OD、OC，下列結(jié)論：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE?CD，正確的有（　?。? 　 A． 2個 B． 3個 C． 4個 D． 5個 考點： 切線的性質(zhì)；切線長定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： 連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項⑤正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE?CD，選項①正確；由△AOD∽△BOC，可得===，選項③正確；由△ODE∽△OEC，可得，選項④正確． 解答： 解：連接OE，如圖所示： ∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切， ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°， ∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC， ∴CD=DE+EC=AD+BC，選項②正確； 在Rt△ADO和Rt△EDO中，， ∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）， ∴∠AOD=∠EOD， 同理Rt△CEO≌Rt△CBO， ∴∠EOC=∠BOC， 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°， ∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，選項⑤正確； ∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC， ∴△EDO∽△ODC， ∴=，即OD2=DC?DE，選項①正確； ∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°， ∠A=∠B=90°， ∴△AOD∽△BOC， ∴===，選項③正確； 同理△ODE∽△OEC， ∴，選項④正確； 故選D． 點評： 此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 二.填空題 1、(2015年浙江省義烏市中考,14,5分)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連結(jié)PA，PB。若PB=4，則PA的長為 ▲ 考點：點與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理．. 專題：分類討論． 分析：連結(jié)CP，PB的延長線交⊙C于P′，如圖，先計算出CB2+PB2=CP2，則根據(jù)勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根據(jù)垂徑定理得到PB=P′B=4，接著證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理計算出P′A=，從而得到滿足條件的PA的長為3或． 解答：解：連結(jié)CP，PB的延長線交⊙C于P′，如圖， ∵CP=5，CB=3，PB=4， ∴CB2+PB2=CP2， ∴△CPB為直角三角形，∠CBP=90°， ∴CB⊥PB， ∴PB=P′B=4， ∵∠C=90°， ∴PB∥AC， 而PB=AC=4， ∴四邊形ACBP為矩形， ∴PA=BC=3， 在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8， ∴P′A==， ∴PA的長為3或． 故答案為3或． 點評：本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．也考查了垂徑定理和勾股定理． 2.(2015?山東泰安,第24題3分）如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線，切點為F．若∠ACF=65°，則∠E=　50°?。? 考點： 切線的性質(zhì)．. 分析： 連接DF，連接AF交CE于G，由AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，得到，由于EF是⊙O的切線，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根據(jù)外角的性質(zhì)和圓周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到結(jié)果． 解答： 解：連接DF，連接AF交CE于G， ∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H， ∴， ∵EF是⊙O的切線， ∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°， ∵∠FGD=∠FCD+∠CFA， ∵∠DFE=∠DCF， ∠GFD=∠AFC， ∠EFG=∠EGF=65°， ∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°， 故答案為：50°． 點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 3.（2015?煙臺,第18題3分）如圖，直線與坐標(biāo)軸交于AB兩點，點是軸上一動點，一點M為圓心，2個單位長度為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與直線想切時，的值為________________。 考點： 直線與圓的位置關(guān)系、坐標(biāo)的計算 分析： 先求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，然后利用直線與圓M相切，要注意考慮有兩種情況，再用相似三角形的性質(zhì)來求BM的長度，進(jìn)而求出m的值 解答： 直線與y軸、x軸的交點坐標(biāo)為A（0，1），B（2,0），由勾股定理可得AB=如圖（1）當(dāng)圓M與直線AB相切于點C時，△AOB∽△MCB，，即，解得BM=2所以m=BM-OB=2-2.如圖（2）△AOB∽△MDB，， ，解得BM=2m= BM+ OB =2+2． 點評： 本題為圓與相似的綜合題，應(yīng)用了坐標(biāo)的求法、相似形三角形的性質(zhì)、勾股定理、直線與圓的關(guān)系等知識。特別是直線AB與⊙M相切有兩種情形，具有較強的區(qū)分度。 4．（2015?甘肅天水，第11題，4分）相切兩圓的半徑分別是5和3，則該兩圓的圓心距是　2或8?。? 考點： 圓與圓的位置關(guān)系． 專題： 計算題． 分析： 根據(jù)兩圓內(nèi)切或外切兩種情況，求出圓心距即可． 解答： 解：若兩圓內(nèi)切，圓心距為5﹣3=2； 若兩圓外切，圓心距為5+3=8， 故答案為：2或8 點評： 此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，利用了分類討論的思想，分類討論時做到不重不漏，考慮問題要全面． 　 5．（2015?湖南湘西州，第8題，4分）如圖，在⊙O中，∠OAB=45°，圓心O到弦AB的距離OE=2cm，則弦AB的長為　4　cm． 考點： 垂徑定理；等腰直角三角形．. 分析： 首先由垂徑定理可知：AE=BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊銳角三角函數(shù)可求得AE=OE=2，從而可求得弦AB的長． 解答： 解：∵OE⊥AB， ∴AE=EB 在Rt△AOE中，∠OAB=45°， ∴tan∠OAB=， ∴AE=OE=2． ∴AB=2AE=2×2=4． 故答案為：4cm． 點評： 本題主要考查的是銳角三角函數(shù)和垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理和特殊銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵． 　 6．（2015?江蘇鎮(zhèn)江，第10題，2分）如圖，AB是⊙O的直徑，OA=1，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若BD=﹣1，則∠ACD=　112.5　°． 考點： 切線的性質(zhì)．. 分析： 如圖，連結(jié)OC．根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥DC，根據(jù)線段的和差故選得到OD=，根據(jù)勾股定理得到CD=1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠DOC=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得到∠OCA=∠DOC=22.5°，再根據(jù)角的和差故選得到∠ACD的度數(shù)． 解答： 解：如圖，連結(jié)OC． ∵DC是⊙O的切線， ∴OC⊥DC， ∵BD=﹣1，OA=OB=OC=1， ∴OD=， ∴CD===1， ∴OC=CD， ∴∠DOC=45°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OCA=∠DOC=22.5°， ∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°． 故答案為：112.5． 點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．本題關(guān)鍵是得到△OCD是等腰直角三角形． 7．（2015?鄂州, 第15題3分）已知點P是半徑為1的⊙O外一點，PA切⊙O于點A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，連接PB，則PB=　1或?。? 考點： 切線的性質(zhì)． 專題： 分類討論． 分析： 本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論： （1）如圖1，可以根據(jù)已知條件證明△POA≌△POB，然后即可求出PB； （2）如圖2，此時可以根據(jù)已知條件證明PABO是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理即可求出PB． 解答： 解：連接OA， （1）如圖1，連接OA， ∵PA=AO=1，OA=OB，PA是⊙的切線， ∴∠AOP=45°∵OA=OB， ∴∠BOP=∠AOP=45°， 在△POA與△POB中，， ∴△POA≌△POB， ∴PB=PA=1； （2）如圖2，連接OA，與PB交于C， ∵PA是⊙O的切線， ∴OA⊥PA， 而PA=AO=，1 ∴OP=； ∵AB=， 而OA=OB=1， ∴AO⊥BO， ∴四邊形PABO是平行四邊形， ∴PB，AO互相平分； 設(shè)AO交PB與點C， 即OC=， ∴BC=， ∴PB=． 故答案為：1或． 點評： 本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識，綜合性比較強，注意分類討論，不要漏解． 8. （2015?江蘇鹽城，第16題3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A、B、C中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是　3＜r＜5　． 考點： 點與圓的位置關(guān)系． 分析： 要確定點與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來進(jìn)行判斷．當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)． 解答： 解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3， 則BD==5． 由圖可知3＜r＜5． 故答案為：3＜r＜5． 點評： 此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，解決本題要注意點與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點與圓的位置關(guān)系． 三.解答題 1．（2015?湖北, 第25題10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC，PB：PC=1：2． （1）求證：AC平分∠BAD； （2）探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （3）若AD=3，求△ABC的面積． 考點： 圓的綜合題． 分析： （1）首先連接OC，由PE是⊙O的切線，AE和過點C的切線互相垂直，可證得OC∥AE，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD； （2）由AB是⊙O的直徑，PE是切線，可證得∠PCB=∠PAC，即可證得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例與PB：PC=1：2，即可求得答案； （3）首先過點O作OH⊥AD于點H，則AH=AD=，四邊形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得OC的長，再由△PBC∽△PCA，證得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的長，繼而求得答案． 解答： （1）證明：連接OC， ∵PE是⊙O的切線， ∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE， ∴OC∥AE， ∴∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠DAC=∠OAC， ∴AC平分∠BAD； （2）線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系為：AB=3PB． 理由：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠ABC， ∵∠PCB+∠OCB=90°， ∴∠PCB=∠PAC， ∵∠P是公共角， ∴△PCB∽△PAC， ∴， ∴PC2=PB?PA， ∵PB：PC=1：2， ∴PC=2PB， ∴PA=4PB， ∴AB=3PB； （3）解：過點O作OH⊥AD于點H，則AH=AD=，四邊形OCEH是矩形， ∴OC=HE， ∴AE=+OC， ∵OC∥AE， ∴△PCO∽△PEA， ∴， ∵AB=3PB，AB=2OB， ∴OB=PB， ∴=， ∴OC=， ∴AB=5， ∵△PBC∽△PCA， ∴， ∴AC=2BC， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴（2BC）2+BC2=52， ∴BC=， ∴AC=2， ∴S△ABC=AC?BC=5． 點評： 此題屬于圓的綜合題，考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵． 2．（2015?衡陽, 第26題8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E． （1）求證：CE是⊙O的切線； （2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由． 考點： 切線的判定；菱形的判定． 分析： （1）連接AC，由題意得==，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，從而得出∠OCE=90°，即可證得結(jié)論； （2）四邊形AOCD為菱形．由=，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）； 解答： 解：（1）連接AC， ∵點CD是半圓O的三等分點， ∴==， ∴∠DAC=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴AE∥OC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） ∴∠OCE=∠E， ∵CE⊥AD， ∴∠OCE=90°， ∴OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切線； （2）四邊形AOCD為菱形． 理由是： ∵=， ∴∠DCA=∠CAB， ∴CD∥OA， 又∵AE∥OC， ∴四邊形AOCD是平行四邊形， ∵OA=OC， ∴平行四邊形AOCD是菱形． 點評： 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，是中學(xué)階段的重點內(nèi)容． 　 3．（2015?鄂州, 第22題9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經(jīng)過點M，交BC于點G，交 AB于點F． （1）求證：AE為⊙O的切線． （2）當(dāng)BC=8，AC=12時，求⊙O的半徑． （3）在（2）的條件下，求線段BG的長． 考點： 圓的綜合題． 分析： （1）連接OM．利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線； （2）設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質(zhì)得到=，即可解得R=3，從而求得⊙O的半徑為3； （3）過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，根據(jù)∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結(jié)論BG=2BH=2． 解答： （1）證明：連接OM． ∵AC=AB，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4， ∵OB=OM， ∴∠OBM=∠OMB， ∵BM平分∠ABC， ∴∠OBM=∠CBM， ∴∠OMB=∠CBM， ∴OM∥BC 又∵AE⊥BC， ∴AE⊥OM， ∴AE是⊙O的切線； （2）設(shè)⊙O的半徑為R， ∵OM∥BE， ∴△OMA∽△BEA， ∴=即=， 解得R=3， ∴⊙O的半徑為3； （3）過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH， ∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°， ∴四邊形OMEH是矩形， ∴HE=OM=3， ∴BH=1， ∴BG=2BH=2． 點評： 本題考查了圓的綜合知識，題目中還運用到了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度較大． 　 4. （2015?江蘇南通，第24題8分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠ACB=60°． （1）求∠P的度數(shù)； （2）若⊙O的半徑長為4cm，求圖中陰影部分的面積． 考點： 切線的性質(zhì)；扇形面積的計算．. 分析： （1）由PA與PB都為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出兩個角為直角，再由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由已知∠C的度數(shù)求出∠AOB的度數(shù)，在四邊形PABO中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求出∠P的度數(shù)． （2）由S陰影=2×（S△PAO﹣S扇形）則可求得結(jié)果． 解答： 解：連接OA、OB， ∵PA、PB是⊙O的切線， ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠OAP=∠OBP=90°， 又∵∠AOB=2∠C=120°， ∴∠P=360°﹣（90°+90°+120°）=60°． ∴∠P=60°． （2）連接OP， ∵PA、PB是⊙O的切線， ∴APB=30°， 在RT△APO中，tan30°=， ∴AP===4cm， ∴S陰影=2S△AOP﹣S扇形=2×（×4×﹣）=（16﹣）（cm2）． 點評： 此題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角函數(shù)，扇形面積公式等知識．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 5. （2015?江蘇泰州，第24題10分）如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F． （1）試說明DF是⊙O的切線； （2）若AC=3AE，求tanC． 考點： 切線的判定．. 分析： （1）連接OD，根據(jù)等邊對等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，證得OD∥AC，證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線； （2）連接BE，AB是直徑，∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在RT△BEC中，即可求得tanC的值． 解答： （1）證明：連接OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切線； （2）解：連接BE， ∵AB是直徑， ∴∠AEB=90°， ∵AB=AC，AC=3AE， ∴AB=3AE，CE=4AE， ∴BE==2AE， 在RT△BEC中，tanC===． 點評： 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理的應(yīng)用以及直角三角函數(shù)等，是一道綜合題，難度中等． 6. （2015?江蘇鹽城，第23題10分）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，點E在邊AC上，且滿足ED=EA． （1）求∠DOA的度數(shù)； （2）求證：直線ED與⊙O相切． 考點： 切線的判定． 分析： （1）根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論； （2）連接OE，通過△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到結(jié)論． 解答： （1）解；∵∠DBA=50°， ∴∠DOA=2∠DBA=100°， （2）證明：連接OE． 在△EAO與△EDO中，， ∴△EAO≌△EDO， ∴∠EDO=∠EAO， ∵∠BAC=90°， ∴∠EDO=90°， ∴DE與⊙O相切． 點評： 本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接OE構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵． 7．（2015?棗莊,第24題10分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE． （1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）求證：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的長． 考點： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： （1）連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到∠ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線； （2）證明OE是△ABC的中位線，則AC=2OE，然后證明△ABC∽△BDC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得； （3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得． 解答： （1）證明：連接OD，BD， ∵AB為圓O的直徑， ∴∠ADB=90°， 在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點， ∴CE=DE=BE=BC， ∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°， ∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑， ∴DE為⊙O的切線； （2）證明：∵E是BC的中點，O點是AB的中點， ∴OE是△ABC的中位線， ∴AC=2OE， ∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC， ∴△ABC∽△BDC， ∴=，即BC2=AC?CD． ∴BC2=2CD?OE； （3）解：∵cos∠BAD=， ∴sin∠BAC==， 又∵BE=6，E是BC的中點，即BC=12， ∴AC=15． 又∵AC=2OE， ∴OE=AC=． 點評： 本題考查了切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可． 8.（2015·湖北省隨州市，第22題8分）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO． （1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線； （2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長． 考點： 切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算；作圖—基本作圖．. 分析： （1）按照作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線； （2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進(jìn)而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計算即可． 解答： 解：（1）作圖如右圖， 連接OA，過O作OB⊥PC， ∵PA切⊙O于點A， ∴OA⊥PA， 又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC， ∴OA=OB，即d=r， ∴PC是⊙O的切線； （2）∵PA、PC是⊙O的切線， ∴PA=PB， 又∵AB=AP=4， ∴△PAB是等邊三角形， ∴∠APB=60°， ∴∠AOB=120°，∠POA=60°， 在Rt△AOP中，tan60°= ∴OA= ∴==． 點評： 本題考查了尺規(guī)作圖、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及弧長的計算，求出圓心角和半徑長是解決問題的關(guān)鍵． 　 9.（2015·湖北省咸寧市，第21題9分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F． （1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形． （2）若AC=6，AB=10，連結(jié)AD，求⊙O的半徑和AD的長． 考點： 切線的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： （1）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形； （2）連接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，進(jìn)而求出AD． 解答： （1）證明：如圖1，連接OD、OE、ED． ∵BC與⊙O相切于一點D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB=90°=∠C， ∴OD∥AC， ∵∠B=30°， ∴∠A=60°， ∵OA=OE， ∴△AOE是等邊三角形， ∴AE=AO=0D， ∴四邊形AODE是平行四邊形， ∵OA=OD， ∴四邊形AODE是菱形． （2）解：設(shè)⊙O的半徑為r． ∵OD∥AC， ∴△OBD∽△ABC． ∴，即8r=6（8﹣r）． 解得r=， ∴⊙O的半徑為． 如圖2，連接OD、DF． ∵OD∥AC， ∴∠DAC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠DAC=∠DAO， ∵AF是⊙O的直徑， ∴∠ADF=90°=∠C， ∴△ADC∽△AFD， ∴， ∴AD2=AC?AF， ∵AC=6，AF=， ∴AD2=×6=45， ∴AD==3． 點評： 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是一個綜合題，難度中等．熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵． 　 10.（2015·湖北省潛江市、天門市、仙桃市、江漢油田第22 題8分）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠COB=∠APB． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）當(dāng)OB=3，PA=6時，求MB，MC的長． 考點： 切線的判定與性質(zhì)．. 分析： （1）根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠MAP=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠P+M=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠M+∠MOB=90°，根據(jù)直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據(jù)切線的判定，可得答案； （2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得==，根據(jù)解方程組，可得答案． 解答： （1）證明：∵PA切⊙O于點A， ∴∠MAP=90°， ∴∠P+M=90°． ∵∠COB=∠APB， ∴∠M+∠MOB=90°， ∴∠MOB=90°，即OB⊥PB， ∵PB經(jīng)過直徑的外端點， ∴PB是⊙O的切線； （2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM， ∴△OBM∽△APM， ∴==， = ①， = ② 聯(lián)立①②得， 解得， 當(dāng)OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2． 點評： 本題考查了切線的判定與性質(zhì)，（1）利用了切線的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)；（2）利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，解方程組． 　 11．（2015?恩施州第23題10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，過點O作OH⊥AB交圓于點H，點C是弧AH上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分別為D、E，過點C的直線交OA的延長線于點G，且∠GCD=∠CED． （1）求證：GC是⊙O的切線； （2）求DE的長； （3）過點C作CF⊥DE于點F，若∠CED=30°，求CF的長． 考點： 圓的綜合題．. 分析： （1）先證明四邊形ODCE是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，證出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出結(jié)論； （2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出結(jié)果； （3）運用三角函數(shù)求出CE，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果． 解答： （1）證明：連接OC，交DE于M，如圖所示： ∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH， ∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°， ∴四邊形ODCE是矩形， ∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD， ∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD， ∵∠GCD=∠CED， ∴∠GCD+∠MCD=90°， 即GC⊥OC， ∴GC是⊙O的切線； （2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3； （3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°， ∴CE=DE?cos∠CED=3×=， ∴CF=CE=． 點評： 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；本題有一定難度，綜合性強，特別是（1）中，需要證明四邊形是矩形，運用角的關(guān)系才能得出結(jié)論． 12.（2015?黃石第19題，7分）如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點． （1）求BC的長； （2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線． 考點： 切線的判定；含30度角的直角三角形；圓周角定理．. 分析： （1）根據(jù)圓周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，進(jìn)而求得BC即可； （2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可． 解答： 證明：（1）解：連接AD， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， 又∵∠ABC=30°，AB=4， ∴BD=2， ∵D是BC的中點， ∴BC=2BD=4； （2）證明：連接OD． ∵D是BC的中點，O是AB的中點， ∴DO是△ABC的中位線， ∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED 又∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90° ∴DE是⊙O的切線． 點評： 此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．解題時要注意連接過切點的半徑是圓中的常見輔助線． 13．（2015?甘肅慶陽，第28題，12分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AB于點E，交CA的延長線于點F． （1）求證：FE⊥AB； （2）當(dāng)EF=6，=時，求DE的長． 考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．. 分析： （1）連接AD、OD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出∠ADC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明D是BC的中點，得到OD是△ABC的中位線，根據(jù)切線的性質(zhì)證明結(jié)論； （2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式計算得到答案． 解答： （1）證明：連接AD、OD， ∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ADC=90°， 又∵AB=AC， ∴CD=DB，又CO=AO， ∴OD∥AB， ∵FD是⊙O的切線， ∴OD⊥EF， ∴FE⊥AB； （2）∵=， ∴=， ∵OD∥AB， ∴==，又EF=6， ∴DE=9． 點評： 本題考查的是切線的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑和等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵． 14．（2015?甘肅天水，第21題，10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點，點A的坐標(biāo)為（﹣3，0），經(jīng)過A、O兩點作半徑為的⊙C，交y軸的負(fù)半軸于點B． （1）求B點的坐標(biāo)； （2）過B點作⊙C的切線交x軸于點D，求直線BD的解析式． 考點： 一次函數(shù)綜合題． 專題： 代數(shù)綜合題；壓軸題． 分析： （1）由于∠AOB=90°，故AB是直徑，且AB=5在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4，則B點的坐標(biāo)為（0，﹣4）； （2）由于BD是⊙C的切線，CB是⊙C的半徑，故BD⊥AB，即∠ABD=90°，有∠DAB+∠ADB=90°，又因為∠BDO+∠OBD=90°，所以∠DAB=∠DBO，由于∠AOB=∠BOD=90°，故△ABO∽△BDO，=，OD===，D的坐標(biāo)為（，0），把B，D兩點坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式便可求出k，b的值，從而求出其解析式． 解答： 解：（1）∵∠AOB=90°， ∴AB是直徑，且AB=5， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO===4， ∴B點的坐標(biāo)為（0，﹣4）； （2）∵BD是⊙C的切線，CB是⊙C的半徑， ∴BD⊥AB，即∠ABD=90°， ∴∠DAB+∠ADB=90° 又∵∠BDO+∠OBD=90°， ∴∠DAB=∠DBO， ∵∠AOB=∠BOD=90°， ∴△ABO∽△BDO， ∴=， ∴OD===， ∴D的坐標(biāo)為（，0） 設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）， 則有，∴， ∴直線BD的解析式為y=x﹣4． 點評： 此題較復(fù)雜，把一次函數(shù)與圓的相關(guān)知識相結(jié)合，利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)解答，是中學(xué)階段的重點內(nèi)容． 　 15．（2015?甘肅天水，第25題，12分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P．求證： （1）AC?PD=AP?BC； （2）PE=PD． 考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 專題： 證明題． 分析： （1）首先根據(jù)AB是⊙O的直徑，BC是切線，可得AB⊥BC，再根據(jù)DE⊥AB，判斷出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據(jù)此判斷出PE=PD即可． （2）首先根據(jù)△AEP∽△ABC，判斷出；然后根據(jù)PE=PD，可得，據(jù)此判斷出AC?PD=AP?BC即可． 解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線， ∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC， ∴△AEP∽△ABC， ∴=…①， 又∵AD∥OC， ∴∠DAE=∠COB， ∴△AED∽△OBC， ∴===…②， 由①②，可得ED=2EP， ∴PE=PD． （2）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線， ∴AB⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴DE∥BC， ∴△AEP∽△ABC， ∴， ∵PE=PD， ∴， ∴AC?PD=AP?BC． 點評： （1）此題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． （2）此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握． 　 16．（8分）（2015?寧夏）（第23題）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為2，求BC的長． 考點： 切線的判定． 分析： 連接OB，由圓周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，證出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出結(jié)論； （2）證明△ABC∽△PBO，得出對應(yīng)邊成比例，即可求出BC的長． 解答： （1）證明：連接OB，如圖所示： ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°， ∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C， ∴∠PBA+∠OBA=90°， 即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切線； （2）解：∵⊙O的半徑為2， ∴OB=2，AC=4， ∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP， 又∵∠ABC=∠PBO=90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴， 即， ∴BC=8． 點評： 本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理、切線的判定是解決問題的關(guān)鍵． 　 17．（10分）（2015?桂林）（第25題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點． （1）如圖1，求⊙O的半徑； （2）如圖1，若點E是BC的中點，連接PE，求PE的長度； （3）如圖2，若點M是BC邊上任意一點（不含B、C），以點M為直角頂點，在BC的上方作∠AMN=90°，交直線CP于點N，求證：AM=MN． 考點： 圓的綜合題． 分析： （1）利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)得出⊙O的半徑即可； （2）利用垂徑定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，進(jìn)而利用勾股定理得出即可； （3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可． 解答： 解：（1）如圖1，連接OD，OC， ∵PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點， ∴∠ODP=∠OCP=90°， ∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形， ∴∠DOC=90°，OD=OC， ∴四邊形DOCP是正方形， ∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°， ∴DO=CO=DC?sin45°=×4=2； （2）如圖1，連接EO，OP， ∵點E是BC的中點， ∴OE⊥BC，∠OCE=45°， 則∠E0P=90°， ∴EO=EC=2，OP=CO=4， ∴PE==2； （3）證明：如圖2，在AB上截取BF=BM， ∵AB=BC，BF=BM， ∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°， ∵∠AMN=90°， ∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°， ∴∠FAM=∠NMC， ∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°， ∴∠DCP=45°， ∴∠MCN=135°， ∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°， 在△AFM和△CMN中 ， ∴△AFM≌△CMN（ASA）， ∴AM=MN． 點評： 此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線得出∠MCN=135°是解題關(guān)鍵． 18．（14分）（2015?畢節(jié)市）（第26題）如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，AC=FC． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長． 考點： 切線的判定． 專題： 證明題． 分析： （1）連結(jié)OA、OD，如圖，根據(jù)垂徑定理的推理，由D為BE的下半圓弧的中點得到OD⊥BE，則∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根據(jù)對頂角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，則∠OAD+∠CAF=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線； （2）由于圓的半徑R=5，EF=3，則OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理計算DF的長． 解答： （1）證明：連結(jié)OA、OD，如圖， ∵D為BE的下半圓弧的中點， ∴OD⊥BE， ∴∠D+∠DFO=90°， ∵AC=FC， ∴∠CAF=∠CFA， ∵∠CFA=∠DFO， ∴∠CAF=∠DFO， 而OA=OD， ∴∠OAD=∠ODF， ∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°， ∴OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切線； （2）解：∵圓的半徑R=5，EF=3， ∴OF=2， 在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2， ∴DF==． 點評： 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理． 19．（12分）（2015?銅仁市）（第24題）如圖，已知三角形ABC的邊AB是⊙0的切線，切點為B．AC經(jīng)過圓心0并與圓相交于點D、C，過C作直線CE丄AB，交AB的延長線于點E． （1）求證：CB平分∠ACE； （2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半徑． 考點： 切線的性質(zhì)．. 分析： （1）證明：如圖1，連接OB，由AB是⊙0的切線，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，通過等量代換得到結(jié)果． （2）如圖2，連接BD通過△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得結(jié)果． 解答： （1）證明：如圖1，連接OB， ∵AB是⊙0的切線， ∴OB⊥AB， ∵CE丄AB， ∴OB∥CE， ∴∠1=∠3， ∵OB=OC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴CB平分∠ACE； （2）如圖2，連接BD， ∵CE丄AB， ∴∠E=90°， ∴BC===5， ∵CD是⊙O的直徑， ∴∠DBC=90°， ∴∠E=∠DBC， ∴△DBC∽△CBE， ∴， ∴BC2=CD?CE， ∴CD==， ∴OC==， ∴⊙O的半徑=． 點評： 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 20.（2015?寧夏第23題8分）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為2，求BC的長． 考點： 切線的判定． 分析： 連接OB，由圓周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，證出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出結(jié)論； （2）證明△ABC∽△PBO，得出對應(yīng)邊成比例，即可求出BC的長． 解答： （1）證明：連接OB，如圖所示： ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°， ∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C， ∴∠PBA+∠OBA=90°， 即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切線； （2）解：∵⊙O的半徑為2， ∴OB=2，AC=4， ∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP， 又∵∠ABC=∠PBO=90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴， 即， ∴BC=2． 點評： 本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理、切線的判定是解決問題的關(guān)鍵． 21.（2015?青海西寧第26題10分）如圖，已知BC為⊙O的直徑，BA平分∠FBC交⊙O于點A，D是射線BF上的一點，且滿足=，過點O作OM⊥AC于點E，交⊙O于點M，連接BM，AM． （1）求證：AD是⊙O的切線； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半徑． 考點： 切線的判定；相似三角形的判定與性