《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》浙江大學(xué)第四版課后習(xí)題答案.doc

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______________________________________________________________________________________________________________ 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案 第四版 盛驟 (浙江大學(xué)) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率論的基本概念 1.[一] 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間 （1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分）（[一] 1） ，n表小班人數(shù) （3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（[一] 2） S={10，11，12，………，n，………} （4）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。 查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。 （1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。 表示為： 或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C) （2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。 表示為： 或AB－ABC或AB－C （3）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生 表示為：A+B+C （4）A，B，C都發(fā)生， 表示為：ABC （5）A，B，C都不發(fā)生， 表示為：或S－ (A+B+C)或 （6）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生 相當(dāng)于中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：。 （7）A，B，C中不多于二個(gè)發(fā)生。 相當(dāng)于：中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為： （8）A，B，C中至少有二個(gè)發(fā)生。 相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：AB+BC+AC 6.[三] 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否則AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1與P (A∪B)≤1矛盾）. 從而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*) （1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當(dāng)AB=A，即A∩B時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=0.6， （2）從(*)式知，當(dāng)A∪B=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 設(shè)A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。 解：P (A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= 8.[五] 在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？ 記A表“能排成上述單詞” ∵ 從26個(gè)任選兩個(gè)來排列，排法有種。每種排法等可能。 字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè) ∴ 9. 在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0，1，2……9） 記A表“后四個(gè)數(shù)全不同” ∵ 后四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。 后四個(gè)數(shù)全不同的排法有 ∴ 10.[六] 在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。 （1）求最小的號(hào)碼為5的概率。 記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A ∵ 10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。 又事件A相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有 ∴ （2）求最大的號(hào)碼為5的概率。 記“三人中最大的號(hào)碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，且每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼小于5，選法有種 11.[七] 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？ 記所求事件為A。 在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。 取得4白3黑2紅的取法有 故 12.[八] 在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。 （1）求恰有90個(gè)次品的概率。 記“恰有90個(gè)次品”為事件A ∵ 在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有種，每種取法等可能。 200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有種 ∴ （2）至少有2個(gè)次品的概率。 記：A表“至少有2個(gè)次品” B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有種 ∵ 且B0，B1互不相容。 ∴ 13.[九] 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？ 記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)” 則表“4只人不配對(duì)” ∵ 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。 要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有 15.[十一] 將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？ 記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能 對(duì)A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2種。 (選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列) 對(duì)A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。 (從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有，再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。 對(duì)A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此3個(gè)球，選法有4種) 16.[十二] 50個(gè)鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？ 記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。 法一：用古典概率作： 把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去鉚完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個(gè)部件要分先后次序） 對(duì)E：鉚法有種，每種裝法等可能 對(duì)A：三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。這種鉚法有〔〕×10種 法二：用古典概率作 把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序） 對(duì)E：鉚法有種，每種鉚法等可能 對(duì)A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，30”位置上。這種鉚法有種 17.[十三] 已知。 解一： 注意. 故有 P (AB)=P (A)－P (A)=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理， P (A∪)= P (A)+ P ()－P (A)=0.7+0.6－0.5=0.8 于是 18.[十四] 。 解：由 由乘法公式，得 由加法公式，得 19.[十五] 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。 解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。 擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為 S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每種結(jié)果（x, y）等可能。 A={擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故} 方法二：（用公式 S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能 A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個(gè)為“1”點(diǎn)”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則， 故 20.[十六] 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母親得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父親得病|母親及孩子得病}=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。 解：所求概率為P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求P (|AB) P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. 從而P (AB)= P (AB) · P(|AB)=0.3×0.6=0.18. 21.[十七] 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。 （1）二只都是正品（記為事件A） 法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等可能。 法二：用排列做 在10只中任取兩個(gè)來排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。 法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。 記A1，A2分別表第一、二次取得正品。 （2）二只都是次品（記為事件B） 法一： 法二： 法三： （3）一只是正品，一只是次品（記為事件C） 法一： 法二： 法三： （4）第二次取出的是次品（記為事件D） 法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作， 法二： 法三： 22.[十八] 某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？ 記H表撥號(hào)不超過三次而能接通。 Ai表第i次撥號(hào)能接通。 注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。 如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。 24.[十九] 設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)） 記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋” 再記B表“再從乙袋中取得白球”。 ∵ B=A1B+A2B且A1，A2互斥 ∴ P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) = [十九](2) 第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。 C2為“從第一盒子中取得2只白球”。 C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”， D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有 P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 26.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？ 解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，顯然A1∪A2=S，A1 A2=φ 由已知條件知 由貝葉斯公式，有 [二十二] 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。 解：Ai={他第i次及格}，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P， （1）B={至少有一次及格} 所以 ∴ （2） （*） 由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2 由全概率公式，有 將以上兩個(gè)結(jié)果代入（*）得 28.[二十五] 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明： 到家時(shí)間 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 遲于5:54 乘地鐵到 家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽車到 家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。 解：設(shè)A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:45~5:49到家”，由題意,AB=φ,A∪B=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由貝葉斯公式有 29.[二十四] 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。 解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱產(chǎn)品” j=1,2，顯然A1∪A2=S A1A2=φ （1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。 （2） （先用條件概率定義，再求P (B1B2)時(shí)，由全概率公式解） 3 1 2 L R 32.[二十六（2）] 如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。 5 4 記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通 記A表從L到R是構(gòu)成通路的。 ∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥 ∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5) + P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5) + P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5) 又由于A1，A2， A3， A4，A5互相獨(dú)立。 故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4] +[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5 [二十六（1）]設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。 記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=1，2，3，4， 2 4 1 3 A表示系統(tǒng)正常。 ∵ A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥 ∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式) = P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4獨(dú)立) 34.[三十一] 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？ 解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有 （條件概率定義與乘法公式） 35．甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。 解：高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī) ∵ ，三種情況互斥。 三種情況互斥 又 B1，B2，B2獨(dú)立。 ∴ + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14 又因： A=H1A+H2A+H3A 三種情況互斥 故由全概率公式，有 P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458 36.[三十三]設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%（這一事件記為A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分別為P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地） ∵ B表取得三件好物品。 B=A1B+A2B+A3B 三種情況互斥 由全概率公式，有 ∴ P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624 37.[三十四] 將A，B，C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為α，而輸出為其它一字母的概率都是(1－α)/2。今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。） 解：設(shè)D表示輸出信號(hào)為ABCA，B1、B2、B3分別表示輸入信號(hào)為AAAA，BBBB，CCCC，則B1、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。 再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有 P (A收| A發(fā))= P (B收| B發(fā))= P (C收| C發(fā))=α， P (A收| B發(fā))= P (A收| C發(fā))= P (B收| A發(fā))= P (B收| C發(fā))= P (C收| A發(fā))= P (C收| B發(fā))= 又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A發(fā)) P (B收| A發(fā)) P (C收| A發(fā)) P (A收| A發(fā)) =， 同樣可得P (D | B 2) = P (D | B 3) = 于是由全概率公式，得 由Bayes公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = = [二十九] 設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。 解：記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。 （1）記C={至少有一只藍(lán)球} C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5種情況互斥 由概率有限可加性，得 （2）記D={有一只藍(lán)球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1兩種情況互斥 （3） [三十] A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A，B，C的電話的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C三人外出的概率分別為，設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求 （1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了3個(gè)電話，求（3）這3個(gè)電話打給同一人的概率；（4）這3個(gè)電話打給不同人的概率；（5）這3個(gè)電話都打給B，而B卻都不在的概率。 解：記C1、C2、C3分別表示打給A，B，C的電話 D1、D2、D3分別表示A，B，C外出 注意到C1、C2、C3獨(dú)立，且 （1）P（無人接電話）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) = （2）記G=“被呼叫人在辦公室”，三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式 （3）H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人” （4）R為“這3個(gè)電話打給不同的人” R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C的三個(gè)電話，每種情況的概率為 于是 （5）由于是知道每次打電話都給B，其概率是1，所以每一次打給B電話而B不在的概率為，且各次情況相互獨(dú)立 于是 P（3個(gè)電話都打給B，B都不在的概率）= 第二章 隨機(jī)變量及其分布 1.[一] 一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5，在其中同時(shí)取三只，以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律 解：X可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表 X： 3， 4，5 P： 3.[三] 設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。 解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0，1，2個(gè)。 P x 1 2 O 再列為下表 X： 0， 1， 2 P： 4.[四] 進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1－p(0Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) =P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) = 9.[十] 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。 （1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？ （2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。） 解：（1）P (一次成功)= （2）P (連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)= 。此概率太小，按實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。 [九] 有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求 （1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率 （2）需作第二次檢驗(yàn)的概率 （3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率 （4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率 （5）這批產(chǎn)品被接受的概率 解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服從） （1）P {X=0}=0.910≈0.349 （2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}= （3）P {Y=0}=0.9 5≈0.590 （4）P {010)=P (X ≥11)=0.002840（查表計(jì)算） [十二 (2)]每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。 [十六] 以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)），X的分布函數(shù)是 求下述概率： （1）P{至多3分鐘}；（2）P {至少4分鐘}；（3）P{3分鐘至4分鐘之間}； （4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}；（5）P{恰好2.5分鐘} 解：（1）P{至多3分鐘}= P {X≤3} = （2）P {至少4分鐘} P (X ≥4) = （3）P{3分鐘至4分鐘之間}= P {32}，P (X>3) ∵ 若X～N（μ，σ2），則P (α2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 ) = =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ=1－0.5=0.5 （2）決定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) 得 P (X≤C )==0.5 又 P (X≤C )=φ ∴ C =3 26.[二十四] 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg計(jì)）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X。求 （1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05. 解: 27.[二十五] 由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為μ=10.05，σ=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？ 設(shè)螺栓長度為X P{X不屬于(10.05－0.12, 10.05+0.12) =1－P (10.05－0.121時(shí)，ψ( y)= [FY ( y)]' = = （3）求Y=| X |的概率密度。 ∵ Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y ( y)=0 當(dāng)y≥0時(shí)，F(xiàn)Y ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)= ∴ Y的概率密度為： 當(dāng)y≤0時(shí)：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 當(dāng)y>0時(shí)：ψ( y)= [FY ( y)]' = 33.[三十] （1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)，求Y = X 3的概率密度。 ∵ Y=g (X )= X 3 是X單調(diào)增函數(shù)， 又 X=h (Y ) =，反函數(shù)存在， 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度為： ψ( y)= f [h ( h )]·| h' ( y)| = （2）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X 2的概率密度。 x O y=x2 y 法一：∵ X的分布密度為： Y=x2是非單調(diào)函數(shù) 當(dāng) x<0時(shí) y=x2 ' 反函數(shù)是 當(dāng) x<0時(shí) y=x2 & ∴ Y～ fY (y) = － = 法二： ∴ Y～ fY (y) = 34.[三十一] 設(shè)X的概率密度為 求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 當(dāng)y<0時(shí)：FY ( y)=0 當(dāng)0≤y≤1時(shí)：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) = 當(dāng)10時(shí)，由和的概率公式知 ∴ （2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為 設(shè)ξ表示第三周需要量，其概率密度為： z與ξ相互獨(dú)立 η= z +ξ表示前三周需要量 則：∵η≥0， ∴當(dāng)u<0， fη(u) = 0 當(dāng)u>0時(shí) 所以η的概率密度為 30． 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。隨機(jī)地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時(shí)的概率。 解：設(shè)X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為： 設(shè)N=min{X1，X2，X3，X 4} P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180} =P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063 27.[二十八] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為 X Y 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.03 0.04 0.05 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.06 0.05 0.06 0.09 0.08 0.06 0.05 （1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0} （2）求V=max (X, Y )的分布律 （3）求U = min (X, Y )的分布律 解：（1）由條件概率公式 P {X=2|Y=2}= = = 同理 P {Y=3|X=0}= （2）變量V=max{X, Y } 顯然V是一隨機(jī)變量，其取值為 V：0 1 2 3 4 5 P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0 P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =0.01+0.02+0.01=0.04 P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16 P {V=3}=P {X=3，Y=0}