【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第15講 等腰三角形（含答案點(diǎn)撥） 新人教版

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1、 第15講　等腰三角形 考綱要求 命題趨勢 1．了解等腰三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)及判定． 2．了解等邊三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)及判定． 3．掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及判定． 4．掌握角平分線的性質(zhì)及判定. 　　等腰三角形的概念、性質(zhì)、判定是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，在選擇題、填空題、解答題中均有出現(xiàn)；等邊三角形、線段的垂直平分線及角的平分線在中考中也經(jīng)?？疾? 知識梳理 一、等腰三角形 1．等腰三角形的有關(guān)概念及分類 有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，三邊相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分為腰和底______的等腰三角形和______三角形．

2、 2．等腰三角形的性質(zhì) (1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱為“等邊對等角”)；(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡稱為“三線合一”)；(3)等腰三角形是軸對稱圖形． 3．等腰三角形的判定 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等(簡稱為“等角對等邊”)． 二、等邊三角形的性質(zhì)與判定 1．等邊三角形的性質(zhì) (1)等邊三角形的內(nèi)角相等，且都等于________；(2)等邊三角形的三條邊都________． 2．等邊三角形的判定 (1)________相等的三角形是等邊三角形；(2)________相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)

3、角為________的等腰三角形是等邊三角形． 三、線段的垂直平分線 1．概念：經(jīng)過線段中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫________． 2．性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離________． 3．判定：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)__________的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合． 四、角的平分線 1．性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離________． 2．判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的______上，角的平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合． 自主測試 1

4、．等腰三角形的周長為14，其中一邊長為4，那么，它的底邊長為__________． 2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，則D點(diǎn)到AB的距離是__________． 3．等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為__________． 4．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的兩根，則這個(gè)三角形的周長為(　　) A．8 B．10 C．8或10 D．不能確定 考點(diǎn)一、等腰三角形的性質(zhì)與判定 【例1】已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝OC. (1)如圖甲，若點(diǎn)O在邊

5、BC上，求證：AB＝AC； (2)如圖乙，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC； (3)若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請畫圖表示． 解：(1)證明：過點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，由題意知，OE＝OF，OB＝OC， ∴Rt△OEB≌Rt△OFC， ∴∠B＝∠C，從而AB＝AC. (2)證明：過點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，由題意知，OE＝OF. 在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC， ∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝∠OCF. 又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB， ∴∠

6、ABC＝∠ACB，∴AB＝AC. (3)不一定成立． 當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)，有AB＝AC；否則，AB≠AC，如示例圖． 方法總結(jié) 1．要證明一個(gè)三角形為等腰三角形，須證明這個(gè)三角形的兩條邊相等或兩個(gè)角相等，兩種方法往往都需要證明三角形全等． 2．若三角形中出現(xiàn)了高線、中線或角平分線，有時(shí)可以延長某些線段，構(gòu)造出等腰三角形，然后用“三線合一”性質(zhì)去處理． 觸類旁通1 如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC＝BD. 求證：(1)BC＝AD； (2)△OAB是等腰三角形． 考點(diǎn)二、等邊三角形的性質(zhì)與判定 【例2】(1)如圖甲，

7、點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC.求∠AEB的大小． (2)如圖乙，△OAB固定不動(dòng)，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(△OAB和△OCD不能重疊)，求∠AEB的大?。? 分析：解決等邊三角形問題時(shí)，要充分利用等邊三角形三邊相等、三個(gè)角都等于60°的性質(zhì)．全等是解決這類問題最常見的方法． 解：(1)如圖甲． 圖甲 ∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)， ∴OD＝OC＝OB＝OA， ∠1＝∠2＝60°， ∴∠4＝∠5. 又∵∠4＋∠

8、5＝∠2＝60°， ∴∠4＝30°.同理，∠6＝30°. ∵∠AEB＝∠4＋∠6，∴∠AEB＝60°. (2)如圖乙． 圖乙 ∵△DOC和△ABO都是等邊三角形， ∴OD＝OC，OB＝OA， ∠1＝∠2＝60°. 又∵OD＝OA，∴OD＝OB，OA＝OC， ∴∠4＝∠5，∠6＝∠7. ∵∠DOB＝∠1＋∠3，∠AOC＝∠2＋∠3， ∴∠DOB＝∠AOC. ∵∠4＋∠5＋∠DOB＝180°，∠6＋∠7＋∠AOC＝180°， ∴2∠5＝2∠6，∴∠5＝∠6. 又∵∠AEB＝∠8－∠5，∠8＝∠2＋∠6， ∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2， ∴∠AEB＝60°.

9、 方法總結(jié) 1．等邊三角形的各邊相等，各角相等，所以常利用其證明三角形全等或線段及角相等． 2．等邊三角形重心、內(nèi)心、外心、垂心重合于一點(diǎn)，稱為等邊三角形的中心．(四心合一) 觸類旁通2 已知，如圖，延長△ABC的各邊，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到△DEF為等邊三角形． 求證：(1)△AEF≌△CDE； (2)△ABC為等邊三角形． 考點(diǎn)三、線段的垂直平分線 【例3】如圖，△ABC的周長為30 cm，把△ABC的邊AC對折，使頂點(diǎn)C和點(diǎn)A重合，折痕交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E，連接AD，若AE＝4 cm，則△ABD的周長是(　　) A

10、．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm 解析：由題意可知DE為AC的垂直平分線，所以AD＝CD，AC＝2AE＝8 cm.因?yàn)椤鰽BC的周長為30 cm，所以AB＋BC＋AC＝30 cm，所以AB＋BC＝22 cm.所以△ABD的周長為AB＋BD＋AD＝AB＋BC＝22 cm. 答案：A 方法總結(jié) 1．線段垂直平分線的性質(zhì)有兩個(gè)：(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；(2)線段垂直平分線垂直、平分這條線段． 2．線段垂直平分線的性質(zhì)定理在中考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，且常與三角形的周長結(jié)合命題． 觸類旁通3 如

11、圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數(shù)． 考點(diǎn)四、角的平分線 【例4】如圖，已知CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，且CD，BE相交于點(diǎn)O. 求證：(1)當(dāng)∠1＝∠2時(shí)，OB＝OC； (2)當(dāng)OB＝OC時(shí)，∠1＝∠2. 證明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC， ∴OE＝OD. ∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°， ∴△OEC≌△ODB. ∴OB＝OC. (2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC， ∴△OEC≌△ODB. ∴OE＝OD. ∵CD⊥AB，BE⊥AC，

12、∴OA平分∠CAB. ∴∠1＝∠2. 方法總結(jié) 在解決有關(guān)角平分線的問題時(shí)通常做法是過角平分線上一點(diǎn)作角的兩邊的垂線． 觸類旁通4 如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP 1．(2012貴州銅仁)如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2

13、．(2012江西南昌)若等腰三角形的頂角為80°，則它的底角是(　　) A．20° B．50° C．60° D．80° 3．(2012浙江寧波)如圖，AE∥BD，C是BD上的點(diǎn)，且AB＝BC，∠ACD＝110°，則∠EAB＝______度． 4．(2012廣東廣州)如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，D是BC上一點(diǎn)，且BC＝3BD，△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，則CE的長度為________． 5．(2012湖南益陽)如圖，已知AE∥BC，AE平分∠DAC. 求證：AB＝AC. 6．(2012湖北隨州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

14、，點(diǎn)E在AD上． 求證：(1)△ABD≌△ACD； (2)BE＝CE. 1．如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)A(2，－1)，O為原點(diǎn)，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果以點(diǎn)P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．如圖所示，A，B，C分別表示三個(gè)村莊，AB＝1 000米，BC＝600米，AC＝800米，在社會主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，則活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在(　　) A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn) C．AC中點(diǎn)

15、 D．∠C的平分線與AB的交點(diǎn) 3．在△ABC中，∠B和∠C的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DF∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BD＋CE＝9，則線段DE的長為(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 4．如圖，P，Q是△ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，則∠BAC＝(　　) A．125° B．130° C．90° D．120° 5．如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂線交BC于點(diǎn)D，AC的中垂線交BC于點(diǎn)E，則△ADE的周長等于__________． 6．如圖，已知△ABC是等

16、邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝__________度． 7．已知等腰△ABC的周長為10，若設(shè)腰長為x，則x的取值范圍是__________． 8．如圖所示，在△ABC中，D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件： ①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD. (1)上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定△ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情況)； (2)選擇第(1)小題中的一種情況，證明△ABC是等腰三角形． 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識 自主測試 1．4或6　如果腰長為4，則底邊長為14－2

17、×4＝6；如果底邊長為4，則兩腰分別為5,5. 2．3　∵在Rt△ADC中，CD＝＝3，∴D點(diǎn)到AB的距離＝CD＝3. 3．8或或3 4．B　解方程x2－6x＋8＝0得x1＝2，x2＝4，當(dāng)腰為2時(shí)，2＋2＝4(舍去)，當(dāng)腰為4時(shí)，周長為4＋4＋2＝10. 探究考點(diǎn)方法 觸類旁通1．證明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°. 在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD， ∴△ACB≌△BDA(HL)． ∴BC＝AD. (2)由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA. ∴△OAB是等腰三角形． 觸類旁通2．證明：(1)∵BF＝AC，AB＝A

18、E，∴FA＝EC. ∵△DEF是等邊三角形，∴EF＝DE. 又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE. (2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC. ∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，△DEF是等邊三角形， ∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°. 同理可得∠BAC＝60°. ∴△ABC中，AB＝BC. ∴△ABC是等邊三角形． 觸類旁通3．解：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD. ∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠B＝∠BAD. ∴∠CAD＝∠BAD＝∠B. ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠CAD＋∠DAE＋∠B＝90°

19、. ∴∠B＝30°. 觸類旁通4．D 品鑒經(jīng)典考題 1．D　∵∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB. ∵M(jìn)N∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN. ∴MN＝ME＋EN，即MN＝BM＋CN. ∵BM＋CN＝9，∴MN＝9，故選D. 2．B　因?yàn)榈妊切蔚捻斀菫?0°，所以底角＝(180°－80°)÷2＝50°. 3．40　∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC. ∵∠ACD＝110°，∴∠ACB＝∠BAC＝70°，∴∠B＝∠40°. ∵AE∥BD，

20、∴∠EAB＝∠B＝40°. 4．2　在等邊三角形ABC中，AB＝6，∴BC＝AB＝6. ∵BC＝3BD，∴BD＝BC＝2. ∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2. 5．證明：∵AE平分∠DAC，∴∠1＝∠2. ∵AE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC. 6．證明：(1)在△ABD和△ACD中， ∵D是BC的中點(diǎn)， ?△ABC≌△ACD(SSS)． (2)由(1)知△ABD≌△ACD， ∴∠BAD＝∠CAD， 即∠BAE＝∠CAE. 在△ABE和△ACE中， ?△ABE≌△ACE(SAS)． ∴BE＝

21、CE. 研習(xí)預(yù)測試題 1．C　因?yàn)閤軸負(fù)半軸有一個(gè)點(diǎn)，x軸正半軸有三個(gè)點(diǎn)，所以符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4. 2．A 3．A　∵BF平分∠ABC，如圖， ∴∠ABF＝∠CBF. ∵CF平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCF. ∵DF∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF. ∴∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠EFC. ∴BD＝DF，EF＝CE. ∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE＝9. 4．D 5．8　因?yàn)椤鰽DE的周長＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝8. 6．15 7．＜x＜5　由三角形的三邊關(guān)系得 解得＜x＜5. 8．解：(1)①③；②③. (2)①③. 證明：∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD， ∴△BEO≌△CDO.∴OB＝OC. ∴∠OBC＝∠OCB.∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC. ∴△ABC為等腰三角形． 10