【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第22講 圖形的相似（含答案點(diǎn)撥） 新人教版

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1、 第22講　圖形的相似 考綱要求 命題趨勢(shì) 1．了解比例線(xiàn)段的有關(guān)概念及其性質(zhì)，并會(huì)用比例的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題． 2．了解相似多邊形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性質(zhì)和判定并會(huì)運(yùn)用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 3．了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運(yùn)用其性質(zhì). 　　相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點(diǎn)，其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長(zhǎng)比的關(guān)系考查較多．相似三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用是考查的重點(diǎn)，常與方程、圓、四邊形、三角函數(shù)等相結(jié)合，進(jìn)行有關(guān)計(jì)算或證明. 知識(shí)梳理 一、比例線(xiàn)段 1．比例線(xiàn)段的定義 在四條線(xiàn)段a，b，c，d中，如果其中兩條線(xiàn)段的比等于另

2、外兩條線(xiàn)段的比，即__________________，那么這四條線(xiàn)段a，b，c，d叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)__________． 2．比例線(xiàn)段的基本性質(zhì) ＝?ad＝bc. 3．黃金分割 把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的__________，叫做把線(xiàn)段AB黃金分割，C叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn).≈0.618AB，BC＝ 二、相似多邊形 1．定義 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做________，相似比為1的兩個(gè)多邊形全等． 2．性質(zhì) (1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角________，對(duì)應(yīng)邊成________；

3、 (2)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于________； (3)相似多邊形面積的比等于__________． 三、相似三角形 1．定義 各角對(duì)應(yīng)________，各邊對(duì)應(yīng)成________的兩個(gè)三角形叫做相似三角形． 2．判定 (1)平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形與________相似； (2)兩角對(duì)應(yīng)________，兩三角形相似； (3)兩邊對(duì)應(yīng)成________且?jiàn)A角________，兩三角形相似； (4)三邊對(duì)應(yīng)成________，兩三角形相似； (5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似． 3．性質(zhì) (1)相似三角形的對(duì)

4、應(yīng)角________，對(duì)應(yīng)邊成________； (2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于________； (3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于________； (4)相似三角形面積的比等于____________． 四、位似變換與位似圖形 1．定義 取定一點(diǎn)O，把圖形上任意一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到射線(xiàn)OP(或它的反向延長(zhǎng)線(xiàn))上一點(diǎn)P′，使得線(xiàn)段OP′與OP的______等于常數(shù)k(k＞0)，點(diǎn)O對(duì)應(yīng)到它自身，這種變換叫做位似變換，點(diǎn)O叫做________，常數(shù)k叫做________，一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換得到的圖形叫做與原圖形位似的圖形． 2．性質(zhì) 兩個(gè)位似的圖形上每一

5、對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都與位似中心在一條直線(xiàn)上，并且新圖形與原圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于________． 3．畫(huà)位似圖形的步驟 (1)確定位似________； (2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心的線(xiàn)段(或延長(zhǎng)線(xiàn))； (3)按位似比進(jìn)行取點(diǎn)； (4)順次連接各點(diǎn)，所得的圖形就是所求圖形． 自主測(cè)試 1．若相似△ABC與△DEF的相似比為1:3，則△ABC與△DEF的面積比為(　　) A．1:3 B．1:9 C．3:1 D．1: 2．如圖，點(diǎn)F是ABCD的邊CD上一點(diǎn)，直線(xiàn)BF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．＝ B．＝ C

6、．＝ D．＝ 3．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20cm，則五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A′B′C′D′E′的周長(zhǎng)的比值是__________． 4．如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ACB和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)F. 求證：(1)△ACB∽△DCE； (2)EF⊥AB. 考點(diǎn)一、相似圖形的性質(zhì) 【例1】如圖，在長(zhǎng)為8 cm、寬為4 cm的矩形中，截去一個(gè)矩形，使得留下的矩形(圖中陰影部分)與原矩形相似，則留下矩形的面

7、積是(　　) A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2 解析：根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，得＝2，＝，S陰影＝8 cm2. 答案：C 方法總結(jié) 相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，利用相似多邊形的性質(zhì)可求多邊形的邊長(zhǎng)、角、周長(zhǎng)或面積． 觸類(lèi)旁通1 如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則∠α的度數(shù)是(　　) 　 A．87° B．60° C．75° D．120° 考點(diǎn)二、相似三角形的性質(zhì)與判定 【例2】如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，C

8、D邊上的點(diǎn)，連接BE，AF，它們相交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，則圖中相似三角形共有(　　) A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì) 解析：依據(jù)題中的條件，平行四邊形的對(duì)邊平行，由AD∥BC，可得△HED∽△HBC，由AB∥CD，可得△HED∽△BEA，△HFG∽△BAG.根據(jù)相似的傳遞性，可得△HBC∽△BEA，一共有四對(duì)相似三角形． 答案：C 方法總結(jié) 判定兩個(gè)三角形是否相似首先看是否存在平行線(xiàn)或能否作出相關(guān)的平行線(xiàn)，再看是否存在兩組對(duì)應(yīng)角相等，若只有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，再看夾這個(gè)角的兩邊是否成比例；若無(wú)內(nèi)角相等，就考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例

9、． 觸類(lèi)旁通2 已知如圖(1)，(2)中各有兩個(gè)三角形，其邊長(zhǎng)和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，圖(2)中AB，CD交于O點(diǎn)，對(duì)于各圖中的兩個(gè)三角形而言，下列說(shuō)法正確的是(　　) A．都相似 B．都不相似 C．只有(1)相似 D．只有(2)相似 考點(diǎn)三、位似圖形 【例3】如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(　　) A．(3,2) B．(－2，－3) C．(2,3

10、)或(－2，－3) D．(3,2)或(－3，－2) 解析：分兩種情況計(jì)算，即矩形OABC和矩形OA′B′C′在原點(diǎn)的同側(cè)和兩側(cè)． 答案：D 方法總結(jié) 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形，利用位似的方法，可以把一個(gè)多邊形放大或縮?。凰茍D形所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)相交于位似中心． 觸類(lèi)旁通3 如圖，△ABC中，A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(－1,0)．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是(　　) A．－a B．－(a＋1)

11、 C．－(a－1) D．－(a＋3) 考點(diǎn)四、相似三角形的應(yīng)用 【例4】問(wèn)題背景：在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽(yáng)光下對(duì)校園中的一些物體進(jìn)行了測(cè)量，下面是他們通過(guò)測(cè)量得到的一些信息： 甲組：如圖(1)，測(cè)得一根直立于平地，長(zhǎng)為80 cm的竹竿的影長(zhǎng)為60 cm. 乙組：如圖(2)，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900 cm. 丙組：如圖(3)，測(cè)得校園景燈(燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì))的高度為200 cm，影長(zhǎng)為156 cm. 任務(wù)要求： (1)請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度； (2)如圖(3)，設(shè)太陽(yáng)光線(xiàn)NH與⊙O相切于

12、點(diǎn)M.請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．(提示：如圖(3)，景燈的影長(zhǎng)等于線(xiàn)段NG的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采用等式1562＋2082＝2602) 解：(1)如題圖，△ABC∽△DEF，∴＝. ∵AB＝80 cm，AC＝60 cm，DF＝900 cm，∴＝. ∴DE＝1 200 cm，即DE＝12 m. 故學(xué)校旗桿的高度是12 m. (2)如題圖(3)，連接OM，設(shè)⊙O的半徑為r cm. 與(1)類(lèi)似得＝，即＝. ∴GN＝208 cm. 在Rt△NGH中，根據(jù)勾股定理得NH2＝1562＋2082＝2602，∴NH＝260 cm. ∵NH切⊙O于M， ∴OM⊥NH.

13、則∠OMN＝∠HGN＝90°.又∠ONM＝∠HNG， ∴△OMN∽△HGN.∴＝. 又∵ON＝OI＋I(xiàn)N＝OI＋(GN－GI)＝r＋8， ∴＝，解得r＝12. ∴景燈燈罩的半徑是12 cm. 方法總結(jié) 應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例或相似三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系求解． 觸類(lèi)旁通4 一個(gè)鋁質(zhì)三角形框架三條邊長(zhǎng)分別為24 cm,30 cm,36 cm，要做一個(gè)與它相似的鋁質(zhì)三角形框架，現(xiàn)有長(zhǎng)為27 cm,45 cm的兩根鋁材，要求以其中的一根為一邊，從另一根上截下兩段(允許有余料)作為另外兩邊．截法有(　　)

14、 A．0種 B．1種 C．2種 D．3種 1．(2012貴州銅仁)如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2:1，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．∠E＝2∠K B．BC＝2HI C．六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)＝六邊形GHIJKL的周長(zhǎng) D．S六邊形ABCDEF＝2S六邊形GHIJKL 2．(2012山東聊城)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是(　　) A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC C．＝ D．S△ABC＝3S△ADE 3．(2012山東泰安)

15、如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB＝5，CD＝3，則EF的長(zhǎng)是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4．(2012重慶)已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周長(zhǎng)為3，△DEF的周長(zhǎng)為1，則△ABC與△DEF的面積之比為_(kāi)_________． 5．(2012湖南婁底)如圖，在一場(chǎng)羽毛球比賽中，站在場(chǎng)內(nèi)M處的運(yùn)動(dòng)員林丹把球從N點(diǎn)擊到了對(duì)方內(nèi)的B點(diǎn)，已知網(wǎng)高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，則林丹起跳后擊球點(diǎn)N離地面的距離NM＝__________米． 6．(2012湖南張家界)已知△ABC與△DEF相似且面積比為4:25，則△A

16、BC與△DEF的相似比為_(kāi)_________． 1．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(　　) 2．如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，DE為中位線(xiàn)，則四邊形BCED的面積為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知△ABC與△DEF相似且對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比為2:3，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為_(kāi)_________． 4．如圖，在△ABC中，DE∥AB，CD:DA＝2:3，DE＝4，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_________． (第4題圖) 5．如圖，為了測(cè)量某棵樹(shù)的高度，小明用長(zhǎng)為2 m的竹竿做測(cè)量工具，

17、移動(dòng)竹竿，使竹竿、樹(shù)的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)．此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距6 m，與樹(shù)相距15 m，則樹(shù)的高度為_(kāi)_________ m. (第5題圖) 6．如圖所示，正方形ABCD和正方形OEFG中，點(diǎn)A和點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為(3,2)，(－1，－1)，則兩個(gè)正方形的位似中心的坐標(biāo)是__________． 7．如圖，∠1＝∠2，添加一個(gè)條件使得△ADE∽△ACB__________. 8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，點(diǎn)E在AD邊上且AE＝8，EF⊥BE交CD于點(diǎn)F. (1)求證：△ABE∽△DEF. (2)求EF的長(zhǎng)． 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識(shí)

18、 自主測(cè)試 1．B　2．C　3．1:2 4．證明：(1)∵＝，＝＝，∴＝． 又∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB∽△DCE. (2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC. 又∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°. ∴∠EFA＝90°，∴EF⊥AB. 探究考點(diǎn)方法 觸類(lèi)旁通1．A 觸類(lèi)旁通2．A 觸類(lèi)旁通3．D 觸類(lèi)旁通4．B　(1)假設(shè)以27 cm為一邊，把45 cm截成兩段，設(shè)這兩段分別為x cm，y cm(x＜y)．則可得：＝＝①或＝＝②(注：27 cm不可能是最小邊)，由①解得x＝18，y＝22.5，符合題意；由②解得x＝，y＝，x＋y＝＋＝＝

19、54＞45，不合題意，舍去． (2)假設(shè)以45 cm為一邊，把27 cm截成兩段，設(shè)這兩段分別為x cm，y cm(x＜y)．則可得：＝＝(注：只能是45是最大邊)，解得x＝30，y＝，x＋y＝30＋37.5＝67.5＞27，不合題意，舍去．綜合以上可知，截法只有一種． 品鑒經(jīng)典考題 1．B　∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL， ∴∠E＝∠K，故A錯(cuò)誤； ∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2:1， ∴BC＝2HI，故B正確； ∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2:1， ∴六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)＝六邊形GHIJKL的周長(zhǎng)×2，故C錯(cuò)誤；

20、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2:1， ∴S六邊形ABCDEF＝4S六邊形GHIJKL，故D錯(cuò)誤． 故選B. 2．D　∵在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)， ∴DE∥BC，BC＝2DE，故A正確； ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正確； ∵△ADE∽△ABC，∴＝，故C正確； ∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴AD:AB＝1:2， 又∵△ADE∽△ABC，∴S△ABC＝4S△ADE，故D錯(cuò)誤． 3．D　連接DE并延長(zhǎng)交AB于H. ∵CD∥AB， ∴∠C＝∠A，∠CDE＝∠AHE. ∵E是AC中點(diǎn)，∴EC＝AE， ∴△DCE≌△HA

21、E， ∴DE＝HE，DC＝AH. ∵F是BD中點(diǎn)， ∴EF是△DHB的中位線(xiàn)， ∴EF＝BH. ∵BH＝AB－AH＝AB－DC＝2，∴EF＝1. 故選D. 4．9:1　∵△ABC∽△DEF，△ABC的周長(zhǎng)為3，△DEF的周長(zhǎng)為1，∴三角形的相似比是3:1， ∴△ABC與△DEF的面積之比為9:1. 5．3.42　根據(jù)題意得AO⊥BM，NM⊥BM， ∴AO∥NM，∴△ABO∽△NBM，∴＝. ∵OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米， ∴BM＝OB＋OM＝4＋5＝9(米)，∴＝， 解得NM＝3.42(米)， ∴林丹起跳后擊球點(diǎn)N離地面的距離NM為3.42米． 故答案為3.42. 6．2:5 研習(xí)預(yù)測(cè)試題 1．A　2．B　3．2:3　4．10　5．7　6．(1,0)或(－5，－2) 7．略． 8．(1)證明：如圖，∵EF⊥BE， ∴∠EFB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. 在矩形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DEF. (2)解：在△ABE中，∠A＝90°，AB＝6，AE＝8， ∴BE＝＝＝10. 又∵DE＝AD－AE＝12－8＝4， 由(1)得△ABE∽△DEF. ∴＝. ∴EF＝＝＝. 10