【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第27講 尺規(guī)作圖（含答案點(diǎn)撥）新人教版

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1、 第27講　尺規(guī)作圖 考綱要求 命題趨勢 1．能用尺規(guī)完成五種基本作圖． 2．會(huì)寫已知、求作，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法． 3．能運(yùn)用尺規(guī)的基本作圖方法解決作圖的簡單應(yīng)用問題. 　　中考對本部分內(nèi)容的考查主要是利用尺規(guī)作圖解決實(shí)際問題的能力，題型主要以設(shè)計(jì)、探究形式的解答題為主. 知識(shí)梳理 一、尺規(guī)作圖 1．定義 只用沒有刻度的__________和__________作圖叫做尺規(guī)作圖． 2．步驟 ①根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分；②分析作圖的方法和過程；③用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖；④寫出作法步驟，即作法． 二、五種基本作圖

2、 1．作一條線段等于已知線段；2．作一個(gè)角等于已知角；3．作已知角的平分線；4．過一點(diǎn)作已知直線的垂線；5．作已知線段的垂直平分線． 三、基本作圖的應(yīng)用 1．利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形． 2．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖 (1)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓)． (2)作三角形的內(nèi)切圓． 自主測試 1．如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C，D兩

3、點(diǎn)，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是(　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．用直尺和圓規(guī)作一個(gè)菱形，如圖，能得到四邊形ABCD是菱形的依據(jù)是(　　) A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 B．四邊相等的四邊形是菱形 C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．每條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形 3．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°. (1)實(shí)驗(yàn)與操作 利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母(保留作圖痕跡，不寫作法)． ①作△ABC的外接圓，圓心為O； ②以線段AC為一邊，在AC

4、的右側(cè)作等邊△ACD； ③連接BD，交⊙O于點(diǎn)E，連接AE. (2)綜合運(yùn)用 在你所作的圖中，若AB＝4，BC＝2，則 ①AD與⊙O的位置關(guān)系是__________． ②線段AE的長為__________． 4．A，B兩所學(xué)校在一條東西走向公路的同旁，以公路所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7,3)． (1)一輛汽車由西向東行駛，在行駛過程中是否存在一點(diǎn)C，使C點(diǎn)到A，B兩校的距離相等？如果有，請用尺規(guī)作圖找出該點(diǎn)，保留作圖痕跡，不求該點(diǎn)坐標(biāo)． (2)若在公路邊建一游樂場P，使游樂場到兩校距離之和最小，通過作圖在圖中找出建游

5、樂場P的位置，并求出它的坐標(biāo)． 考點(diǎn)一、基本作圖 【例1】按要求用尺規(guī)作圖(只保留作圖痕跡，不必寫出作法)． (1)在圖(1)中作出∠ABC的平分線； (2)在圖(2)中作出△DEF的外接圓O. 解：如圖． 方法總結(jié) 依據(jù)基本作圖的方法步驟，規(guī)范作圖，注意一定保留好作圖痕跡． 觸類旁通1 畫△ABC，使其兩邊為已知線段a，b，夾角為β.(要求：用尺規(guī)作圖，寫出已知、求作；保留作圖痕跡；不在已知的線、角上作圖；不寫作法) 已知： 求作： 考點(diǎn)二、基本作圖的實(shí)際應(yīng)用 【例2】如圖，要在一塊形狀為直角三角形(∠C為直角)的鐵皮上裁出一個(gè)半圓形的鐵皮，需先在這

6、塊鐵皮上畫出一個(gè)半圓，使它的圓心在線段AC上，且與AB，BC都相切．請你用直尺和圓規(guī)畫出來(要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)． 分析：∵圓與AB，BC都相切，∴圓心到AB，BC的距離相等．∴圓心應(yīng)是∠ABC的角平分線與AC的交點(diǎn)． 解：下圖即為所求圖形． 方法總結(jié) 要作一個(gè)圓與角的兩邊都相切，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即可解決問題． 觸類旁通2 為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個(gè)醫(yī)療點(diǎn)P，使P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的村委會(huì)所在地的距離都相等(A，B，C不在同一直線上，地理位置如下圖)，請你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)P的位

7、置． 要求：寫出已知、求作；不寫作法，保留作圖痕跡． 1．(2012浙江紹興)如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內(nèi)切正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別如下： 甲：1．作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點(diǎn)． 2．連接AB，AC. △ABC即為所求作的三角形． 乙：1．以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn)． 2．連接AB，BC，AC. △ABC即為所求作的三角形． 對于甲、乙兩人的作法，可判斷(　　) A．甲、乙均正確 B．甲、乙均錯(cuò)誤 C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確 2．(2012山東濟(jì)寧)用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的

8、示意圖如圖所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是(　　) A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等 3．(2012貴州銅仁)某市計(jì)劃在新竣工的矩形廣場的內(nèi)部修建一個(gè)音樂噴泉，要求音樂噴泉M到廣場的兩個(gè)入口A，B的距離相等，且到廣場管理處C的距離等于A和B之間距離的一半，A，B，C的位置如圖所示，請?jiān)谠瓐D上利用尺規(guī)作圖作出音樂噴泉M的位置．(要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論，保留作圖痕跡，必須用鉛筆作圖) 4．(2012山東德州)有公路l1同側(cè)、l2異側(cè)的兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B，如下圖．電信部門要修建一座信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射

9、塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應(yīng)修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)，注明點(diǎn)C的位置．(保留作圖痕跡，不要求寫出畫法) 5．(2012廣東)在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°， (1)用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D(保留作圖痕跡，不要求寫作法)； (2)在(1)中作出∠ABC的平分線BD后，求∠BDC的度數(shù)． 1．如圖，銳角△ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作圖： (1)作∠A的角平分線交BC于D點(diǎn)． (2)作AD的中垂線交AC于E點(diǎn)． (3)連接DE. 根據(jù)他畫的圖

10、形，判斷下列關(guān)系何者正確？(　　) A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD＝DE D．CD＝BD 2．如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫射線OB，則cos∠AOB的值等于__________． 3．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師在黑板上畫直線平行于射線AN(如圖)，讓同學(xué)們在直線l和射線AN上各找一點(diǎn)B和C，使得以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．這樣的三角形最多能畫__________個(gè)． 4．如圖，已知∠AOB，點(diǎn)M，N，求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，且PM＝PN.(保留作圖

11、痕跡，不寫作法) 5．某汽車探險(xiǎn)隊(duì)要從A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l邊為汽車加水，汽車在河邊哪一點(diǎn)加水，才能使行駛的總路程最短？請你在圖上畫出這一點(diǎn)． 6．如圖，在△ABC中，∠A＝90°. (1)用尺規(guī)作圖的方法，作出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的圖形△AB1C1(保留作圖痕跡)； (2)若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1. 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識(shí) 自主測試 1．B　∵分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C，D， ∴AC＝AD＝BD＝BC， ∴四邊形ADBC一定是菱形．故選B. 2．B　由圖形作法可知，AD＝AB＝DC＝B

12、C， ∴四邊形ABCD是菱形，故選B. 3．解：(1)如圖， (2)①相切?、? 4．解：(1)存在滿足條件的點(diǎn)C. 作出圖形，如圖所示． (2)作點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A′(2，－2)，連接A′B，與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.設(shè)A′B所在直線的解析式為y＝kx＋b，把(2，－2)和(7,3)代入得解得 ∴y＝x－4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4， ∴交點(diǎn)P為(4,0)． 探究考點(diǎn)方法 觸類旁通1．解：已知：線段a，b，角β. 求作：△ABC，使邊BC＝a，AC＝b，∠C＝β. 畫圖(保留作圖痕跡) 觸類旁通2．解：已知A村、B村、C村，求作新建一個(gè)醫(yī)療點(diǎn)P，使

13、P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的村委會(huì)所在地的距離都相等． 品鑒經(jīng)典考題 1．A　根據(jù)甲的思路，作出圖形如下： 連接OB.∵BC垂直平分OD， ∴E為OD的中點(diǎn)，且OD⊥BC， ∴OE＝DE＝OD. 在Rt△OBE中，∵OB＝OD， ∴OE＝OB， ∴∠OBE＝30°.又∠OEB＝90°，∴∠BOE＝60°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. 又∠BOE為△AOB的外角， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°. 同理∠C＝60°，∴∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠C， ∴△ABC為等邊三角形，故甲的作法正確．

14、 根據(jù)乙的思路，作圖如下： 連接OB，BD.∵OD＝BD，OD＝OB， ∴OD＝BD＝OB，∴△BOD為等邊三角形， ∴∠OBD＝∠BOD＝60°. 同理可知△COD也為等邊三角形，∠OCD＝∠COD＝60°， ∴∠BOC＋∠OCD＝∠BOD＋∠COD＋∠OCD＝180°， ∴BO∥CD. 又∵△BOD和△COD是等邊三角形， ∴四邊形BDCO是菱形， ∴∠OBM＝∠DBM＝30°. 又OA＝OB，且∠BOD為△AOB的外角， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， ∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°， 同理∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠A

15、CB＝∠BAC， ∴△ABC為等邊三角形，故乙的作法正確．故選A. 2．A　連接NC，MC. 在△ONC和△OMC中， ∴△ONC≌△OMC(SSS)，∴∠AOC＝∠BOC.故選A. 3．解：作圖如圖所示． 4．解：作圖如圖所示： 5．解：(1)作圖如下： (2)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BAC＝36°. 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC＝×72°＝36°， ∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°. 研習(xí)預(yù)測試題 1．B　依據(jù)題意畫出圖形． 可得知∠1＝∠2，AE＝DE，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，即DE∥AB.故選B. 2． 3．3 4．解：如圖，連接MN，作線段MN的垂直平分線EF，∠AOB的角平分線OC，EF與OC相交于點(diǎn)P.則點(diǎn)P即為所求． 5．解：如圖所示，點(diǎn)C即為所求． 6．解：(1)作∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB， 作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC， 如圖所示即是所求． (2)∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4， ∴AB1＝3，AC1＝4，tan∠AB1C1＝＝. 10