【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第17講 銳角三角函數(shù)與解直角三角形（含答案點(diǎn)撥） 新人教版

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1、 第17講　銳角三角函數(shù)與解直角三角形 考綱要求 命題趨勢(shì) 1．理解銳角三角函數(shù)的定義，掌握特殊銳角(30°，45°，60°)的三角函數(shù)值，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算． 2．掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，會(huì)解直角三角形． 3．利用解直角三角形的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 　　中考中主要考查銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值及解直角三角形．題型以解答題和填空題為主，試題難度不大，其中運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的應(yīng)用題是熱點(diǎn). 知識(shí)梳理 一、銳角三角函數(shù)定義 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c. ∠A的正弦：sin A＝＝__

2、______； ∠A的余弦：cos A＝＝________； ∠A的正切：tan A＝＝________. 它們統(tǒng)稱為∠A的銳角三角函數(shù)． 銳角的三角函數(shù)只能在直角三角形中使用，如果沒(méi)有直角三角形，常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形． 二、特殊角的三角函數(shù)值 三、解直角三角形 1．定義： 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角) 2．直角三角形的邊角關(guān)系： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c. (1)三邊之間的關(guān)系：____________；

3、 (2)銳角之間的關(guān)系：____________； (3)邊角之間的關(guān)系：sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝. 3．解直角三角形的幾種類型及解法： (1)已知一條直角邊和一個(gè)銳角(如a，∠A)，其解法為：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)； (2)已知斜邊和一個(gè)銳角(如c，∠A)，其解法為：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝)； (3)已知兩直角邊a，b，其解法為：c＝， 由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A； (4)已知斜邊和一直角邊(如c，a)，其解法為：b＝，由sin A＝，求出∠A

4、，∠B＝90°－∠A. 四、解直角三角形的應(yīng)用 1．仰角與俯角：在進(jìn)行觀察時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角． 2．坡角與坡度：坡角是坡面與水平面所成的角；坡度是斜坡上兩點(diǎn)________與水平距離之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________． 自主測(cè)試 1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．sin A＝　　　　B．tan A＝ C．cos B＝　　　　D．tan B＝ 2．如圖，A，B，C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△A

5、CB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tan B′的值為(　　) A． B． C． D． 3．已知α是銳角，且sin(α＋15°)＝，計(jì)算－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋－1的值． 考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的定義 【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，則sin A的值是(　　) A． B． C． D． 解析：∵在Rt△ABC中，AB＝13，BC＝5，∴sin A＝＝，故選A. 答案：A 方法總結(jié) 求銳角三角函數(shù)值時(shí)，必須牢記銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是：(1

6、)確定所求的角所在的直角三角形；(2)準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)的公式．解題的前提是在直角三角形中，如果題目中無(wú)直角時(shí)，必須想辦法構(gòu)造一個(gè)直角三角形． 觸類旁通1 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，若AB＝4，BC＝5，則tan∠AFE的值為(　　) A． B． C． D． 考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值 【例2】如果△ABC中，sin A＝cos B＝，則下列最確切的結(jié)論是(　　) A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是銳角三角形 解析：

7、由sin A＝cos B＝可知，∠A＝∠B＝45°， 所以∠C＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形． 答案：C 方法總結(jié) 特殊角的三角函數(shù)值在中考當(dāng)中出現(xiàn)的概率很大，同學(xué)們應(yīng)該熟記，但不要死記，可以結(jié)合圖形，根據(jù)定義理解記憶． 觸類旁通2 計(jì)算：|－2|＋2sin 30°－(－)2＋(tan 45°)－1. 考點(diǎn)三、解直角三角形 【例3】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cos A＝. 求：(1)DE，CD的長(zhǎng)；(2)tan∠DBC的值． 解：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，co

8、s A＝，即＝.∴AD＝10. 根據(jù)勾股定理得DE＝＝＝8. 又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DC＝DE＝8. (2)∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cos A＝，即＝，∴AB＝30.根據(jù)勾股定理得BC＝＝＝24. ∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝＝＝. 方法總結(jié) 解這類問(wèn)題主要是綜合運(yùn)用勾股定理、銳角三角函數(shù)定義、直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角．解題時(shí)應(yīng)盡量使用原始數(shù)據(jù)，能用乘法運(yùn)算就盡量不用除法運(yùn)算． 觸類旁通3 如圖是教學(xué)用的直角三角板，邊AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，則邊BC的長(zhǎng)為(　　) A．30c

9、m B．20cm C．10cm D．5cm 考點(diǎn)四、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用 【例4】某興趣小組用高為1.2米的儀器測(cè)量建筑物CD的高度．如圖所示，由距CD一定距離的A處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為β，在A和C之間選一點(diǎn)B，由B處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為α.測(cè)得A，B之間的距離為4米，tan α＝1.6，tan β＝1.2，試求建筑物CD的高度． 分析：求建筑物CD的高度關(guān)鍵是求DG的長(zhǎng)度，先利用三角函數(shù)用DG表示出GF，GE的長(zhǎng)，利用EF＝GE－GF構(gòu)建方程求解． 解：設(shè)建筑物CD與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，DG＝x米． 在Rt△DGF中，tan α

10、＝，即tan α＝. 在Rt△DGE中，tan β＝，即tan β＝. ∴GF＝，GE＝.∴EF＝－. ∴4＝－.解方程，得x＝19.2.∴CD＝DG＋GC＝19.2＋1.2＝20.4(米)． 答：建筑物CD高為20.4米． 方法總結(jié) 利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化和構(gòu)造，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)去解決，解題時(shí)要認(rèn)真審題，讀懂題意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含義，然后再作圖解題． 1．(2012四川樂(lè)山)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，則sin B的值為(　　) A． B．

11、 C． D．1 2．(2012浙江舟山)如圖，A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量這兩點(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在與A同側(cè)的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，則AB等于(　　)米． A．a(chǎn)sin 40° B．a(chǎn)cos 40° C．a(chǎn)tan 40° D． 3．(2012福建福州)如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面上A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是(　　) A．200米 B．200米 C．220米 D．100(＋

12、1)米 4．(2012山東濟(jì)寧)在△ABC中，若∠A，∠B滿足＋2＝0，則∠C＝__________. 5．(2012湖南株洲)數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，老師布置同學(xué)們測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．小民所在的學(xué)習(xí)小組在距離旗桿底部10米的地方，用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂端的仰角為60°，則旗桿的高度是__________米． 6．(2012湖南衡陽(yáng))如圖，一段河壩的橫斷面為梯形ABCD，試根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出壩底寬AD.(i＝CE:ED，單位：m) 7．(2012山東濰坊)校車安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的重大問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了如下檢測(cè)公路上行駛的汽車速度的實(shí)驗(yàn)：先在公路旁

13、邊選取一點(diǎn)C，再在筆直的車道l上確定點(diǎn)D，使CD與l垂直，測(cè)得CD的長(zhǎng)等于21米，在l上點(diǎn)D的同側(cè)取點(diǎn)A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°. (1)求AB的長(zhǎng)(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41)； (2)已知本路段對(duì)校車限速為40千米/時(shí)，若測(cè)得某輛校車從A到B用時(shí)2秒，這輛校車是否超速？說(shuō)明理由． 1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D.若AC＝，BC＝2，則sin∠ACD的值為(　　) A． B． C． D． 2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，

14、記作cot A＝.則下列關(guān)系式中不成立的是(　　) A．tan A·cot A＝1 B．sin A＝tan A·cos A C．cos A＝cot A·sin A D．tan2A＋cot2A＝1 3．如圖，某游樂(lè)場(chǎng)一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為α，那么滑梯長(zhǎng)l為(　　) (第3題圖) A． B． C． D．h·sin α 4．如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC＝5 m，則坡面AB的長(zhǎng)度是(　　) A．10 m B．10m C．15 m D．5m (第4題圖) 5．在一次夏令營(yíng)活動(dòng)

15、中，小明同學(xué)從營(yíng)地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C地，他先沿正東方向走了200 m到達(dá)B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達(dá)目的地C(如圖)，那么，由此可知，B，C兩地相距__________m. 6．如圖所示，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點(diǎn)上，則∠AED的正切值等于__________． 7．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，CD＝5 cm，求AB的長(zhǎng)． 8．綜合實(shí)踐課上，小明所在的小組要測(cè)量護(hù)城河的寬度．如圖所示是護(hù)城河的一段，兩岸AB∥CD，河岸AB上有一排大樹(shù)，相鄰兩棵大樹(shù)之間的距離均為10

16、米．小明先用測(cè)角儀在河岸CD的M處測(cè)得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到達(dá)N點(diǎn)，測(cè)得∠β＝72°.請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)幫小明他們算出河寬FR(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)． (參考數(shù)據(jù)：sin 36°≈0.59.cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08) 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識(shí) 自主測(cè)試 1．D　2．B 3．解：∵sin(α＋15°)＝，∴α＝45°，∴原式＝2－4×－1＋1＋3＝3. 探究考點(diǎn)方法 觸類旁通1．C　由折疊過(guò)程可知，CF＝BC＝5，根據(jù)勾股定理得DF＝3，所以AF＝AD－DF＝2，

17、設(shè)AE＝x，則EF＝BE＝4－x，在Rt△AEF中，(4－x)2＝22＋x2，解得x＝，所以tan∠AFE＝＝＝. 觸類旁通2．解：原式＝2＋2×－3＋1－1＝1. 觸類旁通3．C　因?yàn)閠an∠BAC＝，所以BC＝AC×tan∠BAC＝30×＝10(cm)． 品鑒經(jīng)典考題 1．C　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝＝. ∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sin B＝，故選C. 2．C　在Rt△ABC中，AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，∴tan 40°＝，∴AB＝atan 40°. 3．D　由題意得∠A＝30°，∠B＝45°. AD＝＝

18、100(米)，BD＝＝100(米)， 則AB＝AD＋BD＝100＋100＝100(＋1)(米)． 故選D. 4．75°　由題意得：cos A－＝0，sin B－＝0， ∴cos A＝，sin B＝， ∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝75°. 5．10　在直角三角形中，tan 60°＝，所以旗桿的高度＝10(米)． 6．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD，可得矩形BCEF. ∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4. 在Rt△ABF中，AB＝5，BF＝4. 由勾股定理可得：AF＝＝3(m)． 又∵在Rt△CED中，i＝＝， ∴ED＝2CE＝2×4＝8(m)． ∴AD＝A

19、F＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)． 7．解：(1)由題意得，在Rt△ADC中， AD＝＝＝21≈36.33； 在Rt△BDC中，BD＝＝＝7≈12.11， 所以AB＝AD－BD≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)． (2)校車從A到B用時(shí)2秒， 所以速度為24.2÷2＝12.1(米/秒)， 因?yàn)?2.1×3 600＝43 560， 所以該車速度為43.56千米/時(shí)，大于40千米/時(shí)， 所以此校車在AB路段超速． 研習(xí)預(yù)測(cè)試題 1．A　2．D　3．A　4．A　5．200　6． 7．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.∴AD＝DB. 又∵Rt△CBD中，CD＝5 cm， ∴BD＝10 cm.∴BC＝5cm，AB＝2BC＝10cm. 8．解：過(guò)點(diǎn)F作FG∥EM交CD于G. 則MG＝EF＝20米，∠FGN＝∠α＝36°. ∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°. ∴∠FGN＝∠GFN， ∴FN＝GN＝50－20＝30(米)． 在Rt△FNR中， FR＝FN·sin β＝30×sin 72°≈30×0.95＝28.5≈29(米)． 故河寬FR約為29米． 10