【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第16講 直角三角形（含答案點(diǎn)撥） 新人教版

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1、 第16講　直角三角形 考綱要求 命題趨勢(shì) 1．了解直角三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)與判定． 2．掌握勾股定理與逆定理，并能用來解決有關(guān)問題. 　　直角三角形是中考考查的熱點(diǎn)之一，題型多樣，多以簡(jiǎn)單題和中檔難度題出現(xiàn)，主要考查直角三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及運(yùn)用勾股定理及其逆定理來解決實(shí)際問題的能力. 知識(shí)梳理 一、直角三角形的性質(zhì) 1．直角三角形的兩銳角________． 2．直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的________． 3．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的________． 4．勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 二、直角

2、三角形的判定 1．有一個(gè)角等于________的三角形是直角三角形． 2．有兩角________的三角形是直角三角形． 3．如果三角形一邊上的中線等于這邊的________，則該三角形是直角三角形． 4．勾股定理的逆定理：如果三角形一條邊的平方等于另外兩條邊的________，那么這個(gè)三角形是直角三角形． 自主測(cè)試 1．在△ABC中，若三邊BC，CA，AB滿足BC:CA:AB＝5:12:13，則cos B＝(　　) A． B． C． D． 2．如圖，在△ABC中，DE是中位線，∠ABC的平分線交DE于F，則△ABF一定是(　　) A．銳角三角

3、形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 3．下列各組數(shù)據(jù)分別為三角形的三邊長(zhǎng)：①2,3,4；②5,12,13；③，，；④m2－n2，m2＋n2，2mn.其中是直角三角形的有(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 考點(diǎn)一、直角三角形的判定 【例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為邊BC上的任一點(diǎn)，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)，試判斷△MEF的形狀，并證明你的結(jié)論． 分析：連接AM，可得AM＝BM，然后證明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF＝90°.

4、 解：△MEF是等腰直角三角形． 連接AM，∵∠BAC＝90°，AM是斜邊BC的中線， ∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°. ∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°， ∴四邊形DFAE是矩形，∴FD＝EA. 又∵FB＝FD，∴FB＝EA， ∴△BFM≌△AEM(SAS)， ∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME. ∵∠AMF＋∠BMF＝90°， ∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°， ∴△MEF是等腰直角三角形． 方法總結(jié) 證明一個(gè)三角形是直角三角形的方法比較多，最簡(jiǎn)捷的方法就是求出一個(gè)

5、角等于90°，也可以利用三角形一邊上的中線等于這邊的一半，或者利用勾股定理的逆定理證得． 觸類旁通1 具備下列條件的△ABC中，不能成為直角三角形的是(　　) A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝90°－∠C C．∠A＋∠B＝∠C D．∠A－∠C＝90° 考點(diǎn)二、直角三角形的性質(zhì) 【例2】?jī)蓚€(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC. (1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明(說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母)； (2)證明：DC⊥BE. (1)解：圖2中△ABE≌△ACD. 證明如

6、下： ∵△ABC與△AED均為等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°. ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD. 又∵AB＝AC，AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD. (2)證明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°. 又∠ACB＝45°， ∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°， ∴DC⊥BE. 方法總結(jié) 直角三角形除具有兩銳角互余、兩直角邊的平方和等于斜邊的平方、斜邊的中線等于斜邊的一半這些性質(zhì)外，還具有外接圓半徑等于斜邊的一半，內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半，它的外心是斜邊的中點(diǎn)，

7、垂心是直角頂點(diǎn)等性質(zhì)． 考點(diǎn)三、勾股定理及其逆定理 【例3】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6 cm，BC＝8 cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng)． 解：設(shè)CD長(zhǎng)為x cm，由折疊得△ACD≌△AED. ∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm. 在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝＝＝10(cm)． ∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm， 在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2. ∴x2＋42＝(8－x)2，解

8、得x＝3. ∴CD的長(zhǎng)為3 cm. 方法總結(jié) 1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的兩邊求第三邊，當(dāng)我們只知道直角三角形的一邊時(shí)，如果可以找到另外兩邊的關(guān)系，也可通過列方程的方法求出另外兩條邊． 2．勾股定理逆定理主要是已知一個(gè)三角形的三邊，判斷三角形是否為直角三角形． 觸類旁通2 如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四邊形ABCD的面積． 考點(diǎn)四、勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用 【例4】如圖所示，鐵路上A，B兩站(視為直線上兩點(diǎn))相距14 km，C，D為兩村莊(可視為兩個(gè)點(diǎn))，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8

9、km，CB＝6 km，現(xiàn)要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？ 分析：因?yàn)镈A⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一點(diǎn)可構(gòu)成兩個(gè)直角三角形，我們可想到通過勾股定理列方程進(jìn)行求解． 解：設(shè)E站應(yīng)建在距A站x km處， 根據(jù)勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6. 所以E站應(yīng)建在距A站6 km處． 方法總結(jié) 勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用，是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立勾股定理或逆定理的數(shù)學(xué)模型．通過解決數(shù)學(xué)問題，使實(shí)際問題得以解決． 觸類旁通3 有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊的長(zhǎng)分別為6 m，8

10、m，現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8 m為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)． 1．(2012廣東廣州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點(diǎn)C到AB的距離是(　　) A． B． C． D． 2．(2012浙江湖州)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB邊上的中線，則CD的長(zhǎng)是(　　) A．20 B．10 C．5 D． 3．(2012浙江寧波)勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理．在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長(zhǎng)

11、相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為(　　) A．90 B．100 C．110 D．121 4．(2012山東煙臺(tái))一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點(diǎn)D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上，BC與DE交于點(diǎn)M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD為________°. 5．(2012四川巴中)已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式＋|a－b|＝0，則△ABC的形狀為____

12、______． 6．(2012重慶)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形．若AB＝2，求△ABC的周長(zhǎng)．(結(jié)果保留根號(hào)) 1．如圖所示，將一個(gè)有45度角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3 cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，則三角板的最大邊的長(zhǎng)為(　　) A．3 cm B．6 cm C．3cm D．6cm 2．在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a＋c＝2b，c－a＝b，則△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等邊三角形

13、C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．一個(gè)直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別為15,20，則第三邊的長(zhǎng)是(　　) A．5 B．25 C．5或25 D．無法確定 4．如圖，在Rt△ABC中，以三邊AB，BC，CA為直徑向外作半圓，設(shè)直線AB左邊陰影部分的面積為S1，右邊陰影部分的面積和為S2，則(　　) A．S1＝S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．無法確定 5．直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,8，現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則的值是(　　) A． B．

14、C． D． 6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AC，垂足為E，若DE＝2，CD＝2，則BE的長(zhǎng)為__________． 7．如圖，已知等腰Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)為1，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt△ADE，…，依此類推直到第五個(gè)等腰Rt△AFG，則由這五個(gè)等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為__________． 8．如圖，已知點(diǎn)D為等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CA. (1)求證：DE平分∠

15、BDC； (2)若點(diǎn)M在DE上，且DC＝DM，求證：ME＝BD. 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識(shí) 自主測(cè)試 1．C　∵BC2＋CA2＝AB2，∴∠C＝90°，∴cos B＝＝. 2．B　3．D 探究考點(diǎn)方法 觸類旁通1．D 觸類旁通2．解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝5， 在△BCD中，CD＝13，CB＝12，BD＝5， ∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90°. ∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝AB·AD＋BC·BD＝×3×4＋×12×5＝6＋30＝36. 觸類旁通3．解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝＝10，擴(kuò)充部分為Rt△AC

16、D，擴(kuò)成等腰三角形ABD，應(yīng)分以下三種情況： (1)如圖1，當(dāng)AB＝AD＝10時(shí)，可求得CD＝CB＝6，故△ABD的周長(zhǎng)為32 m. (2)如圖2，當(dāng)AB＝BD＝10時(shí)，可求得CD＝4，由勾股定理得AD＝＝4，故△ABD的周長(zhǎng)為(20＋4) m. (3)如圖3，當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)AD＝BD＝x，則CD＝x－6，由勾股定理得(x－6)2＋82＝x2，則x＝，故△ABD的周長(zhǎng)為m. 品鑒經(jīng)典考題 1．A　根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示： 在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12， 根據(jù)勾股定理得：AB＝＝15. 過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D， 又S△ABC＝AC·BC＝

17、AB·CD， ∴CD＝＝＝， 則點(diǎn)C到AB的距離是. 2．C　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，則CD的長(zhǎng)是5. 3．C　如圖，延長(zhǎng)AB交KF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)P， 所以，四邊形AOLP是正方形， 邊長(zhǎng)AO＝AB＋AC＝3＋4＝7， 所以，KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11， 因此，矩形KLMJ的面積為10×11＝110. 故選C. 4．85　∵∠ADF＝100°，∠EDF＝30°，∴∠MDB＝180°－∠ADF－∠EDF＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD＝180°－∠B

18、－∠MDB＝180°－45°－50°＝85°. 5．等腰直角三角形　由題意得：c2－a2－b2＝0，a－b＝0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，則△ABC的形狀為等腰直角三角形． 6．解：∵△ABD是等邊三角形， ∴∠B＝60°. ∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC＝2AB＝4. 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∴△ABC的周長(zhǎng)為AC＋BC＋AB＝2＋4＋2＝6＋2. 研習(xí)預(yù)測(cè)試題 1．D 2．A　由a＋c＝2b，c－a＝b， 可得c＝b，a＝b，于是得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形． 3．C　4．A 5．C　由

19、折疊性質(zhì)可知，AE＝BE， 設(shè)CE為x，則BE＝8－x. 在Rt△BCE中，62＋x2＝(8－x)2， 所以x＝.故＝＝. 6．4　∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，DE⊥AC， ∴CD＝AB，DE＝BC，∴AB＝4，BC＝4. 在Rt△ACB中，AC＝＝8，∴CE＝AC＝4. ∵CE＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴BE＝4. 7．　根據(jù)題意易知CD＝AC＝，AD＝DE＝()2＝2，EF＝AE＝2，AF＝FG＝2×＝4，AG＝4，所以所求圖形的面積S＝S△ABC＋S梯形ACDE＋S梯形AEFG＝×1×1＋×(＋2)×＋×(2＋4)×2＝＋3＋12＝. 8．證明：(1)在等

20、腰Rt△ABC中， ∵∠CAD＝∠CBD＝15°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°. ∴BD＝AD.∴△BDC≌△ADC. ∴∠DCA＝∠DCB＝45°. 由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°， ∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC. (2)如圖，連接MC. ∵DC＝DM，且∠MDC＝60°， ∴△MDC是等邊三角形，即CM＝CD. 又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°， ∴∠EMC＝∠ADC. 又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°. ∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB. 9