圓錐曲線 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.doc

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第九章 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 解析幾何 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 一、基礎(chǔ)知識： （一）直線與橢圓位置關(guān)系 1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個公共點），相切（一個公共點），相離（無公共點） 2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過方程根的個數(shù)進行判定， 下面以直線和橢圓：為例 （1）聯(lián)立直線與橢圓方程： （2）確定主變量（或）并通過直線方程消去另一變量（或），代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程：，整理可得： （3）通過計算判別式的符號判斷方程根的個數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系 ① 方程有兩個不同實根直線與橢圓相交 ② 方程有兩個相同實根直線與橢圓相切 ③ 方程沒有實根直線與橢圓相離 3、若直線上的某點位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交 （二）直線與雙曲線位置關(guān)系 1、直線與雙曲線位置關(guān)系，相交，相切，相離 2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個數(shù)進行判定 以直線和橢圓：為例： （1）聯(lián)立直線與雙曲線方程：，消元代入后可得： （2）與橢圓不同，在橢圓中，因為，所以消元后的方程一定是二次方程，但雙曲線中，消元后的方程二次項系數(shù)為，有可能為零。所以要分情況進行討論 當且時，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有一個根。此時直線與雙曲線相交，只有一個公共點 當時，常數(shù)項為，所以恒成立，此時直線與雙曲線相交 當或時，直線與雙曲線的公共點個數(shù)需要用判斷： ① 方程有兩個不同實根直線與雙曲線相交 ② 方程有兩個相同實根直線與雙曲線相切 ③ 方程沒有實根直線與雙曲線相離 注：對于直線與雙曲線的位置關(guān)系，不能簡單的憑公共點的個數(shù)來判定位置。尤其是直線與雙曲線有一個公共點時，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二次方程解出相同的根，則為相切 （3）直線與雙曲線交點的位置判定：因為雙曲線上的點橫坐標的范圍為，所以通過橫坐標的符號即可判斷交點位于哪一支上：當時，點位于雙曲線的右支；當時，點位于雙曲線的左支。對于方程： ，設(shè)兩個根為 ① 當時，則，所以異號，即交點分別位于雙曲線的左，右支 ② 當或，且時，，所以同號，即交點位于同一支上 （4）直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋：通過（2）可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān)，其分界點剛好與雙曲線的漸近線斜率相同。所以可通過數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)系的判定 ① 且時，此時直線與漸近線平行，可視為漸近線進行平移，則在平移過程中與雙曲線的一支相交的同時，也在遠離雙曲線的另一支，所以只有一個交點 ② 時，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直線，直線均與雙曲線有兩個交點，且兩個交點分別位于雙曲線的左，右支上。 ③ 或時，此時直線比漸近線“更陡”，通過平移觀察可得：直線不一定與雙曲線有公共點（與的符號對應(yīng)），可能相離，相切，相交，如果相交則交點位于雙曲線同一支上。 （三）直線與拋物線位置關(guān)系：相交，相切，相離 1、位置關(guān)系的判定：以直線和拋物線：為例 聯(lián)立方程：，整理后可得： （1）當時，此時方程為關(guān)于的一次方程，所以有一個實根。此時直線為水平線，與拋物線相交 （2）當時，則方程為關(guān)于的二次方程，可通過判別式進行判定 ① 方程有兩個不同實根直線與拋物線相交 ② 方程有兩個相同實根直線與拋物線相切 ③ 方程沒有實根直線與拋物線相離 2、焦點弦問題：設(shè)拋物線方程：， 過焦點的直線（斜率存在且），對應(yīng)傾斜角為，與拋物線交于 聯(lián)立方程：，整理可得： （1） （2） （3） （四）圓錐曲線問題的解決思路與常用公式： 1、直線與圓錐曲線問題的特點： （1）題目貫穿一至兩個核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉）， （2）條件與直線和曲線的交點相關(guān)，所以可設(shè)，至于坐標是否需要解出，則看題目中的條件，以及坐標的形式是否復(fù)雜 （3）通過聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于（或）的二次方程，如果所求的問題與兩根的和或乘積有關(guān)，則可利用韋達定理進行整體代入，從而不需求出（所謂“設(shè)而不求”） （4）有些題目會涉及到幾何條件向解析語言的轉(zhuǎn)換，注重數(shù)形幾何，注重整體代入。則可簡化運算的過程 這幾點歸納起來就是“以一個（或兩個）核心變量為中心，以交點為兩個基本點，堅持韋達定理四個基本公式（，堅持數(shù)形結(jié)合，堅持整體代入。直至解決解析幾何問題“ 2、韋達定理：是用二次方程的系數(shù)運算來表示兩個根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進而導(dǎo)致直接利用求根公式計算出來的實根形式非常復(fù)雜，難以參與后面的運算；二是解析幾何的一些問題或是步驟經(jīng)常與兩個根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系。進而在思路上就想利用韋達定理，繞開繁雜的求根結(jié)果，通過整體代入的方式得到答案。所以說，解析幾何中韋達定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程的根易于表示（優(yōu)先求點，以應(yīng)對更復(fù)雜的運算），或者所求的問題與兩根和，乘積無關(guān)，則韋達定理毫無用武之地。 3、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式： （1）斜截式：，此直線不能表示豎直線。聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問題時要注意檢驗斜率不存在的直線是否符合條件 （2），此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線。經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時使用，多用于拋物線（消元后的二次方程形式簡單）。此直線不能直接體現(xiàn)斜率，當時，斜率 4、弦長公式：（已知直線上的兩點距離）設(shè)直線，上兩點，所以或 （1）證明：因為在直線上，所以 ，代入可得： 同理可證得 （2）弦長公式的適用范圍為直線上的任意兩點，但如果為直線與曲線的交點（即為曲線上的弦），則（或）可進行變形：，從而可用方程的韋達定理進行整體代入。 5、點差法：這是處理圓錐曲線問題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓方程為例，設(shè)直線與橢圓交于兩點，則該兩點滿足橢圓方程，有： 考慮兩個方程左右分別作差，并利用平方差公式進行分解，則可得到兩個量之間的聯(lián)系： ① ② 由等式可知：其中直線的斜率，中點的坐標為，這些要素均在②式中有所體現(xiàn)。所以通過“點差法”可得到關(guān)于直線的斜率與中點的聯(lián)系，從而能夠處理涉及到弦與中點問題時。同時由①可得在涉及坐標的平方差問題中也可使用點差法。 二、典型例題 例1：不論為何值，直線與橢圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路一：可通過聯(lián)立方程，消去變量（如消去），得到關(guān)于的二次方程，因為直線與橢圓有公共點，所以在恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，解出即可 解：，整理可得： 即 思路二：從所給含參直線入手可知直線過定點，所以若過定點的直線均與橢圓有公共點，則該點位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，所以代入后，即，因為是橢圓，所以，故的取值范圍是 答案：C 小煉有話說：（1）比較兩種思路，第一種思路比較傳統(tǒng)，通過根的個數(shù)來確定直線與橢圓位置關(guān)系，進而將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解；第二種思路是抓住點與橢圓位置關(guān)系的特點，即若點在封閉曲線內(nèi)，則過該點的直線必與橢圓相交，從而以定點為突破口巧妙解決問題。在思路二中，從含參直線能發(fā)現(xiàn)定點是關(guān)鍵 （2）本題還要注意細節(jié)，橢圓方程中的系數(shù)不同，所以 例2：已知雙曲線的右焦點為，若過點的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路：由可得漸近線方程為：，若過右焦點的直線與右支只有一個交點，則直線的斜率的絕對值小于或等于漸近線斜率的絕對值，即 答案：C 小煉有話說：本題是利用“基礎(chǔ)知識”的結(jié)論直接得到的答案，代數(shù)的推理如下： 由可知，設(shè)直線，聯(lián)立方程可得： ，整理后可得： 當時，，即位于雙曲線右支，符合題意 當時， 直線與雙曲線必有兩個交點，設(shè)為 因為直線與雙曲線的右支有且只有一個交點 ，即 綜上所述： 例3：已知拋物線的方程為，過點和點的直線與拋物線沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路：由兩點可確定直線的方程（含），再通過與拋物線方程聯(lián)立，利用即可得到關(guān)于的不等式，從而解得的范圍 解：若，則直線與拋物線有公共點，不符題意 若，則 ，與橢圓聯(lián)立方程： 直線與拋物線無公共點 或 答案：D 例4：過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若實數(shù)使得的直線恰有3條，則_______ 思路：由雙曲線方程可知，當斜率不存在時，可知為通徑，計算可得：，當斜率存在時，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式可得為關(guān)于的表達式，即?？山獾茫夯?。若或，即時，可得，僅有一解，不符題意。若且，則每個方程只能無解或兩解。所以可知當時，方程有兩解，再結(jié)合斜率不存在的情況，共有3解。符合題意，所以 解：由雙曲線可得 ， 當斜率不存在時，的方程為 為通徑，即 若直線斜率存在，不妨設(shè)為 則設(shè)， 聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：，整理可得： 可得：或 ① 當時，即，則方程①的解為，只有一解，不符題意 同理，當，即，則方程①的解為，只有一解，不符題意 當且時，則每個方程的解為0個或兩個，總和無法達到3個，不符題意 所以若的直線恰有3條，只能，方程①解得： 滿足條件的直線的方程為：，， 答案： 例5：已知橢圓，則當在此橢圓上存在不同兩點關(guān)于直線對稱，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路：設(shè)橢圓上兩點，中點坐標為，則有，由中點問題想到點差法，則有，變形可得： ①由對稱關(guān)系和對稱軸方程可得，直線的斜率，所以方程①轉(zhuǎn)化為： ，由對稱性可知中點在對稱軸上，所以有，所以解得：，依題意可得：點必在橢圓內(nèi)，所以有，代入可得： ，解得： 答案：D 例6：過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則的值為（ ） A. B. C. D. 思路一：已知與橢圓交于兩個基本點，從而設(shè)，可知，即，從結(jié)構(gòu)上可聯(lián)想到韋達定理，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程：，可得：，所以，則，即 思路二：線段為橢圓的弦，且問題圍繞著弦中點展開，在圓錐曲線中處理弦中點問題可用“點差法”，設(shè)，則有，兩式作差，可得：，發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點和斜率相關(guān)的要素，其中，所以，且，所以等式化為即，所以 答案：D 小煉有話說：兩類問題適用于點差法，都是圍繞著點差后式子出現(xiàn)平方差的特點。 （1）涉及弦中點的問題，此時點差之后利用平方差進行因式分解可得到中點坐標與直線斜率的聯(lián)系 （2）涉及到運用兩點對應(yīng)坐標平方差的條件，也可使用點差法 例7：已知點在拋物線上，過點作兩條直線分別交拋物線于點，直線的斜率分別為，若直線過點，則（ ） A. B. C. D. 思路：設(shè)，進而所求，所以可從直線入手，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理即可化簡 解：設(shè) ① 設(shè)，則 聯(lián)立方程：，消去可得： 代入①可得： 答案：C 例8：已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，且，則直線的斜率為（ ） A. B. C. D. 思路一：從點的坐標出發(fā)，因為三點共線，從而可轉(zhuǎn)化為，考慮將向量坐標化，，設(shè)，有，所以，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程消元后可得：，利用韋達定理可得：，再結(jié)合，消去即可得，直線，即可得到斜率為 思路二：從所給線段關(guān)系恰好為焦半徑出發(fā)，聯(lián)系拋物線的定義，可考慮向準線引垂線，垂足分別為，便可得到直角梯形，由拋物線定義可知：，將所求斜率轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，即為。不妨設(shè)在第一象限。考慮將角放入直角三角形，從而可過作于，則，因為而，且，利用勾股定理可得：，從而，即，當在第四象限時，同理，可得 綜上所述： 答案：B 例9：如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點，，則直線的斜率是（ ） A. B. C. D. 思路：先設(shè)出直線，只需一個等量條件即可求出，進而求出斜率?？紤]與橢圓聯(lián)立方程，分別解出的縱坐標，然后利用弦長公式即可用表示：，可將已知等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，從而解出，所以斜率為 解：由橢圓方程可得：， 設(shè)，，依圖可知： 聯(lián)立與橢圓方程可得： ，整理可得： 同理可得： 即，解得： 直線的斜率 答案：D 小煉有話說：（1）在運用弦長公式計算時，抓住焦點的縱坐標為0的特點，使用縱坐標計算線段長度更為簡便，因此在直線的選擇上，本題采用的形式以便于消去得到關(guān)于的方程 （2）直線方程，當時，可知斜率與的關(guān)系為： 例10：過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于四點，則的值為（ ） A. B. C. D. 思路：首先先考慮特殊情況，即斜率不存在。則為通徑，；為長軸，所以，從而。再考慮一般情況，所求為焦點弦，所以考慮拆成兩個焦半徑的和，如設(shè)，則，從而想到聯(lián)立直線與橢圓方程并使用韋達定理整體代入，同理也為焦半徑。設(shè)的斜率為，則的斜率為，所以均可用進行表示，再求出的值即可 解：若分別與坐標軸平行，不妨設(shè)軸， 則為橢圓的通徑， 由可得： 因為 為長軸長，即 當斜率均存在時，設(shè)斜率為，由可得斜率為 由橢圓方程可得： 設(shè)， 聯(lián)立方程可得： 消去可得：，整理后為： 設(shè)，，與橢圓聯(lián)立方程： ，則同理，求只需用替換中的即可 綜上所述： 答案：D 小煉有話說：（1）本題的亮點在于處理，因為發(fā)現(xiàn)與的直線方程結(jié)構(gòu)基本相同（只有斜率不同），并且用的是相同的步驟（聯(lián)立方程，消元，韋達定理，代入焦半徑公式），所以在解決的問題時就可參照的結(jié)果，進行對應(yīng)字母的替換，即可得到答案。所以在處理兩條直線與同一曲線的問題時，可觀察兩直線處理過程的異同，進而簡化運算步驟 （2）本題是選擇題，通過題意可發(fā)現(xiàn)盡管過焦點相互垂直的直線有無數(shù)多對，但從選項中暗示結(jié)果是個常數(shù)，所以就可以利用特殊情況（通徑與長軸長）求出結(jié)果，從而選擇正確的選項