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1、第五章 相似矩陣及二次型,定義1,內積,第一節(jié) 向量的內積 一、內積的定義及性質,內積的運算性質,長度，,定義2,二、向量的長度及性質,長度的基本性質,內積性質(iv),(1)(非負性),(2)(齊次性),(3) (三角不等式),數乘的長度 = 數的絕對值乘長度,許瓦茲不等式和夾角,許瓦茲不等式:,定義3. 非零n維向量,規(guī)定為:,解:,,注意:,,,,三、向量的正交性及其性質,證明,,,問題: 線性無關的向量組是否為正交組?,例1 已知三維向量空間中兩個向量,正交，試求 使 構成三維空間的一個正交 基., 向量空間的正交基,即,解之得,由上可知 構成三維空間的一個正交基.,則有,
2、解, 規(guī)范正交基,例如,同理可知, 求規(guī)范正交基的方法,第二步：單位化. 取,解 先正交化，,取,以上所討論的正交規(guī)范基的求法, 通常稱為施密特(Schmidt)正交化過程.,再單位化，,得正交規(guī)范向量組如下,例3,解,把基礎解系正交化，即為所求亦即取,,1. 定義6,2. 簡單性質,,四、正交矩陣,行,則稱A 為n 階正交矩陣.,結論,方法一、 用定義 方法二、 用結論,正交,3. 正交矩陣的判定,方法二.,P 的行向量是單位向量.,P 的行向量兩兩正交.,解.,方法一.,例4 設 A 為正交陣，B 為與 A 同階的對稱陣，求,解,由條件知,則任意兩個變換后的向量 y1 , y2 的內積:
3、,4、正交變換,定義,正交變換。,正交變換不改變向量的內積和線段的長度,旋轉變換是 正交變換,鏡面反射,是正交變換,2. 特征值與特征向量,一、特征值和特征向量的概念,二、特征值和特征向量的計算方法,三、特征值和特征向量的性質,方程組:,一、特征值和特征向量的概念,稱為 A 的特征陣.,行列式:,特征多項式.,稱為A的特征方程.,定義8.,存在 n 維非零列向量 X , 使,,特征值.,特征向量.,特征向量非零。,注意：,如對,及,則數,是矩陣 A 特征值,,是矩陣 A 的對應于特征值 2 的特征向量,有,(1).,,,證明:,X0.,,按定義,,非零解.,,,,,根據定義8，式可寫成:,,二
4、、特征值和特征向量的計算方法,(2). 在復數范u圍內, n 階方陣有n 個特征值.,例1. 求對角方陣,0,0,的特征值.,解:,0,0,求方陣A的特征值和特征向量的步驟：,，它們就是A的全部特征值,（2） 分別把A的每個特征值,代入方程組,得到,分別求出它們的基礎解系：,則所有向量,解 （1） 求特征值,由,（2）求特征向量,對于,即：,也即,所以對應的特征向量可取為：,因此屬于特征值3的全部特征向量為,對于,即,也即,所以對應的特征向量可取為：,其中 k 取遍所有非零數 .,例 求A 的特征向量,解 求特征值,求特征向量,對于,,即：,由于系數矩陣的秩為2，故基礎解系只有一個,非零解，解
5、得,其中 k 取遍所有非零數,解 求特征值,所以A的特征值為,求特征向量,得,作為基礎解系，于是A的全部特征向量為,取單位向量組,這個方程組的系數矩陣是零矩陣，所以任意n個線性無關的向量都是它的基礎解系，,例4,證,已知矩陣,題,在求行列式時特別有用,A 可逆 特征值均不為零,2. 特征值的和、積公式,題.設矩陣A和B有相同的特征值，其中 求a,b的值,3. 特征值與矩陣運算的關系,重要的公式,1,40,A+3E 的特征值：4, 2, 5,例5,利用特征值求行列式,4 , 1 , 4 .,題,證,定理 4,,三、特征向量的相關性,再左乘 A, ，,左乘 A,定理3.,定理5,線性無關。,,其行列式為范德蒙行列式,例,證,由題知,反證,同一特征值的特征向量的線性組合仍是這一特征值的特征向量,分屬不同特征值的特征向量的線性組合不是特征向量,
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