第23周 分解質(zhì)因數(shù)(一)

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1、五年級思維培訓 ：第一講 數(shù)的整除性 基礎知識： 1. 整除的定義、性質(zhì).定義：如果a、b、c是整數(shù)并且 ，則稱a能被b整除或者b能整除a，記做，否則稱為a不能被b整除或者b不能整除a，記做. 性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么他們的和與差也能被c整除. 性質(zhì)2：如果b與c的乘積能夠整除a，那么b、c都能整除a. 性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，并且b、c互質(zhì)，那么b、c的乘積也能夠整除a. 性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a. 性質(zhì)5：如果b和c的乘積能夠被a整除，并且a，b互質(zhì)，那么c能夠被a整

2、除. 2. 被2（5）整除特征：個位上的數(shù)是2,4,6,8,0（5或0）的數(shù)。 3. 被3，9整除特征：數(shù)字之和是3,9的倍數(shù). 4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除； 被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除. 5. 被11整除特征：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）. 6. 被7、11、13整除特征：末三位與末三位之前的數(shù)之差能被7、11、13整除. 7. 整除性質(zhì)、特征的綜合應用，末尾0的個數(shù)問題的處理，運用設未知量求解整除問題. 例題： 例1、如果六位數(shù)能夠被105整除，那么后兩位數(shù)是多少？

3、 解：設六位數(shù)為，105=3，依次考慮被3,5,7整除得到3a+b-1，b=0或5, 7(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b=5.故后兩位為85. 例2、求所有的x，y滿足使得，72. 解：72=8×9，根據(jù)整除9性質(zhì)易得x+y=8或17，根據(jù)整除4 的性質(zhì)y=2或6，分別可以得到5位數(shù)32652、32256，檢驗可知只有32256滿足題意. 例3、一本陳年舊賬上寫的：購入143只羽毛球共花費元，其中處字跡已經(jīng)模糊不清，請你補上中的數(shù)字并且算出每只羽毛球的單價. 解：設兩個處的數(shù)字分別是a、b，則有143，根據(jù)11，有a+b=8，再根據(jù)13，所以

4、13(100a+67-90-b)，再根據(jù)a+b=8得到13（10a-5）解得a=7 b=1所以方框處的數(shù)字是7和1，單價5.37元. 例4、把若干個自然數(shù)1,2,3….乘到一起，如果已知這個乘積的最后14位都是0，那么最后的自然數(shù)至少是多少？ 解：最后14位都是0說明這個乘積整除1014，由于1×2×3×…中因數(shù)2比因數(shù)5多得多，只需考慮其整除514，5的倍數(shù)但是不是25的倍數(shù)可以提供一個因數(shù)5，25的倍數(shù)但是不是125的倍數(shù)可以提供2個因數(shù)5…可得出至少需要60個數(shù)，即這個自然數(shù)至少是60. 例5、請用數(shù)字6、7、8各兩次組成一個六位數(shù)使得這個六位數(shù)能夠被168整

5、除. 解：，用6,7,8各兩次，數(shù)字和42，是3的倍數(shù).而用6、7、8組成的3位數(shù)是8的倍數(shù)的只有768,776.當后三位是768，776時，前三位只有12種取法，經(jīng)實驗只有數(shù)768768符合題目要求. 因此唯一符合題目要求的數(shù)是768768. 例6、 要使六位數(shù)能夠被63整除，那么商最小是多少？ 解：. 考慮能被7整除，于是有7(100b+10c+6-100-a)，整理得 7(2b+3c-a+4)，再考慮該數(shù)能被9整除，有a+b+c=2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除數(shù)，先希望a=0. 此時，易驗證b=0, b=1無解，而在b=2時，有解c

6、=9，所以最小的被除數(shù)是100296，最小的商是1592. 例7、 所有五位數(shù)中，能夠同時被7,8,9,10整除的有多少？ 解：7,8,9,10的最小公倍數(shù)是2520，五位數(shù)最小是10000，最大99999，共有90000個數(shù)，，，所以共有36個. 例8、用1、2、3組成的四位數(shù)（可重復）中能夠被11整除的數(shù)有多少個？ 解：這樣的四位數(shù)被11整除，一定有奇數(shù)位數(shù)字之和等于偶數(shù)位數(shù)字之和. 在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七種情況，其中1+1=1+1、2+2=2+2、

7、3+3=3+3分別只能得到1個4位數(shù)，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情況相同可以得到4個4位數(shù)，1+3=2+2也能得到4個4位數(shù)，所以一共有19個. 例10、已知11個連續(xù)兩位數(shù)的乘積的末四位都是0，而且是343的倍數(shù)，那么這11個數(shù)中最小的是多少？ 解：因為連續(xù)11個數(shù)是343的倍數(shù)，而，但是11個數(shù)中之多有兩個是7的倍數(shù)，所以這11個數(shù)中有49或者98，而11個數(shù)之多有3個是5的倍數(shù)，但卻是10000的倍數(shù)，所以這11個數(shù)中又有25或者50或者75，并且以5的倍數(shù)開頭和結尾，又要保證有2個7的倍數(shù)，所以只能是40到50這11個數(shù).所以最小的數(shù)是40.

8、 作業(yè)題： 1. 已知六位數(shù)能夠被720整除，請問這個六位數(shù)是多少？（答案=213840或者293040） 2．是7的倍數(shù)，求空格中的數(shù)字.（答案：3） 3. 一個三位數(shù)，它的百位數(shù)字是4，加9能被7整除，請問這個數(shù)是多少？ （答案=439） 4. 請證明六位數(shù) 一定能被7、11、13整除.（證明略） 5．已知自然數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)碼之和與3A的各個數(shù)位上的數(shù)碼之和相等，證明A必能被9整除. （3A數(shù)字和是3的倍數(shù)，A的也是，所以A能被3整除，所以3A能被9整除，所以數(shù)字和是9的倍數(shù)，所以A的也是，所以A能被9整除.） 課堂練習題： 班級________ 姓名

9、___________ 得分______ 1、 如果一個數(shù)能被72整除，求a+b. 答案：a+b=6.整除8的性質(zhì)可以推出b=2，整除9的性質(zhì)可以推出a=4. 2、 請根據(jù)7、11整除判斷方法的推導和證明，類比推出對于17的整除判定（提示17×59=1003） 答案：末三位與末三位之前的數(shù)的三倍之差能被7、11、13整除 3、 用1、2、3、4（每個數(shù)恰好用一次）可組成24個四位數(shù)，其中共有多少個能被11整除？ 解：1+4=2+3，所以1，4在偶數(shù)位，2和3在奇數(shù)位或者1和4在奇數(shù)位，2和3在偶數(shù)位，共有2×2×2=8個. 4、已知四個整數(shù)，他們兩兩的和都

10、能被兩兩的差整除，請問其中最大的兩個數(shù)的和最小是多少？ 解：10. 思想：差越小越容易整除. 任意連續(xù)的3個數(shù)，只要其中有兩個偶數(shù)都滿足要求，所以可以找到2，3，4，6. 容易驗證沒有更小的符合題目要求的解. 5、15位同學分別編號1-15，1號同學寫下了一個不少于6位的數(shù)，后面每個人都說這個數(shù)能被自己的編號整除，經(jīng)驗證，只有連續(xù)兩個編號相連的人說錯了，請問這個數(shù)至少是多少？ 答案：2,3,4,5,6,7都必須能整除五位數(shù)，否則不能滿足題意，所以10,12,14,15也能整除這個五位數(shù)，因此這個數(shù)不能被8、9整除.所以這個數(shù)至少整除4×5×7×11×13=60060. 因為這

11、個數(shù)至少是六位而又不能被8、9整除，所以這個數(shù)至少是60060×5=300300. 6、請問是否存在一個數(shù)以7結尾的數(shù)，把7挪放到第一位之后得到的數(shù)恰巧等于原來的數(shù)的7倍. 若存在，請答出這個數(shù)的位數(shù)，若不存在，請證明. 答案：22位，豎式乘法即可得出答案. 五年級奧數(shù)：第一講 分解質(zhì)因數(shù) 專題簡析： 一個自然數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 把一個合數(shù)，用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。 我們數(shù)學課本上介紹的分解質(zhì)因數(shù)，是為求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)服務的。其實，把一個數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，能啟發(fā)我們尋

12、找解答許多難題的突破口，從而順利解題。 例題1 把18個蘋果平均分成若干份，每份大于1個，小于18個。一共有多少種不同的分法？ 分析 先把18分解質(zhì)因數(shù)：18=2×3×3，可以看出：18的因數(shù)是1、2、3、6、9、18，除去1和18，還有4個因數(shù)，所以，一共有4種不同的分法。 練習一 1，有60個同學分成人數(shù)相等的小組去慰問解放軍叔叔，每組不少于6人，不多于15人。有哪幾種分法？ 2，195個同學排成長方形隊伍做早操，行數(shù)和列數(shù)都大于1，共有幾種排法？ 3，甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩個數(shù)的積是792，求甲、乙兩數(shù)分別是多少。 例題2 有168顆糖，平

13、均分成若干份，每份不得少于10顆，也不能多于50顆。共有多少種分法？ 分析 先把168分解質(zhì)因數(shù)，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10顆，也不能多于50顆，所以，每份有2×2×3=12顆，2×7=14顆，3×7=21顆，2×2×2×3=24顆，2×3×7=42顆，共有5種分法。 練習二 1，把462名學生分成人數(shù)相等的若干組去參加課外活動小組，每小組人數(shù)在10至25人之間，求每組的人數(shù)及分成的組數(shù)。 2，四個連續(xù)奇數(shù)的和是19305，這個四奇數(shù)分別是多少？ 3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九張卡片分給甲、乙、丙三人，每人各3張。甲說：“我

14、的三個數(shù)的積是48。”乙說：“我的三個數(shù)的和是16?！北f：“我的三個數(shù)的積是63?！奔住⒁?、丙各拿了哪幾張卡片？ 例題3 將下面八個數(shù)平均分成兩組，使這兩組數(shù)的乘積相等。 2、5、14、24、27、55、56、99 分析 14=2×7 55=5×11 24=2×2×2×3 56=2×2×2×7 27=3×3×3 99=3×3×11 可以看出，這八個數(shù)中，共含有八個2，六個3，二個5，二個7和二個11。因為要把這八個數(shù)分成兩組，且積相等，所以，每組數(shù)中應含有四個2，三個3，一個5，一個7和一個11。經(jīng)排列為（5、99、

15、24、14）和（55、27、56、2）。 練習三 1，下面四張小紙片各蓋住一個數(shù)字，如果這四個數(shù)字是連續(xù)的偶數(shù)，請寫出這個完整的算式。 □□×□□=1288 2，有三個自然數(shù)a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的積是多少？ 3，把40、45、63、65、78、99、105這八個數(shù)平分成兩組，使兩組四個數(shù)的乘積相等。 例題4 王老師帶領一班同學去植樹，學生恰好分成4組。如果王老師和學生每人植樹一樣多，那么他們一共植了539棵。這個班有多少個學生？每人植樹多少棵？ 分析 根據(jù)每人植樹棵數(shù)×人數(shù)=539棵，把539分解質(zhì)因數(shù)。539=7×7×11，如果每人植7棵，這個班就有7×11－1=76人；如果每人植樹11棵，這個班共有7×7－1=48人。 練習四 1，3月12日是植樹節(jié)，李老師帶領同學們排成兩路人數(shù)相等的縱隊去植樹。已知李老師和同學們每人植樹的棵數(shù)相等，一共植了111棵樹，求有多少個學生。 2，小青去看電影，他買的票的排數(shù)與座位號數(shù)的積是391，而且排數(shù)比座位號數(shù)大6。小青買的電影票是幾排幾座？ 3，把一籃蘋果分給4人，使四人的蘋果數(shù)一個比一個多2，且他們的蘋果個數(shù)之積是1920。這籃蘋果共有多少個？