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摘 要
一個形成沖擊機考慮。形成影響系統的動力學進行了研究，特別關注到周期n單沖擊運動，霍夫分岔非共振和弱共振的情況下，在1:4強共振條件下，余維2分叉和混沌次諧波和霍普夫分岔穩(wěn)定性議案等周期N單沖擊運動解析推導。與成形影響系統的狀態(tài)相關聯的龐加萊“部分，只是立即的沖擊后，被選擇，然后周期n單沖擊運動的擾動地圖建立。穩(wěn)定性和周期一個單沖擊運動的局部分岔使用龐加萊“地圖分析。局部分岔分析和數值模擬表明，為期單沖擊運動，在大多數情況下，經過倍周期分岔或Hopf分岔與控制參數的變化。為期單沖擊運動無論發(fā)生次諧波和Hopf分支在1:4強共振條件下。放牧不穩(wěn)定發(fā)生在強共振條件下。一般來說周期性影響運動的放牧邊界上的運動期間新出現的影響，或在運動期間的影響消失。附近余維的點2分叉存在不僅霍普夫分岔為期singleimpact運動，也期兩個雙沖擊運動的Hopf分岔。最后，在周期運動和形成沖擊系統的全局分岔系統參數的影響進行了討論。在設計工具的影響是極大的興趣達到預期的周期性沖擊速度。為了便于這樣的設計，全球分岔圖的形成的影響，系統相對于強制頻率的相對碰撞速度作圖，從而使實踐工程師來選擇激勵的頻率范圍，其中穩(wěn)定期1單沖擊響應可以是預計將發(fā)生，并預測影響較大的速度和響應這樣的短時期沖擊。在設計和改造形成沖擊機，如果一些系統參數被賦予或限制，其他的參數，并迫使頻率可以通過周期性的穩(wěn)定性影響運動和分岔的分析來優(yōu)化，使得在成形沖擊系統表現出穩(wěn)定的期間具有較大的沖擊速度和更短的影響1單沖擊運動期。
關鍵詞：沖擊;振動;周期運動;穩(wěn)定性;分枝
1引言
影響振蕩器產生每一個振動系統的部件碰撞的剛性障礙。這樣的系統具有反復沖擊在各種工程應用中的存在，特別是在機構和機器具有間隙或縫隙。振動錘，沖擊阻尼器，機械壓實，銑削和成形的操作原則，離岸結構，慣性振動篩和打樁機等，是基于沖擊作用的運動物體。與其它設備，例如，用間隙，換熱器，核反應堆的燃料元件，齒輪，管道系統，高速鐵路客車輪軌相互作用等機制，影響也會發(fā)生，但他們是不可取的，因為他們帶來失敗，應變，縮短使用壽命和增加噪音。研究成反復沖擊動力學有剛性障礙物或間隙，噪聲抑制和可靠性分析等影響時的物理過程是高度非線性和不連續(xù)的特點機優(yōu)化設計具有重要意義。非線性和不連續(xù)性的存在復雜反復沖擊系統的動態(tài)分析相當，但它可以在理論上和數值與實際吻合較好，說明了不連續(xù)性。與單一的沖擊相比，振動沖擊動力學較為復雜，因此，受到了高度的關注。在分析和理解這些系統的性能大的興趣是研究工作致力于在這一領域的廣闊和不斷增加的金額反映。對振動沖擊動力學的一些重要問題，包括全局分叉[ 1-11 ] ，黏彈性振動的影響[12] ，影響映射[ 10-19 ]的奇點，熱熱鬧鬧的影響[20] ，準周期的影響[ 21?23] ，混沌控制[24]和實驗研究[ 25,26]等，進行了研究，在過去的數年。隨著理論研究成振動的影響力度，研究到應用到這些系統的開發(fā)，比如，輪軌鐵路客車的影響[ 27?29] ，沖擊噪聲分析[30,31] ，慣性振動篩[ 32 ， 33 ] ，振動錘[34] ，離岸結構[35] ，單盤轉子與軸承游隙[36,37] ，地面秣陵動力學[ 38 ] ，沖擊阻尼器[ 39?41] ，齒輪[ 42-44 ]等。
一個形成沖擊機被認為是在紙張上。本研究的目的是把注意力集中在形成沖擊機，包括穩(wěn)定性， Hopf分支在非共振和弱共振的情況下，以1:4強共振條件下的次諧波和霍普夫分岔，余維2的動力學分析分岔，放牧單一性和混沌運動等。周期n單沖擊運動解析推導。與成形影響系統的狀態(tài)相關聯的龐加萊“部分，只是立即的沖擊后，被選擇，然后周期n單沖擊運動的擾動地圖建立。該singleimpact周期運動的穩(wěn)定性和局部分叉是使用龐加萊“地圖分析。最后，在周期運動和impactforming系統的全局分岔系統參數的影響進行了討論。
2 形成沖擊機的力學模型
為形成沖擊機的力學模型與群眾M1和M2被顯示在圖1 [ 45,46] 。群眾M1和M2的位移是由X1和X2 分別代表。
群眾被連接到線性彈簧剛度與K1，K2和K3，和線性粘滯阻尼器與阻尼常數C1，C2和C3。在質量M2激勵是諧波振幅 是激勵頻率。大眾M1相互影響與大眾M2時，他們的位移之差等于間隙，即.動量守恒定律描述的影響系數歸還R,假設影響的持續(xù)時間相比可以忽略不計的力量。
該系統中，任何兩個連續(xù)的影響之間的運動過程，被認為是。連續(xù)兩次沖擊之間的時間T總是設置為零直時瞬間前沖擊已經結束，并在相位角僅用于使為時間原點一個合適的選擇在計算中。沖擊形成的狀態(tài)系統，只是立即的沖擊后，已經成為初始條件的議案的后續(xù)處理。連續(xù)的影響之間的無量綱差運動方程由下式給出
其中是連續(xù)的影響之間的相位角，點（. ）表示分化的無量綱時間t ，和無量綱量被引進.
沖擊發(fā)生的 。保護的影響在氣勢和恢復系數的條件可以寫
其中R是恢復系數,下標前負號表示美國的影響和下標加號表示美國影響剛過, 和 (i = 1;2)代表方法的速度和群眾離開Mi的分別即時影響。
為了分析一些復雜的分叉行為impact-forming系統可能發(fā)生時,我們假定阻尼力學模型的比例阻尼Rayleigh-type暫時。 在章節(jié)5 - 7,我們分析一些可能的分叉特性與比例阻尼模型;在第8部分中,我們將考慮非比例阻尼和分析系統參數對周期運動和分支的影響,獲得優(yōu)化的參數。Eq. (1) 是經得起分析治療由于比例阻尼。 讓代表Eq.(1)的規(guī)范模型矩陣。、 eigenfrequiencies表示系統的影響不再發(fā)生。 Eq.(1),根據變量事情的變化,成為
其中，I度是一個單位矩陣2*2, C和是對角線結構矩陣，和,是方程的響應Eq.（1）中的正則坐標。
Eq.（1）方程的通解由下式給出
其中是典型的模態(tài)矩陣的元素，，阻尼固有頻率 aj
和bj是集成它們是常數由初始狀態(tài)（狀態(tài)確定剛之后每隔影響）和模態(tài)參數系統， AJ和Bj是振幅參數，由下式給出
3 周期N單沖擊運動
影響系統是這張地圖的convenientl迭代對應于質量m1驚人的質量M2一次。在本節(jié)中，只在強迫的n個周期的周期性的運動模型，其中一個沖擊，是
認為，這就是所謂的周期n單沖擊運動。我們可以建立IMPAC ?研究利用從運動方程推導映射的龐加萊“地圖。每件T成型機通過選擇龐加萊“部分. 該周期n單沖擊運動的干擾是地圖表示為
(8)
,v是不同參數, 或者;是不動點在超平面,和是擾動向量X *。
根據合適的系統參數的條件下，所示的系統. 1展品周期行為。在本文中，我們可以用符號q=p/n ，其中p是碰撞的次數，n是強制循環(huán)數表征vibroimpact系統的周期性沖擊運動。該Peterka符號q ，最初由Peterka ，是在分析周期性影響運動和分岔特性（期間增加一倍，鞍結和定期運動的影響，放牧等分支重要的意義，可以根據變化來方便地確定值q ） ，而量Q具有周期性和混沌運動理性和非理性的價值觀，分別;見參考文獻. [14]。
在q=1/n正運動是指如果無量綱時間t是直接設置為零只是撞擊后，立即就變成只是接下來的沖擊之前，亞利桑那州。 y坐標的原點后，被移位到沖擊點時，判斷的周期為n單沖擊運動是基于事實它們滿足周期性下面的一組和匹配條件
其中和是二人的速度群眾M1和M2立即的影響之前，分別。
根據方程（ 3）及（ 9）中，兩個質量塊的剛剛之前和碰撞后的速度，其中q = 1 / n的運動相關聯，被寫成如下形式
插入集周期性和匹配條件（9）到一般的解決方案（5）和（6） ，可以得到5方程5個未知量，并求解他們，即整合AJ0 ， bj0和的常數與相位角相關的q=1/n的運動，這是由下式給出
(11)
(12)
(13)
(14)
其中
在式（ 11）中，符號表示能夠根據存在兩種不同的單沖擊周期解在同一個系統參數振動沖擊系統。它應該指出的是周期的存在n單個沖擊軌道需要如下條件：
(15)
否則，就不可能為單沖擊周期性運動存在。代AJ0 ， bj0和為AJ ， BJ和方程。 （ 5 ）和（ 6 ），我們得到了周期解，其中對應于一個沖擊過程中的強制的n個周期。插入時間t =0到周期的解決方案，我們可以獲得定點，這是預測期為n單沖擊軌道Poincare? “節(jié)。
4.擾動的單周期沖擊運動圖
如果q=1/n運動不安的瞬間通過差異和 然后影響人們可以表達的差異和在接下來的影響。在這里，和分別代表位移和擾動的速度q=1/ n的議案。受干擾的解決方案連續(xù)兩次沖擊之間的運動由下式給出
（16）
其中
對于不安q=1/n正運動的無量綱時間被設定為零之后直接產生影響，變成只是接下來的沖擊面前，。讓時，在連續(xù)兩次沖擊點的邊界條件由下式給出
其中下標減號表示狀態(tài)正好前沖擊下標加號表示狀態(tài)剛剛撞擊后，i= 1 ; 2 。
插入邊界條件（17）到受擾解決方案（ 16）t=0 ，我們可以解決
其中
對于擾動q=1/n運動，沖擊發(fā)生用;即，
（22）
擾動量和是包括在方程（22） 。為了簡化分析，我們可以讓
假設和使用隱式函數定理，我們可以求解方程。 （ 23），用于是通過簡單地表示
對和的偏導數可以通過以下方式表達
其中
插入邊界條件（ 17 ）和式（24）進受干擾的解決方案（ 16）對于 t=te，我們終于拿到了Poincare? '地圖
該Poincare? '地圖（ 26 ）可以通過簡單地表示
其中
線性化Poincare? “地圖在固定點結果中的雅可比矩陣
該矩陣的元素由下式給出
穩(wěn)定性和q= 1/1的運動本地分支通過計算和分析雅可比矩陣DF（ V， 0 ）的特征值來確定。如果DF（ V， 0 ）的所有特征值的模量是小于1，那么相應的Q = 1/1的運動和它的固定點在龐加萊“部分是穩(wěn)定的。與此相反，如果DF（ V， 0 ）的特征值中的一個的模量是否大于統一，固定點是不穩(wěn)定的。如果DF（ V， 0 ）的與模塊的最大特征值趴在單位圓當v = VC （VC是一個分叉值），那么有分叉發(fā)生的可能性。在一般情況下，分叉根據在單位圓上和它們在單位圓上，從而在系統動力學的質的變化位置的特征值的數目多種方式發(fā)生。如果雅可比矩陣DF （V ， 0 ）的復共軛對特征值，穿越單位圓為V通過VC + + ;該DF（ V， 0 ）的頻譜的剩余部分將被假定為保持嚴格在單位圓內，它可能是Hopf分岔與q = 1/1的運動發(fā)生有關。如果DF （V ，0）有一個真正的特征值，從點交叉的單位圓（-1 ，0）或點（ 1 ，0）為V穿過的vc ;該DF（ V， 0 ）的頻譜的剩余部分是分別在單位圓內的嚴格，倍周期分岔或q= 1/1運動鞍結分岔發(fā)生時。此外，我們也應考慮的情況下，并且該系統的動力學進行了研究，特別關注1:4強烈的共鳴和余維2為q = 1/1的運動分岔。
5 .全局分歧單沖擊周期運動
在本節(jié)在前節(jié)中開發(fā)的分析是通過結果的表述為形成影響的系統驗證。 Q = 1 / n的運動的存在性和穩(wěn)定性都明確地分析。此外，當地的分叉處變化穩(wěn)定，在上一節(jié)中所討論的點，都算，從而使有關不同種類的分岔的存在一些信息q= 1 / n的動作即Hopf分岔，倍周期分岔，余維2分叉，在強共振情況下的次諧波和Hopf分岔等，形成沖擊機在這里學習涉及9無量綱參數。對于不同的類型形成沖擊機，主要范圍設計參數毫米，和由下式給出和 。一些系統參數，主要設計參數的范圍，被選擇用于分析可能的分叉特征q=1/n的議案。
形成沖擊系統，用系統參數（1）：和R=0.8 ，已被選定進行分析。設n = 1 ，并且激勵頻率被作為控制參數，即 。 DF（ ，0）的特征值與計算 。雅可比矩陣DF （ ， 0 ）的所有特征值仍留在單位圓內與。鄰提高到= c= 4.382277 ， DF （ ， 0 ）有一個復雜的共軛對的特征值，在單位圓上，而特征值的其余部分仍然在單位內圈子。共軛復數對特征值將難逃單位圓相應地，另一特征值仍然會留在單位圓內鄰通通過c越來越多。這可能是Hopf分岔的q = 1/1的運動發(fā)生>c 。龐加萊“部采取的形式，這將是四維。本節(jié)，然后投射到平面等，這就是所謂的投影龐加萊'部分。一理論上的固定點q= 1/1運動，與相應的迫使頻，被當作初始地圖點。 該示例的理論分析可以很好的支持下面的數值結果。數值分析所進行的，用于確定形成沖擊系統的動態(tài)響應
在圖2 ，從仿真結果所示為系統參數（ 1 ）和在不同強制頻率范圍[ 3.5 ， 8 ] 。質量M2的速度，只是立刻沖擊后，顯示相對于強迫頻率 。有些投影龐加萊“部分繪制
圖。 3，如圖所示，由數值計算結果，即系統具有穩(wěn)定的q= 1/1運動與所看到的分岔圖圖。圖2（a ） 。如通過c = 4.382277越來越多，q= 1/1運動已經改變了它的穩(wěn)定性和超臨界霍普夫運動的分叉出現，使得準周期影響運動是天生的。正如預期的那樣，一個準周期沖擊響應，由吸引不變表示圓圖。圖3（a ） ，出現在=4.4 ，剛剛過了Hopf分岔值= 4.382277 。但應當指出的是準周期吸引子，它是由一個閉合識別曲線在投影龐加萊“部分，在本質上是光滑附近的分叉點。的價值進一步動作遠離Hopf分岔值時，吸引不變圈的擴大，及準周期的平滑度吸引子是由度改變，直到它銷毀。大量增加的，相位鎖定發(fā)生，使得準周期性的運動被鎖定到更高（比基本）期間，隨后變得不穩(wěn)定和混沌一周期吸引。然后系統先后經歷了混沌運動， multiimpact周期運動，準周期運動的影響和q = 1/1的運動如是一個不斷增加的方式進一步轉變;參見圖圖2（a ） 。這是q= 1/1的運動通過Hopf分岔產生不利路線混亂。 Hopf分岔的第二個值c2等于4.621614 。兩個窗口的周期一單沖擊運動，由準周期，其他定期或混亂的區(qū)域分開，可以從觀察
圖分岔圖圖2（a ） ?？梢园l(fā)現， q= 1/1的第二窗口的運動存在過相對窄強制頻率范圍
當雖然通過c3 = 4.822494 ，一個真正的特征值逃出點在單位圓（-1， 0）和DF（V ，0）的頻譜的剩余部分是嚴格內的單位圓，q=1/1運動的倍周期分岔發(fā)生。與鄰進一步增加，那么運動經過一段繼承倍周期分岔，這最終導致明顯非周期性或混沌運動;參見圖2（ b）所示。相平面的畫像q= 2/2 ， q= 4/4 ，q= 8/8和混沌運動是繪于圖圖4(a)–(d) 。存在q=2/3和5/ 7運動的分岔圖圖。 2（ b）所示。這兩個周期運動的相平面的肖像畫，繪于圖4 （ e）及（ f）條。 Q= 2/ 3的運動是由一個天生的混亂的變性，隨后q= 2/3的運動過渡通過運動的鞍結分岔再次混亂;參見圖2（ b）所示。q= 5/7的生成和過渡運動類似于這些q= 2/3的運動。
此后，形成影響系統經歷了復雜的過程，如增加，這集中體現為如下：
混沌運動q= 6/8運動Hopf分岔其中q = 6/8運動的準周期運動相關其中q = 6/ 8運動的準周期運動相關其中相關的q= 3/ 4個運動階段鎖定混沌運動q = 1/2的運動。
過渡的復雜過程被清楚地顯示在圖2（ b）和5隨著增加，迫使頻率，混沌運動退化為q = 6/8的運動，在投影龐加萊“部分的6個固定的點來表示;參見圖5（ b）所示中Hopf分岔q= 6/8的固定點結果與q= 6/8的運動相關聯的準周期運動，
看圖5（c ） 。準周期性運動轉換到其他相關的準周期運動q = 3/3由于其中q = 6/8的固定點相關聯的如在圖可見圓圈的破裂。 5 （ d）和（ e）項。
6 .在1:4強共振條件下亞諧與Hopf分岔
6.1在1:4強共振條件下亞諧分叉
通常的分岔，從周期運動到準周期的，發(fā)生非共振或共振條件下的非線性動力系統下。如果一對復共軛特征值的DF （ V， 0 ）逃避單位圓為V通過臨界值的vc ，滿足條件和有可能是周期運動的Hopf分岔非共振或弱共振情況下發(fā)生的，其中條件是共振個弱點，和降低到非共振情況[ 47 ] 。如果復共軛特征值滿足條件和在分岔點，它可能是霍普夫或強烈的共鳴例次諧波分支（ 1:1，1:2， 1:3或1:4）發(fā)生[ 47 - 49 ] 。在這里，我們將考慮1:4強共振條件下。
系統參數（ 2 ） ：
和R = 0.8被選擇為分析與1:4強共振條件下相關的諧波分叉。雅可比矩陣的特征值DF（ ，），對應于計算。矩陣DF （,0 ）具有兩對復共軛本征值和在強制頻率的區(qū)域。 DF （,0 ）的所有特征值，采用是在單位圓內。當 通過臨界值c = 4.137129 ，復共軛本征值對的從點（ 0，）的頻譜，其余DF（,0 ）保持在單位圓內嚴格逃脫單位圓通行證。c是與1:4強烈的共鳴，在這DF （,0 ）的特征值相關的諧波分叉值是
從仿真結果表明，該impactforming系統，與系統參數（ 2 ） ，具有穩(wěn)定的q = 1/1運動與。強迫頻率傳遞到后c= 4.137129 ，不穩(wěn)定Q = 1/1的固定點的出現，使得一個家庭Q = 4/4固定點的誕生和穩(wěn)定。質量M2的速度相對于不同的強制頻率的分岔圖繪于圖6，隨著迫使頻鄰增加，倍周期q = 4/4的運動發(fā)生分叉，并產生q = 7/7的議案;參見圖7（a ）和（b ） 。然而，沒有倍周期運動的順序出現由于兩個群眾放牧接觸。放牧接觸意味著，當兩個物體的位移之差等于的間隙，兩個物體具有相同的速度聯系，即， 。由于增加為 = 4.20196 ，q = 8/ 8個運動的放牧出現不穩(wěn)定，在運動期間一個沖擊消失和運動過渡到q= 7/8的議案。一個q = 7/8的運動，在投影龐加萊“部分，如圖中所示為= 4.203 。圖7（c ） 。放牧接觸會導致不連續(xù)的碰撞振動系統的Poincaré的地圖和奇異性。兩個物體的相對運動的相平面肖像繪制了一系列強制圖頻率值。 8的圖。圖8（b ）是繪制Q = 8分之8運動用兩個質量塊，從中可以觀察到，在運動期間一個沖擊消失且q = 7/8的運動穩(wěn)定的放牧接觸的相平面的畫像。所述q = 8/ 8個運動與放牧的接觸時間的軌跡示于圖9 ，其中實線和虛線對應于塊M2和M1的時間運動軌跡，分別。它清楚地觀察到，從時間軌跡，即兩個物體的放牧接觸發(fā)生在t = 20.1165 。由于增加為= 4.227 ，
q = 7/8運動的放牧失穩(wěn)發(fā)生，在運動為期影響再次消失和q = 6/8的運動穩(wěn)定;參見圖8（ d）所示。一個 q = 6/8的運動如圖中所示為= 4.2275 。圖8（e ） 。以增加迫使頻率，形成沖擊系統經歷到q = 1/1的運動，這是概括成過程中的過渡：q= 6/8運動→ q = 3/4的運動→長周期多沖擊運動→其中q = 1/1運動→ q= 1/1的運動相關聯的準周期影響的議案。存在的q= 1/1的運動在圖2的窗口。 圖6 ，由準周期和其他周期運動分開。 q= 1/1的第一窗口運動存在在寬強迫頻率范圍內，而第二對被比較窄的頻率范圍。
6.2 。 Hopf分岔在1:4強共振條件下
系統參數（ 3 ） ：
和R = 0.8時，采取分析的強共振條件下的Hopf分岔的存在。 DF（ ， ）與q= 1/1的固定點相關聯的特征值計算。矩陣DF（,0）具有兩對復共軛本征值和中的頻率范圍 DF （,0 ）的所有特征值，與趴在單位圓內。作為強迫頻率穿過c= 4.408895 ，復共軛本征值從點（ 0，） DF（,0）的頻譜，其余逃脫停留在單位圓內嚴格的單位圓。 Wc是用在該DF（,0 ）強共振條件下相關的Hopf分岔值的特征值為
結果從仿真結果表明， impactforming系統具有穩(wěn)定的q= 1/1運動以通過c = 4.408895 ，Q = 1/1的運動變得不穩(wěn)定，并產生準周期影響運動。準周期運動的影響，在預計的龐加萊“部分封閉的圓圈表示，繪制在圖 = 4.41 。圖10（a ） 。隨著增加，一個兜售型正切（倍）出現分叉和q = 4/4固定點穩(wěn)定;參見圖10 （ b）所示。由于增加為 = 4.4303 ,q = 4/4運動的放牧失穩(wěn)發(fā)生，在運動期間一個沖擊消失和q = 3/4的運動穩(wěn)定。q= 4/4的運動有兩個群眾放牧接觸的相平面的畫像顯示在圖 = 4.4303 。 11 （ b）所示，從其中q= 4/4的過渡運動到q = 3/4，通過兩個質量塊的放牧接觸時，可以觀察到很明顯。然后，該系統表現出穩(wěn)定q = 3/4在該區(qū)域的運動。
放牧接觸會導致系統動力學的質的變化。該vibroimpact系統，與固定站的放牧間斷，已詳細研究文獻。 [ 12-17 ] 。單自由度的影響振蕩器的q = p / n運動的擦邊分岔文獻進行了分析。 [14]。一般情況下，q= p / n運動的放牧邊界上的運動期間一個新的影響似乎還是在運動期間的影響消失，使運動過渡到q =（p +1） / n或（p -1） / n的議案。從仿真結果符合文獻中提到的結論。 [14]。此外，在龐加萊'地圖放牧的不連續(xù)性很可能是長期的定期或thaotic運動的一個重要原因。有必要使基礎研究到的一些現象放牧碰撞振動系統，這些系統的組件相互碰撞。
7.余維二分岔周期沖擊運動
7.1 余維2分叉（一）
余維2分叉嚴格的條件是不容易在工程實際應用中遇到的問題。然而，存在的可能性，實際的非線性動力系統，有兩個不同的一個或多個參數，附近的余維2分叉的臨界值工作，由于參數的變化。該impactforming機算得上是一個典型的例子。除了迫使頻率 ，間隙也隨不同厚度的工件形成的。改變這些參數可能會導致該沖擊成形機的工作原理附近的余維2分叉的關鍵參數的結果。改變這些參數可能會導致該沖擊成形機的工作原理附近的余維2分叉的關鍵參數的結果。那里的地圖存在的六宗余維2分岔，即雙重特征值 一個真正的特征值和復共軛本征值對同時逸出單位圓的，或1 ， 2個復共軛本征值對的同時逸出單位圓的，在這里，我們考慮：第一雙特征值的情況下，與然后再考慮在哪一個共軛復數對特征值和實特征值同時逃避單位圓的情況。形成沖擊系統，用系統參數（4）：
?和R = 0.8 ，已被選定為待分析。強迫頻率與間隙之和作為控制參數，即雅可比矩陣DF（ V， 0 ）的特征值計算與和 。 DF（ V， 0 ）的所有特征值留在單位圓內的 。通過逐步增加和減少從點來改變控制參數V，我們發(fā)現存在兩個實特征值和 ，這是非常接近的點（-1 ，0）的unitncircle ，以及其他的特征值和將仍然留在單位圓內的v等于
特征值和逃脫了單位圓的點(1,0) 和通過= 4.436158和 特征值和是約了雅可比矩陣的特征值兩倍Df(v,0)。
數值分析都進行了展開附近的余維2分叉點的影響系統的動態(tài)行為。從模擬整個動力轉換顯示在分岔圖（-圖12 ），用于一系列的值，其中，所述質量M2的速度，沖擊后立即顯示與強迫頻率 。人們可以觀察到，從圖，圖12（a ）至（ c）中，該系統表現出穩(wěn)定的q = 1/1運動迫使頻率的兩個不同的區(qū)域，而第二個附近發(fā)生的余維2分岔的值。但應當注意的是，其中q = 1/1運動相關聯的強制頻率的第二區(qū)域很窄，并且消失為隨著增加值 ，強制頻率的區(qū)域變寬一般;見圖。圖12（a ） - （ c）所示。該q = 1/1的運動，相應于的第一區(qū)域，將發(fā)生超臨界的Hopf bifurcationmwith增加 ;參見圖12，在用q = 1/1運動相關聯的強制頻率的第二區(qū)域，該運動將發(fā)生期間的增大而迫使頻率分岔，并且q = 2 /2移動穩(wěn)定。然后q= 2 /2移動的Hopf分岔出現，使系統表現出與q = 2 /2移動相關聯的準周期影響的議案。q= 1/1運動的過渡過程是在圖1中的放大的局部形式繪出。 12 （a1）中。結果由無期加倍q= 1/1運動級聯發(fā)生時，附近的余維2分叉點，由于出現q = 2/2運動的Hopf分岔的模擬表演。此外， q = 1/1運動亞臨界Hopf分岔，在第二個窗口中，發(fā)生減少強迫次數 ，和q = 1/1固定點的類型改變，從穩(wěn)定的焦點不穩(wěn)定焦點。有些投影龐加萊'節(jié)繪于圖。 14，15和17。該q = 1/1點，用相應的參數v被取作在每一個數值分析的初始點的地圖。我們選擇的間隙 ，改變激振頻率數值分析。從仿真結果表明，該系統具有穩(wěn)定的Q = 1/1的議案 。質量M2的相位滑動肖像和時間的軌跡示于圖1中。 13倍周期的q = 1/1運動分叉的發(fā)生是由于瓦特逐漸增加，并且通過 = 4.435578 ，并且系統表現出穩(wěn)定的q= 2/2的運動;見圖。圖14（a ）和（b ） 。在q = 2 /2移動改變其穩(wěn)定性 > 4.44831 ，并且發(fā)生，使系統表現出與q = 2 /2移動相關的如在圖看出準周期運動的影響q = 2 /2移動的Hopf分岔。圖14（c ）和（d ） 。隨著進一步增加，鎖相發(fā)生，這樣的準周期運動被鎖定到更高的一個周期吸引（超過為期）時期（見圖14 （ e）段） ，隨后變得不穩(wěn)定和混亂;參見圖14條（f ） 。
由于 經過 = 4.395411遞減，其中q = 1/1的運動相關聯的亞臨界霍普夫分岔發(fā)生。當 = 4.3954 ，為q = 1/1運動的固定點變得不穩(wěn)定焦點，然后轉變到穩(wěn)定的q = 2/3的固定點;參見圖15，相平面上的肖像和q = 2/3的運動時間軌跡繪制在圖16隨著減少2中，形成影響系統表現出穩(wěn)定的多沖擊周期運動和混沌;見圖。圖17（a ）和（ b）所示。該系統通過一個動態(tài)的演進與進一步減少 ，其概括為：混沌多沖擊周期運動，準周期運動的影響，穩(wěn)定q = 1/1的運動，如圖所示。圖17（b ） - （ f）所示。事實上，這個過程是q = 1/1通過鎖相運動混亂Hopf分岔產生不利路線。在固定點的q = 1/1的運動，在圖中所示。 17 （f）中是穩(wěn)定的焦點。地圖點，從圖中給出的初始映射點。 17 （六） ，會來的q= 1/1運動的穩(wěn)定不動點附近逐步顯現。選擇間隙的不同的值和不同的強制頻率 ，我們發(fā)現，在形成沖擊系統具有上述mentioned.S類似的動態(tài)行為
7.2 .余維2分叉（二）
形成沖擊系統，用系統參數：
和R = 0.7，已經選擇用于分析。強迫頻率和阻尼比被作為控制參數，即， DF（ V， 0 ）的特征值計算與和 。 DF（ V， 0 ）的所有特征值留在單位圓內的 通過逐漸增大和降低從點來改變控制參數v ，我們就可以得到一個實特征值和一對復共軛本征值 。這是非常接近單位圓，第四特征值還停留在單位圓內為V等于的特征值和都逃出來了單位圓為 （越來越多）和 （遞減）經過 = 5.07452和= 0.0121274 。特征值和幾乎同時躲避單位圓，所以是約取為余維2分叉的價值。
形成沖擊系統，附近的余維2分叉點的局部行為，是通過數值模擬得到。局部分岔設置接近臨界值繪于圖18，分岔圖顯示在圖一系列的Z值。 19 ，人們可以觀察到，從圖圖19（a ） - （ c）中，該系統表現出穩(wěn)定q = 1/1運動迫使頻率的兩個不同的區(qū)域，并且其附近存在的余維2分岔的值的第二個。但應注意的是，其中q = 1/1運動相關聯的強制頻率的第二區(qū)域很窄，并且消失為 ，但是，強制頻率的區(qū)域成為一般寬而增大阻尼比參見圖圖19（a ） - （ c）所示。該q = 1/1的運動，相應于的第一區(qū)域，將經過Hopf分岔與增加見圖19 。
在用q = 1/1運動相關聯的強制頻率的第二區(qū)域，該運動將發(fā)生期間的增大而迫使頻率和q= 2 /2移動穩(wěn)定所述分岔。然后q = 2 /2移動的Hopf分岔出現，使系統表現出與運動相關聯的準周期運動。為q= 1/1運動的過渡過程是在圖的放大形式在本地繪制。 19 （a1）中。結果由無期加倍q = 1/1運動級聯發(fā)生時，附近的余維2分叉點，由于出現q = 2/2運動的Hopf分岔的模擬表演。q = 1/1運動此外亞臨界Hopf分岔，在第二窗口中，發(fā)生減少強迫頻率所看到的圖。圖19（a ） - （ c）所示，且q = 1/1的固定點的類型被改變時，
從穩(wěn)定的焦點不穩(wěn)定的焦點。有些投影龐加萊'部分繪于圖21和23 。我們選擇的阻尼比 = 0.012225 ，改變激振頻率數值分析。從仿真結果表明，該系統具有穩(wěn)定的q= 1/1運動與的結果，見圖。圖19（a ）和圖20 。該q = 1/1的運動經歷Hopf分支為通過以遞減的方式。在臨界值， DF （,0）的特征值給出如下：
我們可以得出結論，根據從模擬相關的特征值和結果，那為q = 1/1運動的亞臨界霍普夫分岔發(fā)生 ，和q = 1/ 1個固定點改變，從穩(wěn)定的焦點不穩(wěn)定焦點;參見圖21倍周期的q = 1/1運動分岔時為逐漸增加，并且通過 ，該系統表現出穩(wěn)定的q = 2/2的運動;參見圖圖19（a ） 。該q = 2 /2移動改變其穩(wěn)定性為并發(fā)生使該系統具有其中q = 2/2點相關聯的如在圖看出準周期性沖擊運動Q = 2/2運動的Hopf分支。圖22（a ） - （ d）所示。在進一步上升，封閉的圈變成準吸引。準吸引不變圈更是吸引了圓內的地圖點，并為排斥或外面的地圖點。該系統通過準吸引不變圈立刻陷入混沌運動;見圖。 22 （ e）及（ f）條。
該q = 1/1的運動，相應于的第一區(qū)域，經歷Hopf分支為通過c= 4.74017日益如在圖所示。圖23（a ）和（ b）所示。通過鎖相增加 ，準周期吸引過境混亂;見圖。圖23（c ）和（d ） 。
Kugnetsov [49]認為是一個二維圖，并分析了余維2分叉雙重特征值相關聯的地圖。洛[ 50 ]研究了霍普夫翻轉余維2分叉三維地圖。局部分岔集和完成的normalform地圖，有兩個分支相關聯的，都在分別說明參考文獻[ 49,50 ]。有兩個分支相關聯的余維2分叉之間的類似行為是存在霍普夫和倍周期固定點的分叉和Hopf分支周期與附近余維二分岔相關的點，兩個固定點。形成沖擊系統，近的有兩個分支相關聯的余維2分叉點的動力學行為，分別符合Kugnetsov和洛杉磯的分析。
我們分析模型比例阻尼在上述路段的一些可能存在的分岔。當阻尼干擾，在模型比例阻尼的關鍵參數的偏差 ，是專門給，然后強迫頻率不斷（或遞減）發(fā)生變化，我們發(fā)現，通過數值模擬，該模型也可以表現出類似的動態(tài)行為，近相應的分岔點。阻尼模型的不屬于
在比例之一，由于偏差 。這意味著，如果發(fā)現為期singleimpact運動的余維2分岔的碰撞振動系統具有比例阻尼存在，可以肯定的是也存在著相應的余維數在碰撞振動系統具有一般線性阻尼2分叉。
8.系統參數對周期運動和分岔的影響
這里研究的形成影響系統涉及9系統參數： 。由于這種相對大量的參數的每個參數對impactforming系統的動力學詳細的影響在這里就不介紹。然而，這是特別感興趣的，以獲得形成的影響 - 機系統中的參數空間中的實際區(qū)域的動力學的全貌。以系統參數和R = 0.8為標準參數，我們分析在周期運動和分岔系統參數的影響。這里，在機械模型阻尼比將不假定為瑞利型的比例阻尼。
在設計工具的影響是極大的興趣達到預期的周期性沖擊速度。形成沖擊機的兩個部件相互碰撞它的工作過程中，使工件快速形式，所以馬上碰撞前的相對碰撞速度 ，是將形成沖擊系統的重要因素。圖。圖24（a ） - （ p）的繪制的分岔圖對于不同的系統參數的條件下，形成沖擊系統相對于不同的強制頻率的相對碰撞速度。對于相對的分岔圖沖擊速度相對于不等強迫頻率，與標準的參數，被繪制在圖圖24（a ） 。它被觀察到的，從該圖中，是q = 1/1運動期間經歷的增大而迫使倍頻分岔，并且系統通過倍周期的q = 1/1的軌道級聯落入混沌運動。唯一改變的參數給出了圖。圖24（b ） - （ p）和所有其他的參數，在圖中的描述沒有給出，都是一樣的標準參數。短周期的影響是非常重要的加工成形沖擊機的效率，所以q = 1/1的響應窗口的寬度，以在右側q= 1/1峰值速度有關，在下面的分析中強調。變化質量分布的影響，通過改變它的值，并再次改變所述強制頻率的影響。作為大規(guī)模毫米的分布增大時，q= 1/1運動的相對碰撞速度略有增加，且q = 1/1和1/2的運動的區(qū)域的收縮和長周期和混沌區(qū)域被擴大為在可見圖24 （ b）;
將發(fā)生的q= 1/1運動Hopf分支為正日益改變。作為大規(guī)模毫米的分布被減小，q = 1/1且q = 1/2的運動的兩個窗口移向更高的頻率，周期倍增q= 1/1運動分岔發(fā)生增加 。低結果在低相對碰撞速度和單沖擊周期運動（圖24 （ c））的放大窗口。作為剛性的分布在一個增加的方式被改變，形成沖擊系統的動態(tài)行為基本上類似于在圖24 （一） ，以及對貨幣供應量M1的質量M2的相對碰撞速度略有下降;參見圖第24（d ） 。低結果q = 1/1和q = 1/2運動的窄窗;參見圖24 （ e）所示。剛度的低分布導致大的沖擊速度，而q = 1/1運動的窗口變窄。很明顯，在q= 1/1的軌道發(fā)生倍周期分岔低例;參見圖24 （ f）段。對于大型 ， q= 1/1的窗口的運動也變得狹隘和準周期，其他定期和地區(qū)混沌運動，被顯著放大，相對沖擊速度明顯減少和q = 1/1的運動經歷Hopf分岔與增加迫使頻率，如圖所示。第24（g ） 。由于間隙d增加時，其他的周期，準周期和混沌運動的區(qū)域略有縮水，而q = 1/1和1/2的運動區(qū)域較小;參見圖24 （h）。
人們可以觀察到，從圖24 （ h）中，指沒有碰撞發(fā)生時，使系統將進行簡單的振動，并表現為一個線性系統的范圍內強制頻率 。作為間隙的值變得越小，形成沖擊系統的動態(tài)行為基本上類似于在圖圖24（a ） ;參見圖24（I ） 。增加阻尼比通常導致較低的相對碰撞速度，如圖所示。第24（j ） 。減小阻尼通常導致對M1和單沖擊周期運動，如圖可見較小的區(qū)域中的質量M2的更高的沖擊速度。 24 （ K） 。作為阻尼的分布被增加或減少，該系統表現出類似的行為，在圖圖24（a ） ;見圖24 （ l）及（m） 。增加阻尼引線的相對碰撞速度的明顯增加的分布，減少對應的相反的結果;見圖。第24（n ）及（o ） 。對于較小的R ，相對碰撞速度明顯降低;參見圖24 （ P） 。對于或低值，為或的高值，這可能是q = 1/1的運動經歷Hopf分岔與增加。對于參數分布的其他情形時，q = 1/1的運動經歷同期間增加了倍周期分岔。此外，在圖24 （b,（e）及（k ）存在的q = 1/1的運動很窄的窗口。q= 1/1的的運動，例如窄窗口也已在觀察圖2 ,6,12和前幾節(jié)的19。
高沖擊速度和短沖擊期間是用于提高成形沖擊機的工作效率的兩個重要因素。分析上述表明，合適的系統參數，通常會導致在兩個大的相對碰撞速度和更短的期間內對單沖擊周期運動。低和導致q= 1/1的運動相對碰撞速度的更高的峰值。然而，其結果是違背低和高 ，和。變異的和，與區(qū)域和相關聯的不會影響的q= 1/1的反應明顯的峰值速度。此外，變化不會明顯影響q = 1/1運動窗口的寬度。然而，周期性運動的窗口的寬度是由的變化明顯影響，這是應當注意，下部強制頻率導致了較長的時期。大的沖擊速度和短周期是重要的impactforming機的工作效率，因此q = 1/1的響應窗口的寬度，以在右側q= 1/1的峰值速度的關聯，是相當大的興趣。系統參數的選擇接近
和的形成影響系統可以表現出所述q = 1/1的運動與在強迫的一個周期相對較大的沖擊速度。該分岔圖，用優(yōu)化參數相關聯，如圖所示：和0.1.系統參數的有效性是由帶有參數的一個例子示出，25，很明顯，兩個質量塊的相對運動的峰值沖擊速度，其中q = 1/1運動相關聯，顯著地增加。我們可以觀察到，從圖25 ，這為q = 1/1運動的窗口移向更高的頻率和周期發(fā)生增加倍增q= 1/1運動分岔，結果示于圖25表示的，優(yōu)化的參數導致兩個高峰值沖擊速度和更短的周期的影響對于q = 1/1的運動。
9 .結論
形成沖擊機的動力學進行了研究，特別關注到周期運動的穩(wěn)定性， Hopf分岔非共振和弱共振的情況下，以1:4強共振條件下的次諧波和霍普夫分岔，余維2分叉和混沌運動等。局部分岔分析和數值模擬表明，q= 1/1的運動，在大多數情況下，經過倍周期分岔或Hopf分岔與控制參數的變化。
在q= 1/1的運動無論經歷次諧波和Hopf分支在1:4強共振條件下，系統表現出相應的q = 4 /4或準周期性影響的議案。觀察感興趣的是，q= p / n運動的放牧不穩(wěn)定發(fā)生在強共振條件下。一般來說，q=p /n的放牧邊界在運動期間運動的新的沖擊或會出現在運動期間的影響消失，使q = p / n運動過渡到q =（p+1）/ n或q =（p- 1 ）/ n的議案。
形成沖擊系統， ofcodimension 2分岔的條件下，可以表現更復雜的準周期性沖擊運動。附近的余維2分岔點存在不僅超臨界Hopf分岔q = 1/1的運動，也q= 2/2運動的Hopf分岔。
在設計工具的影響是極大的興趣達到預期的周期性沖擊速度。為了便于這樣的設計，該類型的示意圖示于圖2，6， 12 ， 24和25可能是有用的。全局分岔圖的形成的影響，對系統的改變迫使頻率的相對碰撞速度使實踐工程師來選擇在其中穩(wěn)定期1單沖擊響應可以預期發(fā)生的激發(fā)的頻率范圍，以及預測的峰沖擊速度和響應這樣的短時期沖擊。當系統參數選用近并且可以得到 singleimpact周期運動與兩個物體的相對較大的沖擊速度。在設計和改造的形成沖擊機，如果某些系統參數被賦予或限制，其他的參數，并迫使頻率可以通過穩(wěn)定的周期性影響運動和分岔分析優(yōu)化，使得在成形沖擊系統表現出穩(wěn)定的時期一個單沖擊運動，更大的沖擊速度和更短的影響期。在圖中所示的機械模型的動力學分析的方法。 1可以被應用到其他振動的機器和設備，例如，振動錘，壓實和成形機，慣性振動篩，振動 - 沖擊樁機和機械系統具有間隙或縫隙等。
致 謝
作者感謝國家自然科學基金（ 50475109,10572055 ）和中國甘肅省人民政府自然科學基金（ 3ZS051 -A25 -030 ， ZS- 031- A25 -007 -Z （重點項目） ）承認的支持。
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