線性代數(shù) 第5章 特征值與特征向量 - 習(xí)題詳解

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1、 第5章 特征值與特征向量 5.1 特征值與特征向量 練習(xí)5.1 1. 證明特征值與特征向量的性質(zhì)3. 設(shè)是一個(gè)多項(xiàng)式. 又設(shè)是矩陣的一個(gè)特征值, 是其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量, 則是矩陣多項(xiàng)式的一個(gè)特征值, 仍是其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量. 證 由得 再由定義得證. 2. 求矩陣 的全部特征值與特征向量. 解 由 得的特征值為（二重）. 當(dāng)時(shí)，解齊次方程組得基礎(chǔ)解系 所以，屬于的全部特征向量為（）. 當(dāng)時(shí)，解齊次方程組得基礎(chǔ)解系 所以，的全部特征向量為（）. 3. 求平面旋轉(zhuǎn)矩陣 的特征值. 解 由 得矩陣的兩個(gè)特征值

2、為 ， 4. 已知是矩陣 的一個(gè)特征向量. 試確定的值及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值. 解 設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征值為，則由, 即，得 解之得. 5. 設(shè)3階矩陣的三個(gè)特征值為, 與之對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 求矩陣. 解 由假設(shè) 矩陣可逆，所以 6. 設(shè)3階矩陣的特征值為, 求行列式. 解 記的特征值為,則 ， 故的特征值為，計(jì)算得 所以 7. 設(shè), 證明的特征值只能是或. 解 設(shè)是的特征值，則有特征值 由于，故其特征值全為零，所以，從而或. 8. （1）證明一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征值； （2）設(shè)為矩陣

3、陣的兩個(gè)不同的特征值, 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為和, 證明（）不是的特征向量. 證 （1）設(shè)的對(duì)應(yīng)于特征向量的特征值有和，即 由此推出，由于，因此. （2）（反證）假設(shè)是的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為，即 由，得 移項(xiàng) 因線性無關(guān)，所以 由得，這與矛盾. 5.2 方陣的對(duì)角化 練習(xí)5.2 1. 證明相似矩陣的性質(zhì)1～7. 性質(zhì)1 相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系. 即具有： （1）自反性：； （2）對(duì)稱性：； （3）傳遞性：. 證（1）由，得 （2）設(shè)，則， （3）設(shè)，則 ，，. 性質(zhì)2 設(shè), 又, 則； 證 設(shè)，則 性

4、質(zhì)3 設(shè), 又可逆, 則可逆且； 證 設(shè)，由于是可逆矩陣的乘積，所以可逆. 且 ，， 性質(zhì)4 設(shè), 則； 證 見正文. 性質(zhì)5 設(shè), 則與的特征值相同； 證 由性質(zhì)4即得證. 性質(zhì)6 設(shè), 則； 證 由行列式等于所有特征值的乘積以及性質(zhì)5即得證. 性質(zhì)7 設(shè), 則. 證 由跡等于所有特征值之和以及性質(zhì)5即得證. 2. 設(shè) ， 已知與相似，求. 解 由和得 解和. 3. 設(shè), （1）求可逆矩陣使得為對(duì)角矩陣； （2）計(jì)算. 解（1）易求得的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為. 令，則 （2） 4. 設(shè)

5、（1）求可逆矩陣, 使為對(duì)角矩陣； （2）計(jì)算； （3）設(shè)向量, 計(jì)算. 解 （1）按對(duì)角化的方法易求得 ， 和 （2）由 所以 （3）（方法1）先按（2）先計(jì)算，再計(jì)算. . （方法2）先求在基下的分解，然后再求. 解得 所以在基底下的分解為 則 5. 已知方陣 與對(duì)角矩陣相似, 且是的二重特征值. （1）求與的值. （2）求可逆矩陣使為對(duì)角矩陣. 解 （1） （2）求另一個(gè)特征值 解得基礎(chǔ)解系（見下面的前兩列），解得基礎(chǔ)解系（見下面的第三列）. ， 6. 設(shè)矩陣 （1

6、）確定的值使可對(duì)角化. （2）當(dāng)可對(duì)角化時(shí), 求可逆矩陣, 使為對(duì)角矩陣. 解 （1）求的特征值 可對(duì)角化 （2）方法同前 ， 習(xí)題五 1. 設(shè)，證明的特征值只能是1或2. 證 設(shè)是的特征值，則有特征值 由于，故的特征值全為零，所以 從而或. 2. 設(shè)階矩陣的各行元素之和都等于1，證明矩陣的特征值. 提求：,. 證 設(shè),. 3. 證明階Householder矩陣 （其中） 有個(gè)特征值, 有一個(gè)特征值. 提示：方程組有個(gè)線性無關(guān)的解向量記為, 直接驗(yàn)證. 又. 證 方程組有個(gè)線性無關(guān)的解向量記為,即 于是 上

7、式說明有個(gè)特征值. 又 上式說明有一個(gè)特征值. 綜上，的特征值為. 4. 設(shè)是矩陣, 是矩陣, 證明與有相同的非零特征值. 特別地，如果, 則與的特征值完全相同. 證法1 由 （設(shè)） 立即得證. 證法2 設(shè)是的一個(gè)非零特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為，即 用左乘上式得 只要再證明，上式說明也是的特征值. 如果，將其代入式得 左邊，右邊（） 矛盾. 因此. 同理，的非零特征值也是的特征值. 5. 設(shè)與都是階矩陣，是的特征多項(xiàng)式，證明可逆的充要條件是矩陣和沒有公共的特征值. 證 設(shè)為的特征值，則 從而 于是 因此

8、（） 不是的特征值與沒有公共的特征值. 6. 設(shè) ， 已知與相似. （1） 求； （2） 求可逆矩陣，使. 提示：與有相同的特征多項(xiàng)式，比較兩個(gè)特征多項(xiàng)式的系數(shù). 解 （1）分別求得與的特征多項(xiàng)式 由得 ，， 即 ， 解得 （2） 由于與相似，所以的特征值與的特征值相同，就是的對(duì)角元 再求出對(duì)應(yīng)于這些特征值的特征向量分別為 令 則有. 7. 設(shè)是3階方陣，是3維列向量，矩陣可逆，且 求矩陣. 解 8. 設(shè)是階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足. （1）證明線性無關(guān). （2

9、）令，求. 解（1）設(shè) 兩邊左乘 上面兩式相減 線性無關(guān)，，代入前面式子. 說明線性無關(guān). （2） 9. 設(shè)，求 解 的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 令，則 從而 10. 設(shè), . 證明當(dāng)時(shí), 可對(duì)角化；當(dāng)時(shí), 不可對(duì)角化. 證 設(shè). 由 知有特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量. 再設(shè)齊次方程組的個(gè)線性無關(guān)解為，則 說明有特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為. 綜上，的個(gè)特征值為，，對(duì)應(yīng)的特征向量為（它們線性無關(guān)）. 因此，可對(duì)角化. 相應(yīng)的對(duì)角矩陣為 設(shè). 由 的特征值全是零（重）. 但屬于的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為 所以不可對(duì)角化. 11．求解微分方程組 解 寫成矩陣形式 ，， 由初值定出常數(shù) 12．在某國，每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村. 假設(shè)該國總?cè)丝诓蛔儯疑鲜鋈丝谶w移的規(guī)律也不變. 把n年后的農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖楹停ǎ? （1）求關(guān)系式中的矩陣； （2）設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等，即，求. 解 （1） （2）由 得的特征值為 再求得對(duì)應(yīng)的特征向量為 令，則 于是