線性代數(shù) 第5章 特征值與特征向量 - 習題詳解

第5章 特征值與特征向量 5.1 特征值與特征向量 練習5.1 1. 證明特征值與特征向量的性質3. 設是一個多項式. 又設是矩陣的一個特征值, 是其對應的一個特征向量, 則是矩陣多項式的一個特征值, 仍是其對應的一個特征向量. 證 由得 再由定義得證. 2. 求矩陣 的全部特征值與特征向量. 解 由 得的特征值為（二重）. 當時，解齊次方程組得基礎解系 所以，屬于的全部特征向量為（）. 當時，解齊次方程組得基礎解系 所以，的全部特征向量為（）. 3. 求平面旋轉矩陣 的特征值. 解 由 得矩陣的兩個特征值為 ， 4. 已知是矩陣 的一個特征向量. 試確定的值及特征向量所對應的特征值. 解 設所對應的特征值為，則由, 即，得 解之得. 5. 設3階矩陣的三個特征值為, 與之對應的特征向量分別為 求矩陣. 解 由假設 矩陣可逆，所以 6. 設3階矩陣的特征值為, 求行列式. 解 記的特征值為,則 ， 故的特征值為，計算得 所以 7. 設, 證明的特征值只能是或. 解 設是的特征值，則有特征值 由于，故其特征值全為零，所以，從而或. 8. （1）證明一個特征向量只能對應于一個特征值； （2）設為矩陣陣的兩個不同的特征值, 對應的特征向量分別為和, 證明（）不是的特征向量. 證 （1）設的對應于特征向量的特征值有和，即 由此推出，由于，因此. （2）（反證）假設是的特征向量，對應的特征值為，即 由，得 移項 因線性無關，所以 由得，這與矛盾. 5.2 方陣的對角化 練習5.2 1. 證明相似矩陣的性質1～7. 性質1 相似關系是一種等價關系. 即具有： （1）自反性：； （2）對稱性：； （3）傳遞性：. 證（1）由，得 （2）設，則， （3）設，則 ，，. 性質2 設, 又, 則； 證 設，則 性質3 設, 又可逆, 則可逆且； 證 設，由于是可逆矩陣的乘積，所以可逆. 且 ，， 性質4 設, 則； 證 見正文. 性質5 設, 則與的特征值相同； 證 由性質4即得證. 性質6 設, 則； 證 由行列式等于所有特征值的乘積以及性質5即得證. 性質7 設, 則. 證 由跡等于所有特征值之和以及性質5即得證. 2. 設 ， 已知與相似，求. 解 由和得 解和. 3. 設, （1）求可逆矩陣使得為對角矩陣； （2）計算. 解（1）易求得的特征值為，對應的特征向量分別為. 令，則 （2） 4. 設 （1）求可逆矩陣, 使為對角矩陣； （2）計算； （3）設向量, 計算. 解 （1）按對角化的方法易求得 ， 和 （2）由 所以 （3）（方法1）先按（2）先計算，再計算. . （方法2）先求在基下的分解，然后再求. 解得 所以在基底下的分解為 則 5. 已知方陣 與對角矩陣相似, 且是的二重特征值. （1）求與的值. （2）求可逆矩陣使為對角矩陣. 解 （1） （2）求另一個特征值 解得基礎解系（見下面的前兩列），解得基礎解系（見下面的第三列）. ， 6. 設矩陣 （1）確定的值使可對角化. （2）當可對角化時, 求可逆矩陣, 使為對角矩陣. 解 （1）求的特征值 可對角化 （2）方法同前 ， 習題五 1. 設，證明的特征值只能是1或2. 證 設是的特征值，則有特征值 由于，故的特征值全為零，所以 從而或. 2. 設階矩陣的各行元素之和都等于1，證明矩陣的特征值. 提求：,. 證 設,. 3. 證明階Householder矩陣 （其中） 有個特征值, 有一個特征值. 提示：方程組有個線性無關的解向量記為, 直接驗證. 又. 證 方程組有個線性無關的解向量記為,即 于是 上式說明有個特征值. 又 上式說明有一個特征值. 綜上，的特征值為. 4. 設是矩陣, 是矩陣, 證明與有相同的非零特征值. 特別地，如果, 則與的特征值完全相同. 證法1 由 （設） 立即得證. 證法2 設是的一個非零特征值，對應的特征向量為，即 用左乘上式得 只要再證明，上式說明也是的特征值. 如果，將其代入式得 左邊，右邊（） 矛盾. 因此. 同理，的非零特征值也是的特征值. 5. 設與都是階矩陣，是的特征多項式，證明可逆的充要條件是矩陣和沒有公共的特征值. 證 設為的特征值，則 從而 于是 因此 （） 不是的特征值與沒有公共的特征值. 6. 設 ， 已知與相似. （1） 求； （2） 求可逆矩陣，使. 提示：與有相同的特征多項式，比較兩個特征多項式的系數(shù). 解 （1）分別求得與的特征多項式 由得 ，， 即 ， 解得 （2） 由于與相似，所以的特征值與的特征值相同，就是的對角元 再求出對應于這些特征值的特征向量分別為 令 則有. 7. 設是3階方陣，是3維列向量，矩陣可逆，且 求矩陣. 解 8. 設是階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足. （1）證明線性無關. （2）令，求. 解（1）設 兩邊左乘 上面兩式相減 線性無關，，代入前面式子. 說明線性無關. （2） 9. 設，求 解 的特征值為，對應的特征向量分別為 令，則 從而 10. 設, . 證明當時, 可對角化；當時, 不可對角化. 證 設. 由 知有特征值，對應的特征向量. 再設齊次方程組的個線性無關解為，則 說明有特征值，對應的特征向量為. 綜上，的個特征值為，，對應的特征向量為（它們線性無關）. 因此，可對角化. 相應的對角矩陣為 設. 由 的特征值全是零（重）. 但屬于的線性無關的特征向量個數(shù)為 所以不可對角化. 11．求解微分方程組 解 寫成矩陣形式 ，， 由初值定出常數(shù) 12．在某國，每年有比例為p的農村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農村. 假設該國總人口不變，且上述人口遷移的規(guī)律也不變. 把n年后的農村人口和城鎮(zhèn)人口占總人口的比例依次記為和（）. （1）求關系式中的矩陣； （2）設目前農村人口與城鎮(zhèn)人口相等，即，求. 解 （1） （2）由 得的特征值為 再求得對應的特征向量為 令，則 于是