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1、第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,目的：了解Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關(guān)系，熟練掌握Lebesgue積分的極限定理，并能熟練運(yùn)用這些定理。 重點(diǎn)與難點(diǎn)：L-積分極限定理及其應(yīng)用。,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,基本內(nèi)容： 一R-積分與 L-積分的關(guān)系 問題1：回憶 f 的Riemann可積性與| f | 的Riemann可積性是否等價(jià)。對 常義Riemann積分而言，情形又 如何？,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,我們曾經(jīng)提到Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，
2、然而對廣義Riemann積分來說，Riemann可積性并不意味著Lebesgue可積性，這從前面的例子已經(jīng)看到。,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,那么，通常意義下的Riemann可積性是否意味著Lebesgue可積性呢？如果不是的話，則就不能認(rèn)為Lebesgue積分是Riemann積分的自然推廣，幸運(yùn)的是，答案是肯定的。,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,定理的敘述（L-可積函數(shù)何時(shí)Riemann可積）,此處 表示在a,b上的Lebesgue積分， 表示在a,b上的Riemann積分。,如果有界函數(shù)在閉區(qū)間a,b上是Riem
3、ann可積的，則在a,b上也是Lebesgue可積的，且,證明：顯然，由本節(jié)定理1，只需證明是a,b上的可測函數(shù)。 由于 f Riemann可積，取a,b的分點(diǎn)組,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,,,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,,,,記 分別為 f 在 下的 下確界和上確界，由Riemann積分的定義知,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,令 為如下的函數(shù)列：,則因 ，故當(dāng)區(qū)間長度縮小時(shí)，上確界不增，下確界不減，所以,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,
4、,于是 ，即,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,,注意到 都是有界可測的，所以 是非負(fù)Lebesgue可積函數(shù)，從而,,,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,又,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,這說明 ， 故 。 由本節(jié)定理3知 ，進(jìn)一步 ，因此 f 在a,b上可測，證畢。,二Levi定理 問題2：回憶Riemann積分中，積分 與極限交換順序的條件？,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定
5、理,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,(1) Levi定理 問題3：從定理的條件，函數(shù)序列的極 限與函數(shù)序列可否比較大小？ 問題4：定理中并未假定集合的測度有 限，也未假定函數(shù)序列有界， 如何克服這一困難？,問題5：定理的條件中，假定了函數(shù)序 列的單調(diào)性，這說明函數(shù)序列 至少是幾乎處處收斂的，單幾 乎處處收斂的函數(shù)序列的積分 與極限必可交換順序嗎？如何 克服這一困難？,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,勒維Levi定理 設(shè),,是E上的非負(fù)可測函數(shù)序列，
6、,,,則,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,(2) Levi定理的證明,先設(shè) ，對任意 ， 取正整數(shù) l, k, 使,其中,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,設(shè)正整數(shù) m0 使 時(shí)，對一切 ，都有 ， 則當(dāng) 時(shí)，,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,注意到 ，且在 Ek 上， ， 由Egoroff定理知，存在 ，使 ，且在 上 一致收斂到 。,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,因此
7、 ，由 的任意性便知 。 另一方面，由于對任意 m，顯然有 ，,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,所以 ，從而 。 綜上得 。,,,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,又,,,故當(dāng) 時(shí)，,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,當(dāng) 時(shí)，由積分定義， 對任意 M 0，存在 k, l 使 ， 其中 。由 與 及上面的證明知,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系
8、, L-積分的極限定理,,,,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,由 m 的任意性立得 。 證畢。,三Lebesgue基本定理 問題6：我們知道級數(shù)與序列是可以相 互轉(zhuǎn)換的，試將Levi定理改用 級數(shù)的形式敘述？,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,(1) Lebesgue基本定理,如果 是 E 上的非負(fù) 可測函數(shù)序列， ，則,則 Sk 是 E 上的非負(fù)可測函數(shù)， 并且 ，,令 ，,第18講
9、R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,(2) Lebesgue基本定理的證明,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,故由Levi定理知 證畢。,,,問題7：如果 Ek 是一列互不相交的可 測集， ，f 是E上的 非負(fù)可測函數(shù)，能否利用 Lebesgue基本定理證明 ？,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,(3) 推論,若 是 E 的互不相交的可 測子集列， ，則當(dāng) f(x) 在 E 上 有積分時(shí)， f(x)
10、 在每一 Ek 上都有積分， 且,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,證明：記 為 Ek 的特征函數(shù)，則 。 注意到 故由定理2得,,,類似可證 。 由 f(x) 在 E 上有積分知 與 至少有一個(gè)不為，不妨設(shè) ，,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,,,,于是由 ， 知 f + 在每個(gè) Ek 上可積，且有 。,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,進(jìn)一步,,,,,第18講 R-積分與L-積分的關(guān)系, L-積分的極限定理,作業(yè)：P167 12，14,
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