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《高等代數(shù)》(上)題庫
第一章 多項式
填空題
(1.7)1、設(shè)用x-1除f(x)余數(shù)為5,用x+1除f(x)余數(shù)為7,則用x2-1除f(x)余數(shù)是 。
(1.5)2、當(dāng)p(x)是 多項式時,由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、當(dāng)f(x)與g(x) 時,由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、設(shè)f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余數(shù)為3,用x-1除余數(shù)為5,那么a= b
。
(1.7)5、設(shè)f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余數(shù)為3,則k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b,則a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根,那么k= 。
(1.8)8、以l為二重根,2,1+i為單根的次數(shù)最低的實系數(shù)多項式為f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一個根,則f(x)的全部根是 。
(1.4)10、如果(f(x),g(x))=1,(h(x),g(x))=1 則 。
(1.5)11、設(shè)p(x)是不可約多項式,p(x)|f(x)g(x),則 。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),則 。
(1.5)13、設(shè)p(x)是不可約多項式,f(x)是任一多項式,則 。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),則 。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x),則 。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),且(g(x),h(x))=1,則 。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且 則p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),則 。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要條件是 。
(1.7)20、f(x)沒有重根的充分必要條件是 。
答案
1、-x+6 2、不可約 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=2
8、x5-6x4+15x3-20x2+14x-4 9、1-i,1+i 1+,1- 10、(f(x)h(x),g(x))=1 11、p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1 14、f(x)|h(x) 15、f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可約多項式 18、f(x)|g(x)且f(x)|h(x) 19、x-α|f(x) 20、(f(x),f’(x))=1
判斷并說明理由
(1.1)1、數(shù)集是數(shù)域( )
(1.1)2、數(shù)集是數(shù)域 ( )
(1.3)3、若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x),則f(x)|h(x) ( )
(1.3)4、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),則f(x)|h(x) ( )
(1.4)5、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),則g(x)h(x)|f(x) ( )
(1.4)6、若(f(x)g(x),h(x))=1,則(f(x),h(x))=1 (g(x),h(x))=1 ( )
7、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),則(f(x),h(x))=1 ( )
(1.6)8、設(shè)p(x)是數(shù)域p上不可約多項式,那么如果p(x)是f(x)的k重因式,則p(x)是f(x)的k-1重因式。 ( )
(1.9)9、如果f(x)在有理數(shù)域上是可約的,則f(x)必有有理根。( )
(1.9)10、f(x)=x4-2x3+8x-10在有理數(shù)域上不可約。( )
(1.1)11、數(shù)集是數(shù)域 ( )
(1.1)12、數(shù)集是數(shù)域 ( )
(1.3)13、若f(x)|g(x)h(x),則f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( )
(1.3)14、若f(x)|g(x),f(x)|h(x),則f(x)|g(x)h(x) ( )
(1.3)15、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x),則f(x)|g(x)且f(x)|h(x) ( )
(1.4)16、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),則d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 ( )
(1.6)17、若p(x)是f’(x)內(nèi)的k重因式,則p(x)是f(x)的k+1重因式( )
(1.7)18、如果f(x)沒有有理根,則它在有理數(shù)域上不可約。( )
(1.8)19、奇次數(shù)的實系數(shù)多項式必有實根。( )
(1.9)20、 f(x)=x6+x3+1在有理數(shù)域上可約。( )
答案:1、√ 2、 3、 4、√ 5、 6、√ 7、 8、√ 9、 10、√11、√ 12、 除法不封閉 13、 當(dāng)f(x)是不可約時才成立 14、 如f(x)=x2,g(x)=h(x)=x時 不成立 15、√ 16、 17、如f(x)=xk+1+1 18、19、√虛根成對 20、 變形后用判別法知 不可約
選擇題
(1.1)1、以下數(shù)集不是數(shù)域的是( )
A、,i2= -1
B、 ,i2= -1
C、
D、
(1.3)2、關(guān)于多項式的整除,以下命題正確的是 ( )
A、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x)則f(x)|h(x)
B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),則g(x)h(x)|f(x)
C、若f(x)|g(x)+h(x),且f(x)|g(x),則/ f(x)|h(x)
D、若f(x)|g(x),f(x)|h(x),則f(x)|g(x)h(x)
(1.4)3、關(guān)于多項式的最大公因式,以下結(jié)論正確的是 ( )
A、若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,則(f(x),h(x))=1
B、若存在u(x),v(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x),則d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式
C、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x),則d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式
D、若(f(x)g(x),h(x))=1,則(f(x),h(x))=1且(g(x),h(x))=1( )
(1.7)4、關(guān)于多項式的根,以下結(jié)論正確的是 ( )
A、如果f(x)在有理數(shù)域上可約,則它必有理根。
B、如果f(x)在實數(shù)域上可約,則它必有實根。
C、如果f(x)沒有有理根,則f(x)在有理數(shù)域上不可約。
D、一個三次實系數(shù)多項式必有實根。
(1.6)5、關(guān)于多項式的重因式,以下結(jié)論正確的是( )
A、若f(x)是f’(x)的k重因式,則p(x) 是f(x)的k+1重因式
B、若p(x)是f(x)的k重因式,則p(x) 是f(x),f’(x)的公因式
C、若p(x)是f’(x)的因式,則p(x)是f(x)的重因式
D、若p(x)是f(x)的重因式,則p(x)是的單因式
(1.7)6、關(guān)于多項式的根,以下結(jié)論不正確的是 ( )
A、α是f(x)的根的充分必要條件是x-α|f(x)
B、若f(x)沒有有理根,則f(x)在有理數(shù)域上不可約
C、每個次數(shù)≥1的復(fù)數(shù)系數(shù)多項式,在復(fù)數(shù)域中有根
D、一個三次的實系數(shù)多項式必有實根
(1.7)7、設(shè)f(x)=x3-3x+k有重根,那么k=( )
A、1 B、-1 C、2 D、0
(1.9)8、設(shè)f(x)=x3-3x2+tx-1是整系數(shù)多項式,當(dāng)t=( )時,f(x)在有理數(shù)域上可約。
A、1 B、0 C、-1 D、3或-5
(1.9)9、設(shè)f(x)=x3-tx2+5x+1是整系數(shù)多項式,當(dāng)t=( )時,f(x)在有理數(shù)域上可約。
A、t=7或3 B、1 C、-1 D、0
(1.9)10、設(shè)f(x)=x3+tx2+3x-1是整系數(shù)多項式,當(dāng)t=( )時,f(x)在有理數(shù)域上可約。
A、1 B、-1 C、0 D、5或-3
(1.5)11、關(guān)于不可約多項式p(x),以下結(jié)論不正確的是( )
A、若p(x)|f(x)g(x),則p(x)|f(x)或p(x)|g(x)
B、若q(x)也是不可約多項式,則(p(x),q(x))=1或p(x)=cq(x) c≠0
C、p(x)是任何數(shù)域上的不可約多項式
D、p(x)是有理數(shù)域上的不可約多項式
(1.9)12、設(shè)f(x)=x5+5x+1,以下結(jié)論不正確的是( )
A、f(x)在有理數(shù)域上 不可約
B、f(x)在有理數(shù)域上 可約
C、f(x)有一實根
D、f(x)沒有有理根
(1.9)13、設(shè)f(x)=xp+px+1,p為奇素數(shù),以下結(jié)論正確的是 ( )
A、f(x)在有理數(shù)域上 不可約
B、f(x)在有理數(shù)域上 可約
C、f(x)在實數(shù)域上 不可約
D、f(x)在復(fù)數(shù)域上 不可約
答案:
1、B 2、C 3、D 4、D 5、D 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 11、C
12、B 13、A
計算題
(1.3)1、求m,p的值使 x2+3x+2|x4-mx2-px+2
解:用帶余除法 求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即
求得m= -6 p=3
(1.6)2、判斷f(x)=x4-6x2+8x-3有無重因式,如果有,求其重數(shù)
解:f’(x)=4x3-12x+8 (f(x),f’(x))=(x-1)2
x-1是f(x)的三重因式
(1.7)3、設(shè)f(x)=x4-3x3+6x2-10x+16, C=3,求f(c)
解:用綜合除法求得f(c)=40
(1.7)4、決是t的值,使f(x)=x3-3x2+tx-1 有重根
解J:由輾轉(zhuǎn)除法使(f(x),f’(x))≠求得t=3 或t=當(dāng)t=3時 f(x)有三重根1 當(dāng)t=時,f(x)有二重根-
(1.9)5、設(shè)f(x)=x5+x4-2x3-x2-x+2,求f(x)的有理根,并寫出f(x)在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。
解:有理根是1(二重),2 實數(shù)域上分解式為f(x)=(x-1)2(x+2)(x2+x+1)
復(fù)數(shù)域上分解式為f(x)=(x-1)2(x+2)(x+-i)(x+
(1.9)6、求f(x)=4x4-7x2-5x+1的有理根,并寫出f(x)在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。
解:有理根為(二重)分解式為f(x)=4(x+)2(x2-x-1)
(1.9)7、求f(x)=x5+x4-6x3-14x2-11x-3的有理根,并寫出f(x)在復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式
解:有理根為-1(四重)3,分解式f(x)=(x+1)4(x-3)
(1.8)8、已知i, z-i 是f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5的兩個根,求f(x)的全部根
解:全部根為 i,-i,2-i,2+i,
(1.8)9、求以1-i, i為根的次數(shù)最低的復(fù)系數(shù)多項式f(x)
解:f(x)=x2-x+(1+i)
(1.8)10、求以1為二重根,1=I為單根的次數(shù)最低近的實系數(shù)多項式f(x).
解:f(x)=x4-4x3-x2-6x+2
(1.8)11、已知1-i是f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2的根,求f(x)的全部根。
解:全部根為1+i,1-i,1+,1-
證明題
(1.3)1、試證用x2-1除f(x)所得余式為
證明:設(shè)余式為ax+b,則有f(x)=(x2-1)q(x)+ax+b
f(1)=a+b ,f(-1)=-a+b
求得a=
(1.3)2、證明,h(x)(f(x),g(x))=(f(x)h(x),g(x)h(x)),其中h(x)是首項系數(shù)為1的多項式。
證明:設(shè)(f(x),g(x))=d(x) ,則h(x)d(x)|h(x)f(x) h(x)d(x)|h(x)g(x),又存在u(x),v(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d有h(x)f(x)u(x)+h(x)g(x)v(x)=h(x)g(x)于是
h(x)d(x)=(h(x)f(x),h(x)g(x))
(1.4)3、證明,如果f(x)|g(x)h(x),且(f(x),g(x))=1,則f(x)|h(x)
證明:由(f(x),g(x))=1,存在u(x),v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1,從而f(x)u(x)h(x)+g(x)v(x)h(x)=h(x),f(x)|g(x)h(x),f(x)h(x) 所以f(x)|h(x)
(1.4)4、證明,(f(x)+g(x),f(x)-g(x))=(f(x),g(x))
證明:(f(x)+g(x))=d(x) 則d(x)|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x) 設(shè)d1(x) 是f(x)+g(x),f(x)-g(x)r的任一公因式 則d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x) d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x) 故d1(x)|f(x),d1(x)|g(x),從而d1(x)|d(x) 得證
(1.5)5、證明,g(x)|f(x)的充分必要條件是g2(x)|f2(x)
證明:設(shè)f(x)=g(x)h(x), 則f2(x)=g2(x)h2(x)即g2(x)|f(x) 反之,設(shè)g2(x)|f2(x),將f(x),g(x)分解f(x)= aP1l1(x)…psls(x),g(x)=bp1r1(x)…psrs(x) 其中,li ri為非負(fù)整數(shù),pi(x)為互不相同的可約多項式那么f2(x)=a2p12l1(x)…ps2ls(x),g2(x)=b2p12r1(x)…ps2rs(x) 由g2(x)|f2(x),必有2ri≤2li,即ri≤li于是g(x)|f(x)。
(1.7)6、設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1…+a1x+a0有n個非零根,α1α2αn,證明
g(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的n個根。
證明:設(shè)α為f(x)的任非零根,則
f(α)=anαn+an-1αn-1+…+a1α+ao=0
g()=a0()n+a1()n-1+…an-1()+an=()n(anαn+an-1αn-1+…+a1α+ao)=0所以
(1.5)7、設(shè)p(x)是次數(shù)大于零的多項式,如果對任意多項式f(x),g(x),由p(x|f(x)g(x),可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可約多項式
證明:假設(shè)p(x)是可約的,設(shè)p(x)=p1(x)p2(x)
其中 (p1 (x)) < (p(x)), (p2(x))< (p(x))
顯然p(x)|p1(x)p2(x) 但p(x)|P1(x), p(x)|p2(x)
這與題設(shè)矛盾,即p(x)是不可約的。
(1.5) 8、設(shè)p(x)是數(shù)域p上不可約多項式,f(x)是p上任一多項式,那么p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1
證明:設(shè)(p(x),f(x))=d(x) 則d(x)|p(x)
由p(x)不可約,知d(x)=cp(x), c≠0,或d(x)=1
當(dāng)d(x)=cp(x)時,就有p(x)|f(x)
(1.5)9、設(shè)p(x),q(x)是數(shù)域p上兩個不可約多項式,證明(p(x)q(x)=1或p(x)=(q(x)) c≠證明:因p(x),q(x)皆不可約,故有(p(x),q(x))=1 或p(x)|q(x)且q(x)|p(x)即p(x)=cq(x)
(1.7)10、證明,如果x2+x+1|f1(x3)+xf2(x3)那么x-1|f1(x), x-1|f2(x)
證明:x3-1=(x-1)(x2+x+1)
設(shè)ω1,ω2是x2+x+1的根,則有ω31=1,ω32=1,且ω1,ω2為f1(x3)+xf2(x3)的根,那么有
f1(1)+ω1f2(1)=0
f1(1)+ω2f2(1)=0
因ω1≠ω2 解得f1(1)=0 f2(1)=0
即 x-1|f1(x), x-1|f2(x)
(1.9)11、設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0是整系數(shù)多項式證明,如果a0,an均為奇數(shù),f(1),f(-1)中至少有一個為奇數(shù),那么f(x)無有理根
證明:若f(x)有有理根,(u,v互素),則v|an u|a0,知u,v均為奇數(shù),由u-v|f(1),u+v|f(-1)知f(1),f(-1)均為偶數(shù),這與題設(shè)矛盾,所以f(x)無有理根。
第二章 行列式
填空題
(2.2)1、n級排列u(n-1)…2 1的逆序數(shù)是 。
(2.2)2、如果排列i1’i2’…in的逆序數(shù)是k,則排列in’n-1…l’2l’1的逆序數(shù)是 。
(2.4)3、
(2.3)4、
(2.3)5、
(2.3)6、
(2.3)7、
(2.4)8、若行列式中每一行元素之和都等于零,則行列式的值為 。
(2.4)9、
(2.4)10、
(2.2)11、在全部n級排列中,偶排列的個數(shù)為
(2.2)12、若排列1 2 7 4 i 5 6 k 9 是偶排列,則i= k=
(2.6)13、
(2.6)14、
(4.2)15、設(shè)A為5級方陣,且|A|=1,則|-2A|= 。
(4.2)16、設(shè)A為5級方陣,且|A|=2,則|-2A|= 。
(2.3)17、6級行列式中項a32 a43 a14 a51 a66 a25的符號為 。
(2.3)18、6級行列式中,項a43 a32 a51 a14 a26 a56的符號為 。
(2.4)19、
(2.4)20、
(2.5)21、△= 則△= 。
(2.5)22、△= 則△= 。
答案:
1、 2、-k 3、5 4、 a1a2a3a4 5、a1a2a3a4 6、-5 7、-1 8、0,9,a4+a3+a2+a1+1 10、a1+a2+a3+a4 11、 12、i=8,k=3 13、-4 14、-6 15、-32 16、-64 17、正 18、負(fù) 19、(b-a)(c-a)(c-b) 20、(b-a)(c-a)(c-b) 21、0 22、-3
判斷題
(2.4)1、若行列式中有兩行對應(yīng)元素互為相反數(shù),則行列式的值為0 ( )
(2.3)2、6級行列式中,項a32 a45 a51 a66 a25帶負(fù)號 ( )
(2.4)3、設(shè)d=則=d( )
(2.4)4、設(shè)d= 則( )
(2.3)5、 ( )
(2.3)6、 ( )
(2.3)7、 ( )
(2.4)8、 ( )
(2.4)9、 ( )
(2.3)10、若n級行列試D中等于零的元素的個數(shù)大于n2-n,則D=0 ( )
(4.2)11、設(shè)A為n級方陣:|A|=2 ,則|-3A|= -6 ( )
(4.2)12、設(shè)A為n級方陣:|A|=2,則|-A|=(-1)n2 ( )
(2.8)13、 ( )
(2.8)14、 ( )
(2.4)15、 ( )
(2.4)16、 ( )
(2.3)17、設(shè)D=則a3 b2 c1 d3是D的一項。( )
(2.3)18、設(shè)D=,則項a3 b4 d1 c2帶正號。( )
(2.3)19、如果行列式D的元素都是整數(shù),則D的值也是整數(shù)。( )
(2.3)20、如果行列D的元素都是自然數(shù),則D的值也是自然數(shù)。( )
(2.3)21、 ( )
(2.3)22、=n! ( )
答案:
1、√ 2、 3、 4、 5、√ 6、 7、√ 8、 9、√ 10、√ 11、 12、√ 13、√ 14、√ 15、√ 16、√ 17、 18、 19、√ 20、 21、 22、
單項選擇題
(2.2)1、排列n(n-1)…2 1 的逆序數(shù)為 ( )
A、n-1 B、 C、n D、
(2.2)2、如果排列i1i2…in的逆序數(shù)是k,則排列inin-1…l’2l’1的逆序數(shù)是 ( )
A、k B、n-k C、 D、
(2.2)3、關(guān)于n級排列i1i2…in,以下結(jié)論不正確的是( )
A、逆序數(shù)是一個非負(fù)整數(shù) B、一個對換改變其奇偶性
C、逆序數(shù)最大為n D、可經(jīng)若干次對換變?yōu)?2…n
(2.2)4、關(guān)于排列n(n-1)…2 1的奇偶性,以下結(jié)論正確的是 ( )
A、當(dāng)n為偶數(shù)時是偶排列
B、當(dāng)n為奇數(shù)時是奇排列
C、當(dāng)n=4m或n=4m+2時是偶排列
D、當(dāng)n=4m或n=4m+1時是偶排列,當(dāng)n=4m+2或n=4m+3時奇排列
(2.3)5、以下乘積是5級行列式的項,且符號為正的是( )
A、a31 a45 a12 a24 a53 B、a45 a54 a42 a12 a23
C、a53 a21 a45 a34 a12 D、a13 a34 a22 a45 a51
(2.3)6、以下乘積是( )
A、a3 b2 c1 d3 B、a3 b4 d1 c2 C、c2 b1 d3 c4 D、a1 b2 c3 d4
(2.4)7、設(shè)d=則= ( )
A、d B、-d C、(-1)nd D、(-1)n-1d
(2.4)8、設(shè)d如上,則= ( )
A、(-1)nd B、(-1)n-1d C、d D、-d
(2.4)9、設(shè)d如上則
A、d B、-d C、 D、(-1)n-1d
(2.6)10、中,5的代數(shù)余子式是 ( )
A、5 B、-5 C、-6 D、6
(2.6)11、中,-2的代數(shù)余子式是 ( )
A、 2 B、-2 C、4 D、-4
(2.4)12、= ( )
A、-3 B、0 C、3 D、1
(2.4)13、=( )
A、1 B、0 C、-1 D、
(2.3)14、=( )
A、n! B、 C、 D、(-1)n n!
(4.2)15、設(shè)A為n級方陣,且|A|=2,則|-3A|=( )
A、-6 B、6 C、2 (-3)n D、2n(-3)n
(4.2)16、設(shè)A為n級方程,且|A|=3,則|-2A|=( )
A、-6 B、6 C、(-2)3n D、(-2)n3
(4.2)17、設(shè)A為n級方陣,|A|=2,則|-A|= ( )
A、-2 B、(-1)n2 C、2 D、-2
(4.4)18、設(shè)A為n級方陣,A*是A的伴隨矩陣,則當(dāng)|A|= -2時|A*|=( )
A、2 B、-2 C、(-2)n D、(-2)n-1
(2.4)19、設(shè)=0,則x=( )
A、1 B、0 C、1或0 D、-1
(2.4)20、設(shè)=0,則 x= ( )
A、1或0 B、1 C、0 D、-1
(2.3)21、f(x)=中,x3的系數(shù)是 ( )
A、4 B、2 C、-1 D、1
(2.5)22、Dn==( )
A、an-1 B、an+1 C、an-2-1 D、an-an-2
(2.4)23、設(shè)D1=, =則D1與D2的關(guān)系為 ( )
A、D1= D2 B、D2=(abc)D1 C、 D、
(2.6)24、=( )
A、a4(a4-b2) B、a4(a4+b2) C、a4(a2-b2) D、a2(a2-b2)
(2.6)25、=( )
A、abcdef B、-abdf C、abdf D、edf
答案:
1、B 2、C 3、C 4、D 5、A 6、B 7、D 8、B 9、C 10、C 11、D 12、A 13、B 14、C 15、C 16、D 17、B 18、D 19、C 20、A 21、D 22、A 23、 24、D 25、B
計算題
(2.5)1、d=
解各列(行)加到第一列(行)后,各行(列)減去第一行(列) d=160
(2.5)2、d=
解按第一列(行)拆成兩個行列式之和 d=x2y2
(2.6)3、Dn=
解:按一行列(行)展開 Dn=an-2(a2-1)或由接拉普拉斯定理,按第1,n行(列)展開
(2.5)4、求x的值使+=0
左式==5x2(x-1) 故x=0 或x=1
(2.5)5、
解:各列各到第一列,(-1)n-1
(2.5)6、Dn=
解:各行(列)都加到第一行(列)后,各列(行)減去第一列(行)Dn=[x+(n-1)a](x-a)n-1
(2.6)7、Dn=
解:按第一列展開 Dn=an+(-1)n+1bn
(2.6)8、Dn+1=
解:從第2,3,n+1列分別提出a1,a2,…,an后,第一列減去各列Dn+1=a1 a2…an(a0-)
(2.6)9、Dn=
解:各行(列)減去第3行 Dn=6(n-3)!
(2.5)10、解關(guān)于x的方程
D(x)= =0, 其中ai≠aj i≠j a1≠0
解:D(x)==a1(a1-x)…(an-1-x) 所以x=a1,a2,an-1或者:因為D(ai)=0 i=1,…, n-1 所以,x=a1,a2, …,an-1
(2.5)11、Dn=
解從第二行起,各行減去上一行,得一范得蒙行列式Dn=(ai-aj)
(2.6)12、Dn=
解:按第一行展開Dn=3Dn-1-2Dn-2 Dn-Dn-1=2(Dn-1-Dn-2) 繼續(xù)下去,Dn-Dn-1=2n-2(D2-D1) D2-D1=22 Dn-Dn-1=2n又按第一列展開Dn=3Dn-1-2Dn-2
Dn-2Dn-1=Dn-1-2Dn-2=…D2-2D1=1 解得 Dn=2n+1-1
或用歸納法 D1=3=22-1 Dn=3Dn-1-2Dn-2=3(2n-1)-2(2n-1-1)=2n+1-1
(2.8)13、D2n=
解:由拉普拉期定理,按第n,n+1列展開得
證明題
(2.4)1、證明
證明:將第i行乘以
(2.5)2、證明
證明:按第一列拆成兩個行列式的和,再用逆堆法Dn=a1Dn-1+a2…an=a1Dn-1+
a1Dn-1=a1a2Dn-2+… a1a2…an-2D2=a1a2… an-1D1+ 各式相加得證。
(2.5)3、設(shè)b,a0,a1,…,an是n+2個互不相同的數(shù),且a0≠0
f(x)=證明(x-b,f(x))=1
證明:f(x)= =a0(x-ai) 因為b,a0, a1,…,an互不相同,且a0≠0 (x-b,x-ai)=1 所以(x-b,f(x))=1
(2.6)4、證明Dn+1==a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an
證明:按第一行展開Dn+1=aoxn+Dn繼續(xù)下去即得
(2.6)5、D(x)=其中ai≠a,i≠j,證明,D(x)是一個關(guān)于x的n-1次多項式,并求D(x)的根。
證明:因為展開式中每一項含且僅含第一行的一個元素,所以D(x)是一個關(guān)于x的n-1次多項式。D(x)是一個范得蒙行列式 D(x)= (x-ai)(ai-aj) D(an)=0 i=1,2,…,n所以d(x)的根為a1,a2,…,an
(2.7)6、設(shè)a1,a2,…,an是數(shù)域P中互不相同的數(shù),b1,b2,…,bn是數(shù)域P中任一組數(shù),證明,存在P上的唯一的多項式f(x)=Cn-1xn-1+Cn-2xn-2+…+C1x+C0
使得f(ai)=bi i=1,2,…,n
證明由f(ai)=bi,得一線性方組,其系數(shù)行列式是一范得蒙行列式,且為不0,從而有唯一解C0,C1,…Cn-1
(2.7)7、設(shè)a1,a2,…,an,是數(shù)域P中互不相同的數(shù),f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c是P上一個n-1次多項式,說明,如果f(ai)=0,i=1,2,…,n,則f(x)必為零多項式。
證明:由f(ai)=0,得一齊次線性方程組,其系數(shù)行列式為一范得蒙行列式,且不為0方程組只有零解,即C0,C1,…,Cn-1全為0,即f(x)為零多項式。
(2.7)8、證明Dn=
證明:按第一列展得Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2寫成Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)可推出Dn-aDn-1=bn-2(D2-aD1)=bn 同理有Dn-bDn-1=an,解得Dn=
(2.6)9、證明Dn=
證明Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2寫成Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)即Dn-aDn-1=bn同理Dn-bDn-1=an 由a≠b,消去Dn-1得Dn=
(2.6)10、證明Dn=
證明:將第一列的-x倍加到其他各列,再從第2,3,…,n列提出x后都加到第一列便得。
(2.7)11、證明Dn=
證明:Dn=5Dn-1-32Dn-2
寫成Dn-3Dn-1=3(Dn-1-3Dn-2)=2n
同理 Dn-2Dn-1=3n
解得Dn=3n+1-2n+1
(2.7)12、證明Dn=
證明:Dn=2Dn-1-Dn-2寫成Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2可得Dn-Dn-1=…D2-D1=1相加得Dn=n+1
第三章 線性方程組
填空
(3.3)1、一個向量線性無關(guān)的充要條件是這個向量為 。
(3.3)2、兩個非零n維向量線性相關(guān)的充要條件是它的 。
(3.3)3、秩為r的向量組中任意r+1個向量都線性 。
(3.3)4、線性無關(guān)的向量組中任意一部分向量都線性 。
(3.4)5、在秩為r的矩陣中,任意r+1級子式等于 。
(3.5)6、線性方程組AX=B有解的充要條件是 。
(3.4)7、當(dāng)λ= 時,齊次線性方程組有非零解。
(3.6)8、設(shè)線性方程組AX=B有解,并且AX=0的基礎(chǔ)解系為X1、X2,特解為X0,則AX=B的任一解可表為 。
(3.6)9、若n元齊次線性方程組AX=0滿足r(A)= r,則AX=0的基礎(chǔ)解系中有 個解向量。
(3.6)10、在線性方程組AX=B有解的條件下,解釋唯一的充分必要條件是AX=0
(3.4)11、矩陣A的秩為0的充要條件是A= 。
(3.4)12、設(shè)矩陣A中有一個r階子式不為0則r(A) , 設(shè)矩陣A中所有的r+1階子式全為0則r(A)
答案
1、非零向量 2、分量成比例 3、相關(guān) 4、無關(guān) 5、0 6、r(A)=r(AB) 7、2 8、x0+k1x1+k2x2( k1k2為任意數(shù)) 9、n-r 10、只有零解 11、0 12、≥r <r+1
判斷題。
(3.3)1、若向量組的秩為r,則其中任意r個向量都線性無關(guān)。( )
(3.3)2、若向量組的秩為r,則其中任意r+1個向量都線性相關(guān)。( )
(3.3)3、若兩個向量組等價,則它們含有相同個數(shù)的向量。( )
(3.3)4、當(dāng)a1=a2=…ar=0時,有a1α1+a2α2+…+arαr=0, 那么α1,α2,…,αr線性無關(guān)。( )
(3.3)5、若向量組α1,α2,…,αm中每一個向量都不是其余向量的線性組合,那么α1,α2,…,αm線性無關(guān)( )
(3.3)6、 若向量組α1,…,αr線性無關(guān),且αr+1不能由α1,…,αr線性表出,那么α1,…,αr,αr+1也線性無關(guān)( )
(3.3)7、若向量組α1,…,αr線性相關(guān),則它的任意一部分向量也線性相關(guān)。( )
(3.3)8、若向量組α1,…,αr線性無關(guān),則它的任意一部分向量也線性無關(guān)。( )
(3.4)9、在秩為r的矩陣中,一定存在不為0的r-1級子式。( )
(3.4)10、在秩為r的矩陣中,任意r+1級子式均為0。( )
(3.5)11、若線性方程組AX= B中,方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù),則AX=B一定有無窮多解。( )
(3.5)12、若線性方程組AX=B中方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù),則AX=B有唯一解。( )
(3.5)13、若線性方程組AX=B的方程的個數(shù)大于未知量的個數(shù),則AX=B一定無解。 ( )
(3.6)14、若線性方程組AX=B的導(dǎo)出組AX=0有窮多解,則AX=B有無窮多解。( )
(3.6)15、若線性方程組AX=B的導(dǎo)出組AX=0只有零解,則AX=B有唯一解。( )
(3.6)16、若矩陣A的行向量組線性無關(guān),則方程組AX=0只有零解。( )
(3.6)17、若矩陣A的列向量組線性無關(guān),則方程組AX=0只有零解。( )
(3.6)18、任意一個齊次線性方程組AX=0都有基礎(chǔ)解系。( )
(3.6)19、任意一個非齊次線性方程組AX=B都不存在基礎(chǔ)解系。( )
(3.6)20、若n元齊次線性方程組AX=0滿足r(A)=r<n則它有無窮多個基礎(chǔ)解系。( )
答案:
1、 2、√ 3、 4、 5、√ 6、√ 7、 8、√ 9、√ 10、√
11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、√ 18、 19、 √
20、√
單選
(3.3)1、若向量組α1,α2,…,αr線性相關(guān),則向量組內(nèi)( )可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出。
A、至少有一個向量 B、沒有一個向量 C、至多一個向量 D、任何一個向量
(3.3)2、向量組(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),
(1,2,1),(3,0,1)的秩為( )。
A、3 B、2 C、4 D、5
(3.3)3、設(shè)向量組α1=,α2=,α3=,α4=,則極大無關(guān)組為( )。
A、α1,α2 B、α1,α2,α3 C、α1,α2,α4 D、α1
(3.5)4、設(shè)A ,分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣,若這個方程組無解,則( )。
A、r(A)=r() B、r(A)<r() C、r(A)>r() D、r(A)=r()-1
(3.6)5、若線性方程組AX=B的導(dǎo)出組AX=0只有零解,則AX=B( )。
A、可能無解 B、有唯一解 C、有無窮多解 D、也只有零解
(3.5)6、以下結(jié)論正確的是( )
A、 方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)的線性方程組一定有解
B、 方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)的線性方程組一定有唯一解
C、 方程的個數(shù)大于未知量的個數(shù)的線性方程組一定有無窮多解
D、A、B、C均不對
(3.3)7、以下結(jié)論正確的是( )
A、 對向量組α1,α2,…αr,若k1α1+k2α2+…+krαr=0就有k1=k2=…kr=0,則稱α1,α2,…,αr線性無關(guān)
B、 若有一組不全為0的數(shù)λ1,λ2,…,λr使λ1α1+λ2α2+…,λrαr≠0,則向量組α1,α2,…,αr線性無關(guān)
C、 若α1,…, αr線性相關(guān),則其中每一個向量都可由其余向量線性表出。
D、 若有全為0的數(shù)k1=k2=…=kr=0使k1α1+k2α2+ …+krαr=0,則α1, α2,…,αr線性無關(guān)。
(3.5)8、設(shè)線性方程組AX=B的一般解為(x3是自由未知量),則( )
A、 只有令x3=0才能求出AX=B的特解。 B、令x3=1求得特解為
C、令x3=2求得特解為 D、令x3=0求得特解為
(3.6)9、設(shè)A為nn矩陣,且齊次線性方程組AX=0只有零解,則對任意n維列向量B,方程組AX=B( )
A、有無窮多解 B、無解 C、有唯一解 D、只有零解
(3.6)10、設(shè)齊次線性方程組AX=0有無窮多解,則對任意n維列向量B,方程組AX=B
( )
A、有無窮多解 B、可能無解 C、有唯一解 D、只有零解
答案:
1、A 2、A 3、B 4、D 5、A 6、D 7、A 8、C 9、C 10、B
計算題(解答題)
(3.6)1、問向量組α1=(1,-2,1,0,0) ,α2 =(0,0,-1,1,0) ,α3=(4,0,0,-6,2) 是不是齊次線性方程組① 的一個基礎(chǔ)解系?為什么?
解答:
是基礎(chǔ)解系。
∵可驗證①的系數(shù)矩陣的秩為2,∴基礎(chǔ)解系中含有3個解向量,又易知α1,α2,α3是①的3個線性無關(guān)的解,故α1,α2,α3可作為①的基礎(chǔ)解系。
(3.6)2、問向量組α1=(1,-2,1,0,0) ,α2=(0,0,1,-1,0) ,α3=(1,-2,3,-2,0)是不是齊次線性方程組
① 的一個基礎(chǔ)解系?為什么?
解答:
不是基礎(chǔ)解系
∵α3=α1+2α2 ∴α1,α2,α3線性相關(guān)。
(3.5)3、λ為何值時,下列方程組有解?有解時,求出解。
解答:
由 →→
可得λ=5時有解,且它的一般解為
x1,x4為自由未知量。
(3.6)4、用線性方程組的特解及導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示出一般解。
解答:
由→→→→
可得導(dǎo)出組為, 基礎(chǔ)解系為α=, 特解為γ0=, 所以一般解為γ0+kα。(k為任意數(shù))
(3.3)5、試判斷向量組
α1=(4,3,-1,1,-1)
α2=(2,1,-3,2,-5)
α3=(1,-3,0,1,-2)
α4=(1,5,2,-2,6)
的線性相關(guān)性。
解答:
設(shè)有x1,x2,x3,x4,使得 x 1α1+x2α2+x3 +x4α4=0
則由
,可得α1,α2,α3,α4線性相關(guān)。
證明題
(3.3)1、設(shè)在向量組α1,α2,…,αm中α1≠0,且每一個αi(i=2,…,m)都不能由α1,α2,…,αi-1線性表出,證明:此向量組線性無關(guān)。
證明:設(shè)有等式k1α1 +k2α2+…+kmαm=0, ∵αm不能由α1,…,αm-1線性表出,∴km=0。上式為k1α1+…+km-1αm-1=0,同理,αm-1不能由α1,…,αm-2線性表出,故km-1=0。依此類推最后得k1α1=0,又α1≠0,k1=0,因此α1,α2,…,αm線性無關(guān)。
(3.3)2、設(shè)向量β可由向量組α1,α2,…αr線性表出,但不能由α1,α2,…,αr-1線性表出,證明:αr能由α1,…,αr-1,β線性表出,但不能由α1,…,αr-1線性表出。
證明:由題設(shè)
β=K1α1+K2α2+…+Krαr,但β不能由α1,…,αr-1線性表出,∴Kr≠0αr可由α1,…,αr-1,β線性表出。假設(shè)αr可由α1,α2,…,αr-1線性表出,即αr=a1α2+…+ar-1αr-1把它代入β= K1α1+K2α2+…+Krαr整理得β可由α1,…,αr-1線性表出。矛盾。
(3.3)3、設(shè)α1,α2,…,αn線性無關(guān),且β=α1+α2+…+αn(n>1)證明:β-α1,β-α2,…,β-αn也線性無關(guān)。
證明:設(shè)有等式
K1(β-α1)+K2(β-α2)+…+Kn(β-αn)=0即
(K2+…+Kn)α1+( K1+K3…+Kn) α2+…+(k1+…+kn-1)αn=0
∵α1, α2,…, αn線性無關(guān),∴得
系數(shù)行列式
∴齊次線性方程組只有零解,即K1=K2=…=Kn=0,故β-α1 ,β-α2,…,β-αn線性無關(guān)。
(3.5)4、設(shè)n階行列式≠0
證明線性方程組無解。
證明:∵行列式≠0, ∴方程組的增廣矩陣的秩為n,但方程組中只有n-1個未知量,∴系數(shù)矩陣的秩≤n-1,即系數(shù)矩陣的秩≠增廣矩陣的秩,∴方程組無解。
(3.6)5、設(shè)齊次線性方程組
的系數(shù)行列式D=0,而D中某一元素aij的代數(shù)余子式Aij≠0,證明:這個方程組的每一解都可寫成(kAi1,kAi2,…,kAin)的形式,這里k為任意數(shù)。
證明:∵D=0,∴所給齊次線性方程組有非零解,又∵某一元素aij的代數(shù)余子式Aiy≠0,∴系數(shù)矩陣的秩為n-1,因此基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量。
由ak1Ai1+ ak2Ai2+…+ aknAin=,可得(Ai1,Ai2,…,Ain)為其一個解,又Aij≠0,∴它是一個非0解,于是(Ai1,Ai2,…,Ain)可作為基礎(chǔ)解系,∴這個方程組的任一解都可寫成(KAi1,KAi2,…,KAin)的形式。(K為任意數(shù))
(3.6)6、設(shè)線性方程組AX=B有解
證明:AX=B有唯一解的充要條件是導(dǎo)出組AX=0只有零解。
證明:
必要性:若導(dǎo)出組有非零解,那么這個解與原方程組AX=B的一個解的和是其另一個解,∴AX=B不止一個解。
充分性:若AX=B有兩個不同的解,那么它們的差是導(dǎo)出組AX=0的一個非零解,∴若導(dǎo)出組只有零解,那么AX=B有唯一解。
第四章 矩陣
填空。
(4.3)1、設(shè)A為n階方陣,則|-2A|= |A|。
(4.3)2、設(shè)A,B為兩個三階方陣,且|A|= -1,|B|=2,那么|(A′B-1)2|= 。
(4.2)3、若A+BC-X=2E,則X= 。
(4.2)4、設(shè)A=, B=, 則(A+B′)′= 。
(4.2)5、設(shè)A,B是可逆矩陣,則矩陣方程C+A′XB=D的解X= 。
(4.4)6、設(shè)A=
(4.5)7、設(shè)A,B是兩個可逆矩陣,則
(4.4)8、設(shè)A=
(4.4)9、設(shè)A=
(4.4)10、設(shè)A可逆,則數(shù)乘矩陣KA可逆的充要條件是 。
(4.4)11、設(shè)|A|=a≠0,則|A-1|= 。
(4.4)12、設(shè)A,B為n階可逆矩陣,則(AB)-1= 。
答案:
1、(-2)n 2、 3、A+BC-2E 4、 5、(A′)-1(D-C)B-1
6、 7、 8、 9、 10、K≠0
11、 12、B-1A-1
判斷題
(4.4)1、若A,B都不可逆,則A+B也不可逆。 ( )
(4.4)2、若A,B都可逆,則A+B也可逆。 ( )
(4.4)3、若AB可逆,則A,B都可逆。( )
(4.4)4、若AB不可逆,則A,B都不可逆。 ( )
(4.2)5、對任意矩陣A,A′A是對稱矩陣。 ( )
(4.3)6、四階矩陣A的所有元素都不為0,則r(A)=4。 ( )
(4.2)7、2A-AB=A(2-B) 。 ( )
(4.3)8、|A+B|=|A|+|B| 。 ( )
(4.2)9、若AB=0,則A=0或B=0。 ( )
(4.2)10、若AB=0,且A≠0,則B=0。 ( )
(4.2)11、若AB=AC,且A≠0,則B=C 。 ( )
(4.4)12、若AB=AC,且|A|