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《高等代數(shù)》（上）題庫 第一章 多項式 填空題 (1.7)1、設用x-1除f(x)余數(shù)為5，用x+1除f(x)余數(shù)為7，則用x2-1除f(x)余數(shù)是 。 (1.5)2、當p(x)是 多項式時，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 (1.4)3、當f(x)與g(x) 時，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、設f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余數(shù)為3，用x-1除余數(shù)為5，那么a= b 。 (1.7)5、設f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余數(shù)為3，則k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，則a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。 (1.8)8、以l為二重根，2，1+i為單根的次數(shù)最低的實系數(shù)多項式為f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一個根，則f(x)的全部根是 。 (1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 則 。 (1.5)11、設p(x)是不可約多項式，p(x)|f(x)g(x),則 。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，則 。 (1.5)13、設p(x)是不可約多項式，f(x)是任一多項式，則 。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，則 。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，則 。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，則 。 (1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且 則p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),則 。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要條件是 。 (1.7)20、f(x)沒有重根的充分必要條件是 。 答案 1、-x+6 2、不可約 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=2 8、x5-6x4+15x3-20x2+14x-4 9、1-i,1+i 1+,1- 10、(f(x)h(x),g(x))=1 11、p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1 14、f(x)|h(x) 15、f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可約多項式 18、f(x)|g(x)且f(x)|h(x) 19、x-α|f(x) 20、(f(x),f’(x))=1 判斷并說明理由 (1.1)1、數(shù)集是數(shù)域（ ） (1.1)2、數(shù)集是數(shù)域 （ ） (1.3)3、若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x),則f(x)|h(x) ( ) (1.3)4、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),則f(x)|h(x) （ ） (1.4)5、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，則g(x)h(x)|f(x) （ ） (1.4)6、若（f(x)g(x),h(x)）=1,則（f(x),h(x)）=1 (g(x),h(x))=1 ( ) 7、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),則(f(x),h(x))=1 ( ) (1.6)8、設p(x)是數(shù)域p上不可約多項式，那么如果p(x)是f(x)的k重因式，則p(x)是f(x)的k-1重因式。 （ ） (1.9)9、如果f(x)在有理數(shù)域上是可約的，則f(x)必有有理根。（ ） (1.9)10、f(x)=x4-2x3+8x-10在有理數(shù)域上不可約。（ ） (1.1)11、數(shù)集是數(shù)域 （ ） (1.1)12、數(shù)集是數(shù)域 （ ） (1.3)13、若f(x)|g(x)h(x)，則f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) (1.3)14、若f(x)|g(x),f(x)|h(x)，則f(x)|g(x)h(x) ( ) (1.3)15、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，則f(x)|g(x)且f(x)|h(x) ( ) (1.4)16、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),則d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ） (1.6)17、若p(x)是f’(x)內的k重因式，則p(x)是f(x)的k+1重因式（ ） (1.7)18、如果f(x)沒有有理根，則它在有理數(shù)域上不可約。（ ） (1.8)19、奇次數(shù)的實系數(shù)多項式必有實根。（ ） (1.9)20、 f(x)=x6+x3+1在有理數(shù)域上可約。（ ） 答案：1、√ 2、 3、 4、√ 5、 6、√ 7、 8、√ 9、 10、√11、√ 12、 除法不封閉 13、 當f(x)是不可約時才成立 14、 如f(x)=x2，g(x)=h(x)=x時 不成立 15、√ 16、 17、如f(x)=xk+1+1 18、19、√虛根成對 20、 變形后用判別法知 不可約 選擇題 (1.1)1、以下數(shù)集不是數(shù)域的是（ ） A、，i2= -1 B、 ，i2= -1 C、 D、 (1.3)2、關于多項式的整除，以下命題正確的是 （ ） A、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x)則f(x)|h(x) B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),則g(x)h(x)|f(x) C、若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，則/ f(x)|h(x) D、若f(x)|g(x)，f(x)|h(x)，則f(x)|g(x)h(x) (1.4)3、關于多項式的最大公因式，以下結論正確的是 （ ） A、若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,則（f(x),h(x)）=1 B、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，則d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式 C、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x)，則d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式 D、若(f(x)g(x),h(x))=1，則(f(x),h(x))=1且(g(x),h(x))=1（ ） (1.7)4、關于多項式的根，以下結論正確的是 （ ） A、如果f(x)在有理數(shù)域上可約，則它必有理根。 B、如果f(x)在實數(shù)域上可約，則它必有實根。 C、如果f(x)沒有有理根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約。 D、一個三次實系數(shù)多項式必有實根。 (1.6)5、關于多項式的重因式，以下結論正確的是（ ） A、若f(x)是f’(x)的k重因式，則p(x) 是f(x)的k+1重因式 B、若p(x)是f(x)的k重因式，則p(x) 是f(x)，f’(x)的公因式 C、若p(x)是f’(x)的因式，則p(x)是f(x)的重因式 D、若p(x)是f(x)的重因式，則p(x)是的單因式 (1.7)6、關于多項式的根，以下結論不正確的是 （ ） A、α是f(x)的根的充分必要條件是x-α|f(x) B、若f(x)沒有有理根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約 C、每個次數(shù)≥1的復數(shù)系數(shù)多項式，在復數(shù)域中有根 D、一個三次的實系數(shù)多項式必有實根 (1.7)7、設f(x)=x3-3x+k有重根，那么k=（ ） A、1 B、-1 C、2 D、0 (1.9)8、設f(x)=x3-3x2+tx-1是整系數(shù)多項式，當t=( )時，f(x)在有理數(shù)域上可約。 A、1 B、0 C、-1 D、3或-5 (1.9)9、設f(x)=x3-tx2+5x+1是整系數(shù)多項式，當t=（ ）時，f(x)在有理數(shù)域上可約。 A、t=7或3 B、1 C、-1 D、0 (1.9)10、設f(x)=x3+tx2+3x-1是整系數(shù)多項式，當t=( )時，f(x)在有理數(shù)域上可約。 A、1 B、-1 C、0 D、5或-3 (1.5)11、關于不可約多項式p(x),以下結論不正確的是（ ） A、若p(x)|f(x)g(x)，則p(x)|f(x)或p(x)|g(x) B、若q(x)也是不可約多項式，則（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) c≠0 C、p(x)是任何數(shù)域上的不可約多項式 D、p(x)是有理數(shù)域上的不可約多項式 (1.9)12、設f(x)=x5+5x+1，以下結論不正確的是（ ） A、f(x)在有理數(shù)域上 不可約 B、f(x)在有理數(shù)域上 可約 C、f(x)有一實根 D、f(x)沒有有理根 (1.9)13、設f(x)=xp+px+1,p為奇素數(shù)，以下結論正確的是 （ ） A、f(x)在有理數(shù)域上 不可約 B、f(x)在有理數(shù)域上 可約 C、f(x)在實數(shù)域上 不可約 D、f(x)在復數(shù)域上 不可約 答案： 1、B 2、C 3、D 4、D 5、D 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 11、C 12、B 13、A 計算題 (1.3)1、求m，p的值使 x2+3x+2|x4-mx2-px+2 解：用帶余除法 求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即 求得m= -6 p=3 (1.6)2、判斷f(x)=x4-6x2+8x-3有無重因式，如果有，求其重數(shù) 解：f’(x)=4x3-12x+8 (f(x),f’(x))=(x-1)2 x-1是f(x)的三重因式 (1.7)3、設f(x)=x4-3x3+6x2-10x+16, C=3，求f(c) 解：用綜合除法求得f(c)=40 (1.7)4、決是t的值，使f(x)=x3-3x2+tx-1 有重根 解J：由輾轉除法使（f(x),f’(x)）≠求得t=3 或t=當t=3時 f(x)有三重根1 當t=時，f(x)有二重根- (1.9)5、設f(x)=x5+x4-2x3-x2-x+2，求f(x)的有理根，并寫出f(x)在實數(shù)域和復數(shù)域上的標準分解式。 解：有理根是1（二重），2 實數(shù)域上分解式為f(x)=(x-1)2(x+2)(x2+x+1) 復數(shù)域上分解式為f(x)=(x-1)2(x+2)(x+-i)(x+ (1.9)6、求f(x)=4x4-7x2-5x+1的有理根，并寫出f(x)在有理數(shù)域上的標準分解式。 解：有理根為（二重）分解式為f(x)=4(x+)2(x2-x-1) (1.9)7、求f(x)=x5+x4-6x3-14x2-11x-3的有理根，并寫出f(x)在復數(shù)域上的標準分解式 解：有理根為－1（四重）3，分解式f(x)=(x+1)4(x-3) (1.8)8、已知i, z-i 是f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5的兩個根，求f(x)的全部根 解：全部根為 i,-i,2-i,2+i, (1.8)9、求以1-i, i為根的次數(shù)最低的復系數(shù)多項式f(x) 解：f(x)=x2-x+(1+i) (1.8)10、求以1為二重根，1=I為單根的次數(shù)最低近的實系數(shù)多項式f(x). 解：f(x)=x4-4x3-x2-6x+2 (1.8)11、已知1-i是f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2的根，求f(x)的全部根。 解：全部根為1+i,1-i,1+,1- 證明題 (1.3)1、試證用x2-1除f(x)所得余式為 證明：設余式為ax+b，則有f(x)=(x2-1)q(x)+ax+b f(1)=a+b ,f(-1)=-a+b 求得a= (1.3)2、證明，h(x)(f(x),g(x))=(f(x)h(x),g(x)h(x))，其中h(x)是首項系數(shù)為1的多項式。 證明：設（f(x),g(x)）=d(x) ，則h(x)d(x)|h(x)f(x) h(x)d(x)|h(x)g(x)，又存在u(x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d有h(x)f(x)u(x)+h(x)g(x)v(x)=h(x)g(x)于是 h（x）d(x)=(h(x)f(x),h(x)g(x)) (1.4)3、證明，如果f(x)|g(x)h(x),且(f(x),g(x))=1，則f(x)|h(x) 證明：由(f(x),g(x))=1,存在u(x),v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1,從而f(x)u(x)h(x)+g(x)v(x)h(x)=h(x),f(x)|g(x)h(x),f(x)h(x) 所以f(x)|h(x) (1.4)4、證明，（f(x)+g(x),f(x)-g(x)）=(f(x),g(x)) 證明：(f(x)+g(x))=d(x) 則d(x)|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x) 設d1(x) 是f(x)+g(x),f(x)-g(x)r的任一公因式 則d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x) d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x) 故d1(x)|f(x),d1(x)|g(x),從而d1(x)|d(x) 得證 (1.5)5、證明，g(x)|f(x)的充分必要條件是g2(x)|f2(x) 證明：設f(x)=g(x)h(x), 則f2(x)=g2(x)h2(x)即g2(x)|f(x) 反之，設g2(x)|f2(x),將f(x),g(x)分解f(x)= aP1l1(x)…psls(x),g(x)=bp1r1(x)…psrs(x) 其中，li ri為非負整數(shù)，pi(x)為互不相同的可約多項式那么f2(x)=a2p12l1(x)…ps2ls(x),g2(x)=b2p12r1(x)…ps2rs(x) 由g2(x)|f2(x),必有2ri≤2li,即ri≤li于是g(x)|f(x)。 (1.7)6、設f(x)=anxn+an-1xn-1…+a1x+a0有n個非零根，α1α2αn，證明 g（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的n個根。 證明：設α為f(x)的任非零根，則 f(α)=anαn+an-1αn-1+…+a1α+ao=0 g()=a0()n+a1()n-1+…an-1()+an=()n(anαn+an-1αn-1+…+a1α+ao)=0所以 (1.5)7、設p(x)是次數(shù)大于零的多項式，如果對任意多項式f(x)，g(x)，由p(x|f(x)g(x)，可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，那么p(x)是不可約多項式 證明：假設p(x)是可約的，設p(x)=p1(x)p2(x) 其中 (p1 (x)) < (p(x)), (p2(x))< (p(x)) 顯然p(x)|p1(x)p2(x) 但p(x)|P1(x), p(x)|p2(x) 這與題設矛盾，即p(x)是不可約的。 (1.5) 8、設p(x)是數(shù)域p上不可約多項式，f(x)是p上任一多項式，那么p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1 證明：設（p(x),f(x)）=d(x) 則d(x)|p(x) 由p(x)不可約，知d(x)=cp(x)， c≠0，或d(x)=1 當d(x)=cp(x)時，就有p(x)|f(x) (1.5)9、設p(x),q(x)是數(shù)域p上兩個不可約多項式，證明（p(x)q(x)=1或p(x)=(q(x)) c≠證明：因p(x),q(x)皆不可約，故有(p(x),q(x))=1 或p(x)|q(x)且q(x)|p(x)即p(x)=cq(x) (1.7)10、證明，如果x2+x+1|f1(x3)+xf2(x3)那么x-1|f1(x), x-1|f2(x) 證明：x3-1=(x-1)(x2+x+1) 設ω1,ω2是x2+x+1的根，則有ω31=1，ω32=1，且ω1,ω2為f1(x3)+xf2(x3)的根，那么有 f1(1)+ω1f2(1)=0 f1(1)+ω2f2(1)=0 因ω1≠ω2 解得f1(1)=0 f2(1)=0 即 x-1|f1(x), x-1|f2(x) (1.9)11、設f(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0是整系數(shù)多項式證明，如果a0，an均為奇數(shù)，f(1)，f(-1)中至少有一個為奇數(shù)，那么f(x)無有理根 證明：若f(x)有有理根，（u,v互素），則v|an u|a0,知u,v均為奇數(shù)，由u-v|f(1)，u+v|f(-1)知f(1),f(-1)均為偶數(shù)，這與題設矛盾，所以f(x)無有理根。 第二章 行列式 填空題 (2.2)1、n級排列u(n-1)…2 1的逆序數(shù)是 。 (2.2)2、如果排列i1’i2’…in的逆序數(shù)是k,則排列in’n-1…l’2l’1的逆序數(shù)是 。 (2.4)3、 (2.3)4、 (2.3)5、 (2.3)6、 (2.3)7、 (2.4)8、若行列式中每一行元素之和都等于零，則行列式的值為 。 (2.4)9、 (2.4)10、 (2.2)11、在全部n級排列中，偶排列的個數(shù)為 (2.2)12、若排列1 2 7 4 i 5 6 k 9 是偶排列，則i= k= (2.6)13、 (2.6)14、 (4.2)15、設A為5級方陣，且|A|=1,則|-2A|= 。 (4.2)16、設A為5級方陣，且|A|=2,則|-2A|= 。 (2.3)17、6級行列式中項a32 a43 a14 a51 a66 a25的符號為 。 (2.3)18、6級行列式中，項a43 a32 a51 a14 a26 a56的符號為 。 (2.4)19、 (2.4)20、 (2.5)21、△= 則△= 。 （2.5）22、△= 則△= 。 答案： 1、 2、-k 3、5 4、 a1a2a3a4 5、a1a2a3a4 6、-5 7、-1 8、0，9，a4+a3+a2+a1+1 10、a1+a2+a3+a4 11、 12、i=8,k=3 13、-4 14、-6 15、-32 16、-64 17、正 18、負 19、(b-a)(c-a)(c-b) 20、(b-a)(c-a)(c-b) 21、0 22、-3 判斷題 (2.4)1、若行列式中有兩行對應元素互為相反數(shù)，則行列式的值為0 （ ） (2.3)2、6級行列式中，項a32 a45 a51 a66 a25帶負號 （ ） (2.4)3、設d=則=d（ ） (2.4)4、設d= 則（ ） (2.3)5、 ( ) (2.3)6、 （ ） (2.3)7、 （ ） (2.4)8、 （ ） (2.4)9、 （ ） (2.3)10、若n級行列試D中等于零的元素的個數(shù)大于n2-n，則D=0 （ ） (4.2)11、設A為n級方陣：|A|=2 ，則|-3A|= -6 ( ) (4.2)12、設A為n級方陣：|A|=2，則|-A|=(-1)n2 （ ） (2.8)13、 （ ） (2.8)14、 （ ） (2.4)15、 （ ） (2.4)16、 （ ） (2.3)17、設D=則a3 b2 c1 d3是D的一項。（ ） (2.3)18、設D=，則項a3 b4 d1 c2帶正號。（ ） (2.3)19、如果行列式D的元素都是整數(shù)，則D的值也是整數(shù)。（ ） (2.3)20、如果行列D的元素都是自然數(shù)，則D的值也是自然數(shù)。（ ） (2.3)21、 （ ） (2.3)22、=n！ （ ） 答案： 1、√ 2、 3、 4、 5、√ 6、 7、√ 8、 9、√ 10、√ 11、 12、√ 13、√ 14、√ 15、√ 16、√ 17、 18、 19、√ 20、 21、 22、 單項選擇題 (2.2)1、排列n(n-1)…2 1 的逆序數(shù)為 （ ） A、n-1 B、 C、n D、 (2.2)2、如果排列i1i2…in的逆序數(shù)是k,則排列inin-1…l’2l’1的逆序數(shù)是 （ ） A、k B、n-k C、 D、 (2.2)3、關于n級排列i1i2…in,以下結論不正確的是（ ） A、逆序數(shù)是一個非負整數(shù) B、一個對換改變其奇偶性 C、逆序數(shù)最大為n D、可經(jīng)若干次對換變?yōu)?2…n (2.2)4、關于排列n(n-1)…2 1的奇偶性，以下結論正確的是 （ ） A、當n為偶數(shù)時是偶排列 B、當n為奇數(shù)時是奇排列 C、當n=4m或n=4m+2時是偶排列 D、當n=4m或n=4m+1時是偶排列，當n=4m+2或n=4m+3時奇排列 (2.3)5、以下乘積是5級行列式的項，且符號為正的是（ ） A、a31 a45 a12 a24 a53 B、a45 a54 a42 a12 a23 C、a53 a21 a45 a34 a12 D、a13 a34 a22 a45 a51 (2.3)6、以下乘積是（ ） A、a3 b2 c1 d3 B、a3 b4 d1 c2 C、c2 b1 d3 c4 D、a1 b2 c3 d4 (2.4)7、設d=則= （ ） A、d B、-d C、(-1)nd D、(-1)n-1d (2.4)8、設d如上，則= （ ） A、(-1)nd B、(-1)n-1d C、d D、-d (2.4)9、設d如上則 A、d B、-d C、 D、(-1)n-1d (2.6)10、中，5的代數(shù)余子式是 （ ） A、5 B、-5 C、-6 D、6 (2.6)11、中，-2的代數(shù)余子式是 （ ） A、 2 B、-2 C、4 D、-4 (2.4)12、= ( ) A、-3 B、0 C、3 D、1 (2.4)13、=（ ） A、1 B、0 C、-1 D、 (2.3)14、=（ ） A、n! B、 C、 D、(-1)n n! (4.2)15、設A為n級方陣，且|A|=2，則|-3A|=（ ） A、-6 B、6 C、2 (-3)n D、2n（-3）n (4.2)16、設A為n級方程，且|A|=3，則|-2A|=（ ） A、-6 B、6 C、(-2)3n D、(-2)n3 (4.2)17、設A為n級方陣，|A|=2,則|-A|= （ ） A、-2 B、(-1)n2 C、2 D、-2 (4.4)18、設A為n級方陣，A*是A的伴隨矩陣，則當|A|= -2時|A*|=（ ） A、2 B、-2 C、（-2）n D、（-2）n-1 (2.4)19、設=0，則x=（ ） A、1 B、0 C、1或0 D、-1 (2.4)20、設=0，則 x= （ ） A、1或0 B、1 C、0 D、-1 (2.3)21、f(x)=中，x3的系數(shù)是 （ ） A、4 B、2 C、-1 D、1 (2.5)22、Dn==( ) A、an-1 B、an+1 C、an-2-1 D、an-an-2 (2.4)23、設D1=， =則D1與D2的關系為 （ ） A、D1= D2 B、D2=（abc）D1 C、 D、 (2.6)24、=（ ） A、a4(a4-b2) B、a4(a4+b2) C、a4(a2-b2) D、a2(a2-b2) (2.6)25、=（ ） A、abcdef B、-abdf C、abdf D、edf 答案： 1、B 2、C 3、C 4、D 5、A 6、B 7、D 8、B 9、C 10、C 11、D 12、A 13、B 14、C 15、C 16、D 17、B 18、D 19、C 20、A 21、D 22、A 23、 24、D 25、B 計算題 (2.5)1、d= 解各列（行）加到第一列（行）后，各行（列）減去第一行（列） d=160 (2.5)2、d= 解按第一列（行）拆成兩個行列式之和 d=x2y2 (2.6)3、Dn= 解：按一行列（行）展開 Dn=an-2(a2-1)或由接拉普拉斯定理，按第1，n行（列）展開 (2.5)4、求x的值使+=0 左式==5x2(x-1) 故x=0 或x=1 (2.5)5、 解：各列各到第一列，（-1）n-1 (2.5)6、Dn= 解：各行（列）都加到第一行（列）后，各列（行）減去第一列（行）Dn=[x+(n-1)a](x-a)n-1 (2.6)7、Dn= 解：按第一列展開 Dn=an+(-1)n+1bn (2.6)8、Dn+1= 解：從第2，3，n+1列分別提出a1,a2，…，an后，第一列減去各列Dn+1=a1 a2…an(a0-) (2.6)9、Dn= 解：各行（列）減去第3行 Dn=6(n-3)! (2.5)10、解關于x的方程 D(x)= =0, 其中ai≠aj i≠j a1≠0 解：D（x）==a1(a1-x)…（an-1-x） 所以x=a1,a2，an-1或者：因為D（ai）=0 i=1，…, n-1 所以，x=a1,a2, …,an-1 (2.5)11、Dn= 解從第二行起，各行減去上一行，得一范得蒙行列式Dn=(ai-aj) (2.6)12、Dn= 解：按第一行展開Dn=3Dn-1-2Dn-2 Dn-Dn-1=2(Dn-1-Dn-2) 繼續(xù)下去，Dn-Dn-1=2n-2(D2-D1) D2-D1=22 Dn-Dn-1=2n又按第一列展開Dn=3Dn-1-2Dn-2 Dn-2Dn-1=Dn-1-2Dn-2=…D2-2D1=1 解得 Dn=2n+1-1 或用歸納法 D1=3=22-1 Dn=3Dn-1-2Dn-2=3(2n-1)-2(2n-1-1)=2n+1-1 (2.8)13、D2n= 解：由拉普拉期定理，按第n，n+1列展開得 證明題 (2.4)1、證明 證明：將第i行乘以 (2.5)2、證明 證明：按第一列拆成兩個行列式的和，再用逆堆法Dn=a1Dn-1+a2…an=a1Dn-1+ a1Dn-1=a1a2Dn-2+… a1a2…an-2D2=a1a2… an-1D1+ 各式相加得證。 (2.5)3、設b，a0，a1，…，an是n+2個互不相同的數(shù)，且a0≠0 f(x)=證明（x-b，f(x)）=1 證明：f(x)= =a0(x-ai) 因為b,a0, a1,…，an互不相同，且a0≠0 (x-b,x-ai)=1 所以(x-b，f(x))=1 (2.6)4、證明Dn+1==a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an 證明：按第一行展開Dn+1=aoxn+Dn繼續(xù)下去即得 (2.6)5、D（x）=其中ai≠a，i≠j，證明，D(x)是一個關于x的n-1次多項式，并求D(x)的根。 證明：因為展開式中每一項含且僅含第一行的一個元素，所以D（x）是一個關于x的n-1次多項式。D(x)是一個范得蒙行列式 D(x)= (x-ai)(ai-aj) D(an)=0 i=1,2,…,n所以d(x)的根為a1，a2，…，an (2.7)6、設a1，a2，…，an是數(shù)域P中互不相同的數(shù)，b1，b2，…，bn是數(shù)域P中任一組數(shù)，證明，存在P上的唯一的多項式f(x)=Cn-1xn-1+Cn-2xn-2+…+C1x+C0 使得f(ai)=bi i=1,2，…，n 證明由f(ai)=bi,得一線性方組，其系數(shù)行列式是一范得蒙行列式，且為不0，從而有唯一解C0,C1,…Cn-1 (2.7)7、設a1，a2，…，an，是數(shù)域P中互不相同的數(shù)，f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c是P上一個n-1次多項式，說明，如果f(ai)=0,i=1，2，…，n，則f(x)必為零多項式。 證明：由f(ai)=0，得一齊次線性方程組，其系數(shù)行列式為一范得蒙行列式，且不為0方程組只有零解，即C0，C1，…，Cn-1全為0，即f(x)為零多項式。 (2.7)8、證明Dn= 證明：按第一列展得Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2寫成Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)可推出Dn-aDn-1=bn-2(D2-aD1)=bn 同理有Dn-bDn-1=an，解得Dn= (2.6)9、證明Dn= 證明Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2寫成Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)即Dn-aDn-1=bn同理Dn-bDn-1=an 由a≠b，消去Dn-1得Dn= (2.6)10、證明Dn= 證明：將第一列的-x倍加到其他各列，再從第2,3，…，n列提出x后都加到第一列便得。 (2.7)11、證明Dn= 證明：Dn=5Dn-1-32Dn-2 寫成Dn-3Dn-1=3(Dn-1-3Dn-2)=2n 同理 Dn-2Dn-1=3n 解得Dn=3n+1-2n+1 (2.7)12、證明Dn= 證明：Dn=2Dn-1-Dn-2寫成Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2可得Dn-Dn-1=…D2-D1=1相加得Dn=n+1 第三章 線性方程組 填空 (3.3)1、一個向量線性無關的充要條件是這個向量為 。 (3.3)2、兩個非零n維向量線性相關的充要條件是它的 。 (3.3)3、秩為r的向量組中任意r+1個向量都線性 。 (3.3)4、線性無關的向量組中任意一部分向量都線性 。 (3.4)5、在秩為r的矩陣中，任意r+1級子式等于 。 (3.5)6、線性方程組AX=B有解的充要條件是 。 (3.4)7、當λ= 時，齊次線性方程組有非零解。 (3.6)8、設線性方程組AX=B有解，并且AX=0的基礎解系為X1、X2,特解為X0，則AX=B的任一解可表為 。 (3.6)9、若n元齊次線性方程組AX=0滿足r(A)= r，則AX=0的基礎解系中有 個解向量。 (3.6)10、在線性方程組AX=B有解的條件下，解釋唯一的充分必要條件是AX=0 (3.4)11、矩陣A的秩為0的充要條件是A= 。 (3.4)12、設矩陣A中有一個r階子式不為0則r(A) ， 設矩陣A中所有的r+1階子式全為0則r(A) 答案 1、非零向量 2、分量成比例 3、相關 4、無關 5、0 6、r(A)=r(AB) 7、2 8、x0+k1x1+k2x2( k1k2為任意數(shù)) 9、n-r 10、只有零解 11、0 12、≥r ＜r+1 判斷題。 (3.3)1、若向量組的秩為r，則其中任意r個向量都線性無關。（ ） (3.3)2、若向量組的秩為r，則其中任意r+1個向量都線性相關。（ ） (3.3)3、若兩個向量組等價，則它們含有相同個數(shù)的向量。（ ） (3.3)4、當a1=a2=…ar=0時，有a1α1+a2α2+…+arαr=0, 那么α1,α2,…,αr線性無關。（ ） (3.3)5、若向量組α1,α2,…,αm中每一個向量都不是其余向量的線性組合，那么α1,α2,…,αm線性無關（ ） (3.3)6、 若向量組α1,…,αr線性無關，且αr+1不能由α1,…,αr線性表出，那么α1,…,αr,αr+1也線性無關（ ） (3.3)7、若向量組α1，…，αr線性相關，則它的任意一部分向量也線性相關。（ ） (3.3)8、若向量組α1，…，αr線性無關，則它的任意一部分向量也線性無關。（ ） (3.4)9、在秩為r的矩陣中，一定存在不為0的r-1級子式。（ ） (3.4)10、在秩為r的矩陣中，任意r+1級子式均為0。（ ） (3.5)11、若線性方程組AX= B中，方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，則AX=B一定有無窮多解。（ ） (3.5)12、若線性方程組AX=B中方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)，則AX=B有唯一解。（ ） (3.5)13、若線性方程組AX=B的方程的個數(shù)大于未知量的個數(shù)，則AX=B一定無解。 （ ） (3.6)14、若線性方程組AX=B的導出組AX=0有窮多解，則AX=B有無窮多解。（ ） (3.6)15、若線性方程組AX=B的導出組AX=0只有零解，則AX=B有唯一解。（ ） (3.6)16、若矩陣A的行向量組線性無關，則方程組AX=0只有零解。（ ） (3.6)17、若矩陣A的列向量組線性無關，則方程組AX=0只有零解。（ ） (3.6)18、任意一個齊次線性方程組AX=0都有基礎解系。（ ） (3.6)19、任意一個非齊次線性方程組AX=B都不存在基礎解系。（ ） (3.6)20、若n元齊次線性方程組AX=0滿足r(A)=r＜n則它有無窮多個基礎解系。（ ） 答案： 1、 2、√ 3、 4、 5、√ 6、√ 7、 8、√ 9、√ 10、√ 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、√ 18、 19、 √ 20、√ 單選 (3.3)1、若向量組α1,α2,…,αr線性相關，則向量組內（ ）可被該向量組內其余向量線性表出。 A、至少有一個向量 B、沒有一個向量 C、至多一個向量 D、任何一個向量 (3.3)2、向量組（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）， （1，2，1），（3，0，1）的秩為（ ）。 A、3 B、2 C、4 D、5 (3.3)3、設向量組α1=,α2=,α3=,α4=，則極大無關組為（ ）。 A、α1,α2 B、α1,α2,α3 C、α1,α2,α4 D、α1 (3.5)4、設A ，分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解,則（ ）。 A、r(A)=r() B、r(A)＜r() C、r(A)＞r() D、r(A)＝r()-1 (3.6)5、若線性方程組AX=B的導出組AX=0只有零解，則AX=B（ ）。 A、可能無解 B、有唯一解 C、有無窮多解 D、也只有零解 (3.5)6、以下結論正確的是（ ） A、 方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)的線性方程組一定有解 B、 方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)的線性方程組一定有唯一解 C、 方程的個數(shù)大于未知量的個數(shù)的線性方程組一定有無窮多解 D、A、B、C均不對 (3.3)7、以下結論正確的是（ ） A、 對向量組α1,α2,…αr,若k1α1+k2α2+…+krαr=0就有k1=k2=…kr=0，則稱α1,α2，…，αr線性無關 B、 若有一組不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λr使λ1α1+λ2α2+…，λrαr≠0，則向量組α1，α2，…，αr線性無關 C、 若α1，…, αr線性相關，則其中每一個向量都可由其余向量線性表出。 D、 若有全為0的數(shù)k1=k2=…=kr=0使k1α1+k2α2+ …+krαr=0，則α1, α2，…，αr線性無關。 (3.5)8、設線性方程組AX=B的一般解為（x3是自由未知量），則（ ） A、 只有令x3=0才能求出AX=B的特解。 B、令x3=1求得特解為 C、令x3=2求得特解為 D、令x3=0求得特解為 (3.6)9、設A為nn矩陣，且齊次線性方程組AX=0只有零解，則對任意n維列向量B，方程組AX=B（ ） A、有無窮多解 B、無解 C、有唯一解 D、只有零解 (3.6)10、設齊次線性方程組AX=0有無窮多解，則對任意n維列向量B，方程組AX=B （ ） A、有無窮多解 B、可能無解 C、有唯一解 D、只有零解 答案： 1、A 2、A 3、B 4、D 5、A 6、D 7、A 8、C 9、C 10、B 計算題（解答題） (3.6)1、問向量組α1=(1,-2,1,0,0) ,α2 =(0,0,-1,1,0) ,α3=(4,0,0,-6,2) 是不是齊次線性方程組① 的一個基礎解系？為什么？ 解答： 是基礎解系。 ∵可驗證①的系數(shù)矩陣的秩為2，∴基礎解系中含有3個解向量，又易知α1,α2,α3是①的3個線性無關的解，故α1,α2,α3可作為①的基礎解系。 (3.6)2、問向量組α1=(1,-2,1,0,0) ，α2=(0,0,1,-1,0) ，α3=(1,-2,3,-2,0)是不是齊次線性方程組 ① 的一個基礎解系？為什么？ 解答： 不是基礎解系 ∵α3=α1+2α2 ∴α1,α2,α3線性相關。 (3.5)3、λ為何值時，下列方程組有解？有解時，求出解。 解答： 由 →→ 可得λ=5時有解，且它的一般解為 x1,x4為自由未知量。 (3.6)4、用線性方程組的特解及導出組的基礎解系表示出一般解。 解答： 由→→→→ 可得導出組為， 基礎解系為α=， 特解為γ0=， 所以一般解為γ0+kα。（k為任意數(shù)） (3.3)5、試判斷向量組 α1=（4，3，-1，1，-1） α2=（2，1，-3，2，-5） α3=（1，-3，0，1，-2） α4=（1，5，2，-2，6） 的線性相關性。 解答： 設有x1,x2,x3,x4,使得 x 1α1+x2α2+x3 +x4α4=0 則由 ，可得α1，α2，α3，α4線性相關。 證明題 (3.3)1、設在向量組α1,α2,…,αm中α1≠0，且每一個αi（i=2,…,m）都不能由α1,α2,…,αi-1線性表出，證明：此向量組線性無關。 證明：設有等式k1α1 +k2α2+…+kmαm=0， ∵αm不能由α1，…,αm-1線性表出，∴km=0。上式為k1α1+…+km-1αm-1=0，同理，αm-1不能由α1，…，αm-2線性表出，故km-1=0。依此類推最后得k1α1=0,又α1≠0,k1=0，因此α1，α2，…,αm線性無關。 (3.3)2、設向量β可由向量組α1,α2,…αr線性表出，但不能由α1,α2,…，αr-1線性表出，證明：αr能由α1，…，αr-1，β線性表出，但不能由α1,…，αr-1線性表出。 證明：由題設 β=K1α1+K2α2+…+Krαr，但β不能由α1，…，αr-1線性表出，∴Kr≠0αr可由α1,…，αr-1，β線性表出。假設αr可由α1，α2，…，αr-1線性表出，即αr=a1α2+…+ar-1αr-1把它代入β= K1α1+K2α2+…+Krαr整理得β可由α1，…，αr-1線性表出。矛盾。 (3.3)3、設α1,α2,…，αn線性無關，且β=α1+α2+…+αn（n>1）證明：β-α1,β-α2,…，β-αn也線性無關。 證明：設有等式 K1（β-α1）+K2（β-α2）+…+Kn(β-αn)=0即 （K2+…+Kn）α1+( K1+K3…+Kn) α2+…+（k1+…+kn-1）αn=0 ∵α1, α2,…, αn線性無關,∴得 系數(shù)行列式 ∴齊次線性方程組只有零解，即K1=K2=…=Kn=0，故β-α1 ，β-α2，…，β-αn線性無關。 (3.5)4、設n階行列式≠0 證明線性方程組無解。 證明：∵行列式≠0， ∴方程組的增廣矩陣的秩為n，但方程組中只有n-1個未知量，∴系數(shù)矩陣的秩≤n-1，即系數(shù)矩陣的秩≠增廣矩陣的秩，∴方程組無解。 (3.6)5、設齊次線性方程組 的系數(shù)行列式D=0，而D中某一元素aij的代數(shù)余子式Aij≠0，證明：這個方程組的每一解都可寫成（kAi1,kAi2,…，kAin）的形式，這里k為任意數(shù)。 證明：∵D=0，∴所給齊次線性方程組有非零解，又∵某一元素aij的代數(shù)余子式Aiy≠0，∴系數(shù)矩陣的秩為n-1，因此基礎解系中只含有一個解向量。 由ak1Ai1+ ak2Ai2+…+ aknAin=，可得（Ai1,Ai2,…,Ain）為其一個解，又Aij≠0，∴它是一個非0解，于是（Ai1,Ai2,…,Ain）可作為基礎解系，∴這個方程組的任一解都可寫成（KAi1,KAi2,…，KAin）的形式。（K為任意數(shù)） (3.6)6、設線性方程組AX=B有解 證明：AX=B有唯一解的充要條件是導出組AX=0只有零解。 證明： 必要性：若導出組有非零解，那么這個解與原方程組AX=B的一個解的和是其另一個解，∴AX=B不止一個解。 充分性：若AX=B有兩個不同的解，那么它們的差是導出組AX=0的一個非零解，∴若導出組只有零解，那么AX=B有唯一解。 第四章 矩陣 填空。 (4.3)1、設A為n階方陣，則|-2A|= |A|。 (4.3)2、設A，B為兩個三階方陣，且|A|= -1，|B|=2,那么|（A′B-1）2|= 。 (4.2)3、若A+BC-X=2E，則X= 。 (4.2)4、設A=, B=, 則（A+B′）′= 。 (4.2)5、設A,B是可逆矩陣，則矩陣方程C+A′XB=D的解X= 。 (4.4)6、設A= (4.5)7、設A，B是兩個可逆矩陣，則 (4.4)8、設A= (4.4)9、設A= (4.4)10、設A可逆，則數(shù)乘矩陣KA可逆的充要條件是 。 (4.4)11、設|A|=a≠0，則|A-1|= 。 (4.4)12、設A，B為n階可逆矩陣，則（AB）-1= 。 答案： 1、（-2）n 2、 3、A+BC-2E 4、 5、(A′)-1(D-C)B-1 6、 7、 8、 9、 10、K≠0 11、 12、B-1A-1 判斷題 (4.4)1、若A，B都不可逆，則A+B也不可逆。 （ ） (4.4)2、若A，B都可逆，則A+B也可逆。 （ ） (4.4)3、若AB可逆，則A，B都可逆。（ ） (4.4)4、若AB不可逆，則A，B都不可逆。 （ ） (4.2)5、對任意矩陣A，A′A是對稱矩陣。 （ ） (4.3)6、四階矩陣A的所有元素都不為0，則r(A)=4。 （ ） (4.2)7、2A-AB=A（2-B） 。 （ ） (4.3)8、|A+B|=|A|+|B| 。 （ ） (4.2)9、若AB=0，則A=0或B=0。 （ ） (4.2)10、若AB=0，且A≠0，則B=0。 （ ） (4.2)11、若AB=AC，且A≠0，則B=C 。 （ ） (4.4)12、若AB=AC，且|A|