成考專升本高等數(shù)學(xué)二重點及精簡版.pdf

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1、1 高等數(shù)學(xué)（二）重點知識及解析（占 80 分左右） 、函數(shù)、極限 一、基本初等函數(shù)(又稱簡單函數(shù))： （1） 常值函數(shù)： y c= （2） 冪函數(shù)： a y x= （3） 指數(shù)函數(shù)： x y a= (a 0, 1)a 且 （4）對數(shù)函數(shù)： log a y x= (a 0, 1)a 且 （5）三角函數(shù)： sinyx= ， cosyx= ， tany x= ， coty x= （6）反三角函數(shù)： arcsinyx= ， arccosyx= ， arctany x= ， coty arc x= 二、復(fù)合函數(shù)： 要會判斷一個復(fù)合函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成的。 例如 ： ln

2、 cosyx= 是由 lnyu= ， cosux= 這兩個個簡單函數(shù)復(fù)合而成. 例如： 3 arctan x y e= 是由 arctany u= ， v ue= 和 3vx= 這三個簡單函數(shù)復(fù)合而成. 該部分是后面求導(dǎo)的關(guān)鍵！ 三、極限的計算 1、利用函數(shù)連續(xù)性求極限（代入法） ： 對于一般的極限式（即非未定式） ，只要將 0 x 代 入到函數(shù)表達式中，函數(shù)值即是極限值，即 0 0 lim ( ) ( ) xx f xfx = 。 注意： （1）常數(shù)極限等于他本身，與自變量的變化趨勢無關(guān)，即 limCC= 。 （2）該方法的使用前提是當 0 x x 的時候，而 x 時則不能用此方法。

3、例1： lim 4 4 x = ， 1 lim 3 3 x =， lim lg 2 lg 2 x = ， 6 lim x = ， 例2： 22 0 310301 lim 1 101 x xx x + + == ++ 例3： 2 tan( 1) tan(2 1) lim tan1 121 x x x == （非特殊角的三角函數(shù)值不用計算出來） 2、未定式極限的運算法 （1）對于 0 0 未定式 ：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，將 0 x 代入后函數(shù)值即是 極限值。 例1： 計算 2 3 9 lim 3 x x x . 0 0 未定式，提取公因式

4、2 解：原式= 33 (3)(3) lim lim( 3) 6 3 xx xx x x + =+= 例2： 計算 2 2 1 21 lim 1 x x x x + . 0 0 未定式，提取公因式 解：原式= () ()() 2 1 1 lim 11 x x xx + = ( ) () 1 1 lim 1 x x x + = 0 0 2 = （2）對于 未定式： 分子、分母同時除以未知量的最高次冪，然后利用無窮大的倒數(shù)是無 窮小的這一關(guān)系進行計算。 例1： 計算 23 lim 31 n n n + 未定式，分子分母同時除以 n 解：

5、原式 3 2 20 2 lim 1 30 3 3 n n n === + + 無窮大倒數(shù)是無窮小 例2： 計算 2 32 321 lim 25 x x x xx + . 未定式，分子分母同除以 3 x 解：原式= 23 3 32 1 lim 15 2 x x xx x x + = 0 0 2 = 無窮大倒數(shù)是無窮小，因此分子是 0 分母是 2 3、利用等價無窮小的代換求極限 （1）定義： 設(shè) 和 是同一變化過程中的兩個無窮小，如果 lim =1，稱 與 是等價 無窮小，記作 . （2）定理： 設(shè) 、 、 、 均為無窮小，又

6、 ， ，且 lim 存在 則 lim = lim 或 lim lim = （3）常用的等價無窮小代換： 當 0 x 時， sin x x , tan x x 例1： 當 0 x 時， sin 2x 2 x ， tan( 3 )x 3x 例2： 極限 0 sin 2 lim 5 x x x = 0 2 lim 5 x x x = 0 2 lim 5 x = 2 5 sin 2x 用2 x 等價代換 例3： 極限 0 tan 3 lim x x x = 0 3 lim x x x = 0 lim3 3 x = t

7、an 3x用 3x等價代換 3 、一元函數(shù)的微分學(xué) 一、導(dǎo)數(shù)的表示符號 （1）函數(shù) ()f x 在點 0 x 處的導(dǎo)數(shù)記作： 0 ()f x ， 0 x x y = 或 0 x x dy dx = （2）函數(shù) ()f x 在區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)記作： ( )f x ， y 或 dy dx 二、求導(dǎo)公式 （必須熟記） （1） () 0c = （C為常數(shù)） （2） 1 ()x x = （3） () x x ee= （4） 1 (ln )x x = （5） (sin ) cosx x= （6） (co

8、s ) sinx x= （7） 2 1 (arcsin ) 1 x x = （8） 2 1 (arctan ) 1 x x = + 例： 1、 () 3 x = 2 3x 2、 () 1 2 1 2 x x = 3、 sin 6 =0 4、 0 = 5、 () 23 2 1 2x x x == 6、 1x = 三、導(dǎo)數(shù)的四則運算 運算公式 （設(shè) U，V 是關(guān)于 X 的函數(shù)，求解時把已知題目中的函數(shù)代入公式中的 U 和 V 即 可，代入后用導(dǎo)數(shù)公式求解.） （1） ()uv u v

9、= （2） ()uv uvuv=+ 特別地 ()Cu Cu= （ C 為常數(shù)） （3） 2 () uuvuv vv = 例1： 已知函數(shù) 4 3cos 2yx x=+ ，求 y . 解： y = () () 4 3cos 2xx+= 3 43sin0 x x = 3 43sinx x 例2： 已知函數(shù) 2 () lnf xxx= ，求 ( )f x 和 ()f e . 4 解： ()f x = () () 22 ln lnx xx x+ = 2 1 2lnxxx x +=2lnx xx + 所以 ()f e =2ln

10、 2 3eeeeee+=+= （注意：lne=1,ln1=0） 例3： 已知函數(shù) 2 () 1 x fx x = + ，求 ( )f x . 解： ()f x = ()()() () 22 2 2 11 1 x xxx x ++ + = ( ) () 2 2 2 12 1 x xx x + + = () 2 2 2 1 1 x x + 四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 1、方 法 一 ： 例如 求復(fù)合函數(shù) 2 siny x= 的導(dǎo)數(shù). （1）首先判斷該復(fù)合函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成的. 如 2 siny x= 由 sinyu= 和 2 ux= 這兩個簡單函數(shù)復(fù)合而成 （

11、2）用導(dǎo)數(shù)公式求出每個簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 即 dy du =cosu ， du dx =2 x （3） 每個簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積即為復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 注意中間變量要用原變量 x 替代回去. dy dy du dx du dx ==2 x cosu =2 x 2 cos x 2、方 法 二（直接求導(dǎo)法） ： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 等于 構(gòu)成該復(fù)合函數(shù)的簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積 。如果對導(dǎo)數(shù)公式熟悉， 對復(fù)合函數(shù)的過程清楚，可以不必寫出中間變量而直接對復(fù)合函數(shù) 從外往里求導(dǎo) . 例1： 設(shè)函數(shù) cos( 3 )yx=，求 y . 解： y =() (3)cox x = sin( 3 )x (3)x

12、= sin( 3 )x (3) =3sin( 3 )x 例2： 設(shè)函數(shù) ln x y e= ，求 y . 解： y = () ln x e = ln x e (ln )x = 1 x ln x e 注意： 一個復(fù)合函數(shù)求幾次導(dǎo)，取決于它由幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成。 五、高階導(dǎo)數(shù) 1、二階導(dǎo)數(shù)記作 ： y ， ()f x 或 2 2 dy dx 我們把二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù). 2、求法： （1）二階導(dǎo)數(shù)就是對一階導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo) 5 （2）三階導(dǎo)數(shù)就是對一階導(dǎo)數(shù)求兩次導(dǎo)，對二階導(dǎo)求一次導(dǎo) 例1 ： 已知 5sinyx= ，求 y . 解： y =

13、5cosx， y = 5sin x 例2： 已知 2x y e= ，求 0 x y = . 解： y = 2x e () 2x = 2 2 x e ， y =2 2x e () 2x =4 2x e 即 0 x y = =4 六、微分的求法： （1）求出函數(shù) ()y fx= 的導(dǎo)數(shù) ( )f x . （2）再乘以 dx即可.即 ()dy f x dx= . 例1： 已知 2 lny x= ，求 dy . 解： y = () 2 ln x = () 2 2 1 x x = 2 1 2x x = 2 x dy = 2 x dx 例2： 設(shè)函數(shù) 4 cosy xx

14、= ，求 dy . 解： y = () () 44 cos cosx xx x+ = 34 4cos sinx xx x dy = 34 4cos sinx xx xdx 6 、二元函數(shù)的微分學(xué) 一、多元函數(shù)的定義： 由兩個或兩個以上的自變量所構(gòu)成的函數(shù)，稱為多元函數(shù) 。其自 變量的變化范圍稱為定義域 ，通常記作 D 。 例如：二元函數(shù)通常記作： (, )zfxy= ， (, )x yD 二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 1、偏導(dǎo)數(shù)的表示方法： （1）設(shè)二元函數(shù) (, )zfxy= ，則函數(shù) z 在區(qū)域 D內(nèi)對 x 和對 y 的偏導(dǎo)數(shù)記為： z x ，

15、 (, ) x f xy， x z ； z y ， (, ) y f xy， y z （2）設(shè)二元函數(shù) (, )zfxy= ，則函數(shù) z 在點 ( ) 00 ,x y 處對 x 和對 y 的偏導(dǎo)數(shù)記為： () 00 ,x y z x ， () 00 , x f xy， () 00 ,x x y z ； () 00 ,x y z y ， ( ) 00 , y f xy， () 00 ,y x y z ； 2、偏導(dǎo)數(shù)的求法 （1）對 x 求偏導(dǎo)時，只要將 y 看成是常量，將 x 看成是變量，直接對 x 求導(dǎo)即可. （2）對 y 求偏導(dǎo)時，只要將

16、 x 看成是常量，將 y 看成是變量，直接對 y 求導(dǎo)即可. 如果要求函數(shù)在點 ( ) 00 ,x y 處的偏導(dǎo)數(shù)，只要求出上述偏導(dǎo)函數(shù)后將 0 x 和 0 y 代入即可. 例1： 已知函數(shù) 32 2zxy yx= ，求 z x 和 z y . 解： z x = 22 32x yy ， z y = 3 4x xy 例2： 已知函數(shù) 2 sin 2zx y= ， 求 z x 和 z y . 解： z x =2sin2x y， z y = 2 2cos2x y 三、全微分 1、全微分公式： 函數(shù) (, )zfxy= 在點 (, )x y 處全微分公式為： zz

17、 dz dx dy x y =+ 2、全微分求法： （1） 、先求出兩個一階偏導(dǎo)數(shù) z x 和 z y . （2） 、然后代入上述公式即可. 7 例1： 設(shè)函數(shù) 2 sin( ) 3 1zxyxy=++，求 dz . 解： z x = cos( ) 6y xy x + ， z y = cos( ) 1xxy + cos( ) 6 cos( ) 1 zz dz dx dy y x y x dx x x y dy xy =+= ++ + 例2： 設(shè)函數(shù) 2x y ze + = ，求 dz . 解： z x = 2 2 x y e + ， z y = 2x

18、 y e + 22 2 xy xy zz dz dx dy e dx e dy xy ++ =+= + 四、二階偏導(dǎo)的表示方法和求法： （1） () z x x = 2 2 z x = ( , ) xx f xy= xx z 兩次都對 x 求偏導(dǎo) （2） () z y x = 2 z x y = (, ) xy f xy= xy z 先對 x 求偏導(dǎo)，再對 y 求偏導(dǎo) （3） () z x y = 2 z yx == (, ) yx f xy= yx z 先對 y 求偏導(dǎo)，再對 x 求偏導(dǎo) （4） () z y y

19、 = 2 2 z y = (, ) yy f xy= yy z 兩次都對 y 求偏導(dǎo) 可見二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)共四種 ，它們都是 ,x y 的函數(shù)。在求二階偏導(dǎo)的時候一定要注意對 變量的求導(dǎo)次序 （寫在符號前面的變量先求偏導(dǎo)）. 例1： 設(shè)函數(shù) 32 3 31zxy xy xy=+，求 2 2 z x ， 2 z x y ， 2 z y x 和 2 2 z y . 解： z x = 22 3 33x yyy ， z y = 32 29x yxyx 得 2 2 z x = 2 6xy ， 2 z x y = 22 691xy y

20、， 2 z y x = 22 691xy y ， 2 2 z y = 3 218x xy 例2： 設(shè)函數(shù) coszy x= ，求 2 2 z x ， 2 z x y . 解： z x = sinyx 得 2 2 z x = cosyx ， 2 z x y = sin x 8 、一元函數(shù)的積分學(xué) 一、原函數(shù)的定義 ： 設(shè) ()Fx是區(qū)間 I 上的一個可導(dǎo)函數(shù)，對于區(qū)間 I 上的任意一點 x ， 都有 () ()Fx fx= ，則稱 ()Fx是 ()f x 在區(qū)間 I上的一個原函數(shù). 例1： (sin ) cosx x= ，因此 sin

21、x 是 cos x的一個原函數(shù)， cos x是 sin x 的導(dǎo)數(shù). 由于 (sin ) cosx cx+= ，可見只要函數(shù)有一個原函數(shù)，那么他的原函數(shù)就有無窮多個. 例2： 設(shè) ()f x 的一個原函數(shù)為 1 x ，求 ()f x . 解：因為 1 x 是 ()f x 的一個原函數(shù)，即 ()Fx= 1 x ，所以 ()f x = ()Fx= 1 x = 2 1 x . 得 ()f x = 2 1 x = 3 2 x （注： 1 1 x x = ） 二、不定積分 （一） 、定義 ： 我們把 ()f x 的所有原函數(shù)稱為 ()f x 在區(qū)間 I 上的不定積分

22、，記作： () ()f xdx F x C=+ （其中 () ()Fx fx= ） 注意： 不定積分是原函數(shù)的的全體，因此計算結(jié)果常數(shù) C 勿忘 ！ （二） 、不定積分的性質(zhì) 1 () () () ()f x gx dx f xdx gxdx= 2 () ()kf x dx k f x dx= （其中 k 為常數(shù)） （三） 、基本積分公式 （和導(dǎo)數(shù)公式一樣，必須熟記） 1 0dx C= 2 kdx kx C= + （k 為常數(shù)） 3 1 1 x x dx C + =+ + (1) 4 1 lndx x C x = +

23、 5 xx edx e C=+ 6 cos sinxdx x C= + 7 sin cosxdx x C= + 8 2 arcsin 1 dx x C x = + 9 2 arctan 1 dx x C x =+ + 例1： 33dx x C=+ 2sin -2cosxdx x C= + 9 4 3 4 x x dx C=+ 2 11 dx C xx =+ 例2： 33 22 tan tan tan 33 ux xdxudu C C==+=+

24、 （利用換元法，設(shè) tan x u= ） 又如： 1 cos cos ln cosxdx xC =+ () 3 2 2 ln ln ln 3 xdx x C= + （四） 、不定積分的計算 1、直接積分法 ：對被積函數(shù)進行恒等變形，并用積分性質(zhì)和積分公式進行積分的方法。 例 1： () 2 2 1x dx+ = () 42 21x xdx++ = 42 2x dx x dx dx++ = 5 3 2 53 x x xC+ ++ 例 2： 31 (1 2sin ) 1 2 sin 3x dx dx xdx dx xx += += 2cos 3lnx xxC+ ++ 2

25、、湊微分法 （1）適用前提： 如果被積函數(shù)是兩個函數(shù)相乘（或相除）或者被 積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)（通 常為較為簡單的復(fù)合函數(shù)）的情況，此時可以考慮用湊微分法 。 （ 2）湊微分法解法步驟 1湊微分 2換 元 3直接積分法 4反換元 例1： 求不定積分 2 cosx xdx 解：原式= 22 1 cos 2 x dx = 22 1 cos 2 x dx （1.湊微分）將 xdx湊成 2 1 2 dx = 1 cos 2 udu （2.換 元）將 2 x 換元成 u = 1 sin 2 uC+ （3.直接積分

26、法）求出 u 的不定積分 = 2 1 sin 2 x C+ （4.反換元） u 再用 2 x 反換元 例2： 求不定積分 2 ln x dx x 解：原式= 2 ln (ln )xdx （1.湊微分）將 1 dx x 湊成 lndx = 2 udu （2.換 元）將 ln x 換元成 u = 3 3 u C+ （3.直接積分法）求出 u 的不定積分 10 = 3 ln 3 x C+ （4.反換元） u 再用 ln x 反換元 例3： 求不定積分 32x edx +

27、 解：原式= 32 1 (3 2) 3 x edx + + （1.湊微分）將 dx湊成 1 (3 2) 3 dx+ = 1 3 u edu （2.換 元）將 32x+ 換元成 u = 1 3 u eC+ （3.直接積分法）求出 u 的不定積分 = 32 1 3 x eC + + （4.反換元） u 再用 32x+ 反換元 注意：湊微分 時要注意湊完微分后前后變量要統(tǒng)一！如果能熟練掌握換元過程，此時就可以 不必寫出中間變量，而直接進行積分。 例4： 3 sin cosx xdx = 3 sin

28、sinxdx = 4 sin 4 x C+ （將 dx湊成 () 1 32 3 dx+ ） 例5： 2 1x xdx+ = 22 1 1(1) 2 x dx++ = () 3 2 2 1 1 3 x C+ + （將 xdx湊成 () 2 1 1 2 dx+ ） 3、分部積分法 （考到概率為 40左右，要了解的可參考重點解析“詳細版” ） 三、不定積分 （一） 、定積分的定義： 由曲邊梯形的面積引出定義公式 A= () b a f xdx （A 為曲邊梯形的面積） 其中 ()f x 為被積函數(shù)， ,ab為積分區(qū)間， a 為積分下限，

29、b 為積分上限。 用定積分所要注意的事項： 1、因為定積分是曲邊梯形的面積，因此定積分的值一定是一個常數(shù) ，所以對定積分求導(dǎo)， 導(dǎo)數(shù)值必為零。 例： 1 0 arctan 0 d xdx dx = ， ( ) 2 2 1 sin 0ttdt= 2、當 a=b 時， () b a f xdx =0 因定積分上限 ba，當ba 時， () b a f xdx = () a b f xdx 例： 1 1 sin 0 1cos x dx x = + ， 32 23 () ()f xdx f xdx = （二） 、定積分的計算 11 1、變上限積分的計算

30、（1）定義： 積分上限 x 為變量時的定積分稱為變上限積分，變上限積分是上限 x 的函數(shù)， 記作 ()x = () x a f tdt （2）變上限積分的導(dǎo)數(shù) ： ( ) () ( ) x a f tdt f x= 將 x 代入到 ()f t 即可 例1： 設(shè) 0 () sin x f xtdt= ，則 () sinf xx= . 例2： () 33 0 x d ttdtxx dx +=+ 2、牛頓萊布尼茨公式 （ 1）公式 ： 如果 ()Fx是連續(xù)函數(shù) ()f x 在 ,ab上的一個原函數(shù)，則有 () b a f x

31、dx = () b a Fx = () ()Fb Fa （ 2） 由公式可知 ： 連續(xù)函數(shù) ()f x 在 ,ab上定積分 ， 就是 ()f x 的一個原函數(shù) ()Fx在 ,ab 上的增量（上限值減下限值） 。而連續(xù)函數(shù) ()f x 的不定積分 ，就是 ()f x 的全體原函數(shù)（原 函數(shù)后面加常數(shù) C） 。 可見定積分和不定積分的計算都是圍繞求原函數(shù)進行的。 例1： 求定積分 2 2 1 x dx 解：原式= 3 2 1 3 x = 33 21 33 = 7 3 例2： 求定積分 2 2 0 cos sinx xdx （將 sin xdx 湊成 cosdx

32、 ） 解：原式= 2 2 0 cos cosxdx = 3 2 0 cos 3 x = 1 0 3 = 1 3 例3： 求定積分 1 ln e x dx x （將 1 dx x 湊成 lndx） 解：原式= 1 ln ln e xdx = 2 1 ln 2 e x = 22 ln ln 1 22 e = 10 22 = 1 2 注意：用湊微分 法 計算定積分時，在換元時，由于引入了新的變量，故原變量的積分限要更 換成新變量的積分限;如不想更換積分限，可省略換元步驟。 3、分部積分法 （考到概率為 40左右，要了解的可參考重點解析“詳細版” ） 12 附表：幾個特殊角的三角函數(shù)值 角 度 三 角 0 6 4 3 2 2 2 - sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 0 0 1 0 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 1 1 0 1 tan x 0 3 3 1 3 不存在 0 0 不存在 0 cot x 不存在 3 1 3 3 0 不存在 不存在 0 不存在