古典概型和幾何概型.docx

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1、一、 古典概型 1）基本事件：一次試驗中所有可能的結果都是隨機事件，這類隨機事件稱為基本事件． 2）基本事件的特點： ① 任何兩個基本事件是互斥的； ② 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 3）我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，其特征是： ① 有限性：即在一次試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個． ② 等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的；稱這樣的試驗為古典概型． 4）基本事件的探索方法： ① 列舉法：此法適用于較簡單的實驗． ② 樹狀圖法：這是一種常用的方法，適用于較為復雜問題中的基本事件探索． 5）在古典概型中涉及兩種不通的抽取放

2、方法，下列舉例來說明：設袋中有個不同的球，現(xiàn)從中一次模球，每次摸一只，則有兩種摸球的方法： ① 有放回的抽樣 每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，這種模球的方法稱為有放回的抽樣，顯然對于有放回的抽樣，依次抽得球可以重復，且摸球可以無限地進行下去． ② 無放回的抽樣 每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，這種模球方法稱為五放回抽樣，每次摸的球不會重復出現(xiàn)，且摸球只能進行有限次． 二、 古典概型計算公式 1）如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是； 2）如果某個事件 包括的結果有個，那么事件 的概率． 3）事件

3、與事件是互斥事件 4）事件與事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件． 古典概型注意： ① 列舉法：適合于較簡單的試驗． ② 樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求．另外在確定基本事件時，可以看成是有序的，如與不同；有時也可以看成是無序的，如與相同． 三、幾何概型 事件理解為區(qū)域的某一子區(qū)域，的概率只與子區(qū)域的幾何度量（長度、面積或體積）成正比，而與的位置和形狀無關，滿足此條件的試驗稱為幾何概型． 四、幾何概型的計算 1）幾何概型中，事件的概率定義為，其中表示區(qū)域的幾何度量，表示區(qū)域的幾何度量． 2）兩種類型 線型幾何概型：當基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時． 面

4、型幾何概型：當基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決． 五、幾何概型具備以下兩個特征： 1）無限性：即每次試驗的結果(基本事件)有無限多個，且全體結果可用一個有度量的幾何區(qū)域來表示； 2）等可能性：即每次試驗的各種結果(基本事件)發(fā)生的概率都相等． 一、古典概型 古典概型是基本事件個數有限，每個基本事件發(fā)生的概率相等的一種概率模型，其概率等于隨機事件所包含的基本事件的個數與基本事件的總個數的比值． 【題干】甲、乙、丙、丁個足球隊參加比賽，假設每場比賽各隊取勝的概率相等，現(xiàn)任意將這個隊

5、分成兩個組（每組兩個隊）進行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】甲、乙在同一組：.甲、乙不在同一組，但相遇的概率：. 【點評】 【題干】有十張卡片，分別寫有、、、、和、、、、， （1）從中任意抽取一張，①求抽出的一張是大寫字母的概率；②求抽出的一張是或的概率； （2）若從中抽出兩張，③求抽出的兩張都是大寫字母的概率；④求抽出的兩張不是同一個字母的概率； 【答案】 【解析】 【點評】 【題干】袋子中裝有編號為的個黑球和編號為的個紅球，從中任意摸出個球．

6、 （1）寫出所有不同的結果； （2）求恰好摸出個黑球和個紅球的概率； （3）求至少摸出個黑球的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）. （2）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含了上一問列舉的所有結果，記“恰好摸出1個黑球和1紅球”為事件，則事件包含的基本事件為，共6個基本事件，所以. （3）試驗發(fā)生包含的事件共有個，記“至少摸出個黑球”為事件，則包含的基本事件為，共個基本事件，所以. 【點評】步驟：用列舉法求出基本事件的總數，求出具體時間包含的基本事件數，根據古典概型求出概率. 二、一維情形的幾何概型（長度） 將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內

7、隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解． 【題干】在區(qū)間上隨機取一個數，的值介于到之間的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，.當時， .在區(qū)間上隨機取一個數，的值介于到之間的概率. 【點評】 【題干】平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為cm，把一枚半徑為cm的硬幣任意投擲在這個平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是(　　) A. B

8、． C． D． 【答案】B 【解析】為了確定硬幣的位置，由硬幣中心向靠的最近的平行線引垂線，垂足為；線段長度的取值范圍就是，只有當時，硬幣不與平行線相碰，所以所求事件的概率. 【點評】 【題干】在區(qū)間中任意取一個數，則它與之和大于的概率是______． 【答案】 【解析】在區(qū)間中，任意取一個數，則它與之和大于的滿足>， 解得，所以，概率為. 【點評】 【題干】在長為的線段上任取一點，并以線段為邊作正方形，則這個正方形的面積介于與之間的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】由題意可得此概率是幾何概率模

9、型.因為正方形的面積介于與之間，座椅正方形的邊長介于到之間，即線段介于到之間，所以的活動范圍長度為：.由幾何概型的概率公式可得. 【點評】 【題干】某人向一個半徑為的圓形標靶射擊，假設他每次射擊必定會中靶，且射中靶內各點是隨機的，則此人射擊中靶點與靶心的距離小于的概率為（ ） A． B. C． D． 【答案】B 【解析】整個靶子是如圖所示的大圓，而距離靶心距離小于2用圖中的小圓所示： 故此人射擊中靶點與靶心的距離小于的概率. 【點評】 【題干】兩根相距的木桿上系一根拉直的繩子，并在繩子上掛

10、一彩珠，則彩珠與兩端距離都大于的概率為（ ） A. B． C． D． 【答案】. 【解析】設事件為“燈與兩端距離都大于”，根據題意，事件對應的長度為的部分，因此，事件發(fā)生的概率. 【點評】 三、二維情形的幾何概型（面積） 數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件發(fā)生的區(qū)域，利用公式可求． 【題干】如圖，，，，在線段上任取一點，試求： （1）為鈍角三角形的概率；（2）為銳角三角形的概率． 【答案】（1）（2） 【解析】如圖，由平面幾何

11、知識：當時，；當時，，． （1）當且僅當點在線段或上時，為鈍角三角形，記“為鈍角三角形”為事件，則，即為鈍角三角形的概率為． （2）當且僅當點在線段上時，為銳角三角形，記“為銳角三角形”為事件，則，即為銳角三角形的概率為． 【點評】為直角三角形的概率等于，但直角三角形是存在的，因此概率為的事件不一定是不可能事件． 【題干】已知如圖所示的矩形，長為，寬為，在矩形內隨機地投擲粒黃豆，數得落在陰影部分的黃豆數為粒，則可以估計出陰影部分的面積約為________． 【答案】 【解析】設圖中陰影部分的面積為，由題意可得，解得. 【點評】 【題干】小明的爸爸下班駕車經過小明學校門口，時

12、間是下午到，小明放學后到學校門口的候車點候車，能乘上公交車的時間為到，如果小明的爸爸到學校門口時，小明還沒乘上車，就正好坐他爸爸的車回家，問小明能乘到他爸的車的概率． 【答案】 【解析】 【點評】 【題干】在平面直角坐標系中，平面區(qū)域中的點的坐標滿足，從區(qū)域中隨機取點． （1）若，，求點位于第四象限的概率； （2）已知直線與圓相交所截得的弦長為， 求的概率． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）若，，則點的個數共有個，列舉如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，時，點位于第四象限.當點的坐標為，，時，點位于第四象限.故點位于第四象限的概率為. （2）由已知可知

13、區(qū)域的面積是.因為直線與圓的弦長為，如圖，可求得扇形的圓心角為，所以扇形的面積為，則滿足的點構成的區(qū)域的面積為，所以的概率為 . 【點評】 【題干】如圖，，，，在線段上任取一點，試求： （1）為鈍角三角形的概率； （2）為銳角三角形的概率． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】如圖，由平面幾何知識：當時，；當時，，.（1）當且僅當點在線段或上時，為鈍角三角形，記“為鈍角三角形”為事件，則. （2）當且僅當點在線段上時，為銳角三角形，記“為銳角三角形”為事件，則. 【點評】 【題干】在區(qū)間上任取兩實數，求二次方程的兩根都為實數的概率． 【答案】 【解析】方程有實

14、根的條件為，即．在平面直角坐標系中，點的取值范圍為如圖所示，的正方形的區(qū)域，隨機事件“方程有實根”的所圍成的區(qū)域如圖所示的陰影部分．易求得． 【點評】 四、三維情形的幾何概型（體積） 【題干】在中，，過直角頂點作射線交線段于，求使的概率． 【答案】. 【解析】設事件為“作射線，使”．在上取點使，因為是等腰三角形，所以，，，所以. 【點評】幾何概型的關鍵是選擇“測度”，如本例以角度為“測度”．因為射線落在內的任意位置是等可能的．若以長度為“測度”，就是錯誤的，因在 上的落點不是等可能的． 【題干】設正四面體的體積為，是正四面體的內部的點． （1）設“”的事件為，求概率； （

15、2）設“且”的事件為，求概率． 【答案】 【解析】 【點評】 【題干】一只小蜜蜂在一個棱長為的正方體玻璃容器內隨機飛行．若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器個表面中至少有一個的距離不大于，則就有可能撞到玻璃上而不安全；若始終保持與正方體玻璃容器個表面的距離均大于，則飛行是安全的，假設蜜蜂在正方體玻璃容器內飛行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】容易知道，當蜜蜂在邊長為，各棱平行于玻璃容器的棱的正方體內飛行時是安全的．于是安全飛行的概率為． 【點評】 【題干】在棱長為的正方體中，

16、點為底面的中心，在正方體內隨機取一點，則點到點的距離大于的概率為________． 【答案】 【解析】點到點的距離大于的點位于以為球心，以為半徑的半球外．記點到點的距離大于為事件，則. 【點評】 【題干】在棱長為的正方體內任取一點，則點到點的距離小于等于的概率為（ ） A. B． C. D． 【答案】C 【解析】本題是幾何概型問題，與點距離等于的點的軌跡是一個八分之一個球面， 其體積為：，“點與點距離大于1的概率”事件對應的區(qū)域體積為：，則點到點的距離小于等于的概率為：. 【點評】 【題干】設正四面

17、體的體積為，是正四面體的內部的點． ①設“”的事件為，求概率； ②設“且”的事件為，求概率． 【答案】①② 【解析】①分別取上的點，并，連結，則平面平面．當在正四面體內部運動時（如圖），滿足，故． ②在上取點，使，在上取點，使，在上取點，使，在正四面體內部運動時，滿足．結合①，當在正四面體的內部及正四面體的內部運動時，亦即在正四面體內部運動時（是與的交點，是與的交點），同時滿足且，于是． 【點評】 五、高考匯編 【題干】（2010年江蘇理科 3）盒子中有大小相同的只白球，只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率________. 【答案】 【解析】 【點評

18、】 【題干】（2010年江蘇理科4）某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數據都在區(qū)間 中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的根中，有________根在棉花纖維的長度小于. 【答案】 【解析】 【點評】 【題干】（2011江蘇5）從，，，這四個數中一次隨機取兩個數，則其中一個數是另一個的兩倍的概率是________. 【答案】 【解析】 【點評】 【題干】（2011江蘇6）某老師從星期一到星期五收到信件數分別是，，，，，則該組數據的方差________. 【答案】 【解析】可以先把這組數都減去再求方差

19、， 【點評】 【題干】（2012年江蘇省5分）某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為的樣本，則應從高二年級抽取________名學生． 【答案】. 【解析】分層抽樣又稱分類抽樣或類型抽樣.將總體劃分為若干個同質層，再在各層內隨機抽樣或機械抽樣，分層抽樣的特點是將科學分組法與抽樣法結合在一起，分組減小了各抽樣層變異性的影響，抽樣保證了所抽取的樣本具有足夠的代表性.因此，由知應從高二年級抽取名學生. 【點評】 【題干】（2012年江蘇省5分）現(xiàn)有個數，它們能構成一個以為首項，為公比的等比數列，若從這個數中隨機抽取一個數，則它小于的概率是________． 【答案】. 【解析】∵以為首項，為公比的等比數列的個數為，，，，其中有個負數，個正數計個數小于， ∴從這個數中隨機抽取一個數，它小于的概率是. 【點評】